高等教育多元函数微分学142.docx

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高等教育多元函数微分学142

2009/04/01

、链式法则（ChainRule）

定理如果函数M=0⑴及卩=0（（）都在点/可导,

dz

dt

8z

du

（心）

duIdzI

dv

dt

函数z=f（u,v）在对应点（眈川）可微，则复合函数z=力她）申⑴］在对应点t可导，且其导数可用下列公式计算：

证设r获得增量A6

由于函数Z=/（〃川）在点（“川）可微,

R

/•Az=—Aw+—Av+a（AuAv）a/（Am）2+（Av）2dudv

当△〃—>（）,Av—>0时，（x（Au^Av）—>0>

AzdzAwdzAv

—•+•

MduAZdvAZ

a（Aw?

Av）A/（Aw）2+（Av）2

当&->0时，Aw^0,Av^0

a（An^Av）lAd

=lim

Az—0

At

=0，

Avdv

»—

Atdt

dzdzdudzdv

——=lim——1■

dta/to&dudtdvdt

例1设z=arctanx+lnj,x=sin^j=tanf,求竺・dt

dzdzdxdzdy

—=1

dtdxdtdydt

cosf+—sec2/

1+x2y

cost2

1+sin2^sin2$

Z

1上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况•

dzdzdudzdvdzdw

=i1

dtdudtdvdtdwdt

例3^z=uv+smt9而蔦v=cost

求导磅

dz_dzdudzdvdz

•I•I

dtdudtdvdtdt

=vef-usint+cost=dcost-dsinf+cost=el（cost-sinf）+cost.

2上定理还可推广到中间变量是多元函数的情况:

Z=/10（兀』）〃（兀』）］・

如果M=0（兀』）及¥=0（兀』）都在点（兀,丿）可微且函数z=f（u,v）在对应点（比川）可微，则Z=于［0（兀』），歹（兀,刃］在对应点（工』）可微,

dzdzdudzdv

=•+•

dxdudxdvdx

dzdzdudzdv

=•+•

dydudy创

且有

注:

定理中条件的说明

如果仅仅是为了求Z=710（兀』）,0（兀』）］

在点（兀』）对兀和y的偏导数，

则只需有弘=0（兀』）及卩=0（工』）都在点（工』）

偏导数存在即可，而函数Z=f（u,v）的可微性不能省略.

例如

X2J

z=f（x,y）=

x2+j2#：

0

0，x2+j2=0

人（0,0）=厶（0,0）=0,/（兀』）在（0,0）不可微.

女口x=t9y=t有z=F（f）=«/*（（』）=［，

dzdt

dzeodx

dx

（0,0）dt

dz

J创

空

（0,0）dt

=0.

t=0

dzdt

1

dz

Sy

dz

du

du

=exy（ysin（x+y）+cos（x+y）），

+—=esmv-x+ecosv-1dvdy

=exy（xsin（x+y）+cos（x+y））.

3设m=0（兀，丿）、”=歹（兀』）、w=w（x』）

都在点（兀,y）可微，

函数n在对应点可微，

则复合函数Z=/[0（兀』）,0（兀』）川（兀』）]在（兀』）可微,

比杰&¥

且可用下列公式计算

dzdu^dzdvdzdwdudxdvdxdwdx

dzdudzdvdzdw11dudydvdydwdy

f（uvu2,・・・・・％）在（WPW2,・・・・・％）可微,

坯（兀1，兀2,••…兀“）,氐=1,2,3・・・・・・，加在（兀1，兀2,••…兀“）可微

〜亜述亜些,—,2,3,.....“九台dukdxt

特殊地z=f（u9x9y）其中w=^（x,j）

即z=/[0Cr,y）,兀，刃，

令"=兀，w=y,贝!

|z=f（u,v,w）

dz

dx

dzdududx

dz

dw

・a

•1+

dz

dxdy

空=竺宜+空.0+皂1.dydudydvdw

二、一阶全微分形式不变性

无论Z是自变量“、v的函数或中间变量M、V的函数，它的全微分形式是一样的.

dudv

”=0（兀』）、V=^（X,J）时，有

I丿

Sv一5y

+

&一加

/1\

+

5V一ar

&5P

+

加一5X

生加

zflv

\7

0V一5y

+

dx

Z5V一0

MH

+

\|-7

<§¥v.

+“dr&一別怎一@九&一加&一<§=-

例4已Mlz=eXJsinX+J，求％和乞.

dxdy

解令乙=eusiny，u=xy^v=x+y.

dz=zudu+zvdv=e11sinvdu+eucosvdvdu=ydx+xdy^dv=dx+dy

dz=exy[ysin（x+y）+cos（x+y）]dx+exy[xsin（x+y）+cos（x+y）]dy

亍=exy[ysin（x+y）+cos（x+j）]ox

冬=exy[xsin（x+j）+cos（x+j）]Sy

三、小结

1、链式法则

（特别要注意课中所讲的特殊情况）

2、全微分形式不变性

（理解其实质）

思考题

设z=/（w,v,x）,而眈=0（兀），v=?

/（x）,

则空=0色+旷色+矿,dxdudxdvdxdx

试问鴛与鴛是否相同?

为什么?

作业习题集14-2

2,4,

5（2,4,5）,7.

思考题解答

不相同•等式左端的Z是作为一个自变勒的函数，而等式右端最后一项f是作为仏匕兀的三元函数,

dz=©dxx~du^uvx）

du\

孙+

dv（g）

dvdfdxx+dx（"）

写出来为

多重复合函数的求导：

%=/（x，y，z，f），x=0（z,s）,y二卩（兀,s,f）,z二血（s,f）求

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