高等教育多元函数微分学142.docx

1、高等教育多元函数微分学1422009 / 04 / 01、链式法则(Chain Rule)定理 如果函数M = 0及卩=0()都在点/可导,dzdt8zdu（心）du I dz Idvdt函数z = f(u,v)在对应点(眈川)可微， 则复合函数z =力她)申在对应点t可导， 且其导数可用下列公式计算：证设r获得增量A6由于函数Z = /（川）在点（“川）可微,R / Az = Aw + Av + a(Au Av )a/(Am)2 +(Av)2 du dv当(), Av0时，(x(AuAv) 0Az dz Aw dz Av + M du AZ dv AZa(Aw?Av)A/(Aw)2 +(Av

2、)2当&-0时，Aw 0, Av 0a(AnAv)l Ad=limAz0At=0，Av dv At dtdz dz du dz dv=lim 1 dt a/to& du dt dv dt例 1 设 z = arctanx + lnj,x = sin j = tanf,求竺 dtdz dz dx dz dy= 1 dt dx dt dy dt cosf +sec2/1 + x2 ycost 21 + sin2 sin2$Z1上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况dz dz du dz dv dz dw= i 1 dt du dt dv dt dw dt例 3 z = uv +smt9 而蔦

3、v =cost求导磅dz _dz du dz dv dz I I dt du dt dv dt dt= vef -usint + cost =d cost - d sinf + cost =el(cost - sinf) + cost.2上定理还可推广到中间变量是多元函数的情况:Z =/10（兀）（兀）如果M = 0（兀）及 = 0（兀）都在点（兀,丿）可微 且函数z = f（u,v）在对应点（比川）可微， 则Z =于0（兀），歹（兀,刃在对应点（工）可微,dz dz du dz dv = + dx du dx dv dxdz dz du dz dv = + dy du dy 创且有注:定理中

4、条件的说明如果仅仅是为了求Z = 710（兀）,0（兀）在点（兀）对兀和y的偏导数，则只需有弘=0（兀）及卩=0（工）都在点（工）偏导数存在即可， 而函数Z = f（u,v）的可微性不能省略.例如X2Jz = f(x,y) = x2 + y2x2 + j2 #：00 ，x2 +j2 =0人（0,0） =厶（0,0） = 0, /（兀）在（0,0）不可微.女口 x = t9y =t 有 z = F(f) = /*()= ，dz dtdz eo dxdx(0,0) dtdzJ创空（0,0）dt=0.t=0dz dt1dzSydzdudu= exy(y sin(x + y) + cos(x + y

5、)，+ = e smv-x + e cosv -1 dv dy= exy(xsin(x + y) + cos(x + y).3设m = 0（兀，丿）、”=歹（兀）、w = w（x）都在点（兀,y）可微，函数n 在对应点可微，则复合函数Z = /0（兀）,0（兀）川（兀）在（兀）可微,比杰&且可用下列公式计算dz du dz dv dz dw du dx dv dx dw dxdz du dz dv dz dw 1 1 du dy dv dy dw dyf(uvu2,)在(WPW2,)可微,坯（兀1，兀2,兀“）,氐= 1,2,3，加在（兀1，兀2,兀“）可微亜述亜些,2,3,.“ 九台duk

6、dxt特殊地 z = f (u9x9y)其中 w = (x,j)即 z = /0Cr,y),兀，刃，令=兀，w = y,贝!| z=f(u,v,w)dzdxdz du du dxdzdwa1 +dzdx dy空=竺宜+空.0+皂1. dy du dy dv dw二、一阶全微分形式不变性无论Z是自变量“、v的函数或中间变量M、V 的函数，它的全微分形式是一样的.du dv” =0（兀）、V =（X,J）时，有I丿Sv一5y+&一加/1+5V一ar&5P+加 一5X生加zflv 70V一5y+dxZ5V一 0MH+| - 7v.+ “ dr&一別 怎一 九 &一 加&一 十 df dx dz St dy dx dz dt