1、高三数学立体几何经典例题高三数学立体几何经典例题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN厦门_中立体几何专题3正三棱锥PABC的底面边长为2“点E、F、G、H分别是PA、PB. BC、AC的中点,则四边形EFGH的面积的取值范围是()&已知球o的半径为R, A、B是球面上任育两点,则弦长LABI的取值范围为()9已知平面aG平面川是平面a内的一条直线,则在平面p内 () A一定存在直线与直线7K平行,也一定存在直线与直线加垂直B.定存在直线与直线加平行,但不一定存在直线与直线C.不一定存在直线与直线加平行,但一定存在直线与直线m垂直D.不一定存在直线与直线用
2、平行,也不一定存在直线与直线m垂直10如图为一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折 叠即可还原),则这个多面体的顶点数为()A.6 B.7 C.8 D.9二、填空题(4x4=16)11 边长为的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值,这个定值为 ;推广到空间,棱长为“的正四面体内任一点到各面距离之和为12在ZUBC中,AB=9t AC=15,乙其所在平面外一点P到A、B、C三个顶点的距离都 是14,则P点到直线BC的距离为 13已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起,恰得到一个所有二面角都相等的六面体.并 且该六面体的杲短棱的长为2,则最远的两顶点间的距离是 14有120个等球密布在正
3、四面体A-BCD内,问此正四面体的底部放有 个球.三、解答题(4xlOr+14=54*)15定直线人丄平面q.垂足为动直线b在平面a内过定点N,但不过定点MMN=a为定值,在人、 h上分别有动线段AB我CD=cb、c为定值问在什么情况下四面体ABCD的体积最大最大值是多少16如图所示,已知四边形ABCDS EADM和MDCF都是边长为“的正方形,点P、0分别是ED和AC的中点,求:(1)而与用所成的角;(2)P点到平面EFB的距离;(3)异面直线与几2的距离.17如图,在梯形 ABCD 中,AB/CD, ADC = 9O3AD=DC=3.AB=2.E 是 CD 上一点,满足 DE =1,连结A
4、E,将沿胚折起到ZME的位置,使得乙ZMB = 60。.设AC与BE的交点为O.(1)试用基向量AB AE表示向量O求异面直线OD与AE所成的角.判断平面与平面ABCE是否垂直.并说明理由.D第17题图1&如图,在斜棱柱ABC-ACx中,底面为正三角形,侧棱长等于底面边长,且侧棱与底面所成的 角为60,顶点Bi在底面ABC上的射影O恰好是AB的中点.(1)求证:5C丄C/ ;(2)求二面角C-ABC的大小.19如图所示,在三棱锥PABC中,PA=PB=PC, BC=2aAC=aAB=yf3 a.点P到平面ABC的距离为(1)求二面角PACB的大小;(2)求点B到平面PAC的距离.立体几何练习参
5、考答案一、选择题1.D设正三棱锥PABC中,各棱之间的夹角为CG棱与底面夹角为PS为点s到平面PQR的距离.则心啓戶+ 匸亠( + p0PRsina) PSsi叩.另一方面.记0到各平面的距离为/则有 WpqrVo.pqr+V。丿 J 厶PQPRPSsinp=(KPQPR+PRPS+PQPS),冃卩 亠+亠 + 亠=二常量.PR PS d2.B设正棱锥的高为施相邻两侧面所成二面角为0当力T)时,正“棱锥的极限为正边形,这时 相邻两侧面所成二面角为平面角,即二面角e-Ti.当力-8时,正舁棱锥的极限为正棱柱,这时相邻两侧面所成二面角为正边形的内角,即e- 匕2 IT故选B.n3.B如图,易知四边
6、形EFGH为矩形,当P-底面 ABC的中心0时,矩形矩形EF】GHS矩形钠G” =QFi F1Gn 号心于“2(芈al+oo).故选 B.4.C女口图,.(/ = AE.a丄AF,丄平面AEF设交平面AEF于点G,则乙EGF是二面角a-哪的平面亀 乙EG民60。.乙少民120。但易知当厶 ABC的周长最小时,BGEGWFG.设点A关于平面a的对称点为/V,点A关于平面p的对称点为A”.连结AA份别交线段EG、FG于点B、C,则此时AABC的周长最短,记为/.由中位线定理及余弦定理得l=2EF=2 如+22 -2x4x2cosl20 =441 .5.D因为ABCD是正四面体,故AC丄BD作EGA
7、C交BC于G,连结GF,则z厶GEF、且CG _ AE _ CFGFBD故GF丄EG且皆乙EFG, .J (入)=以+%=90。为常数.6.C这两条直线在距“为右的平面上,分布在“在该平面上的射影的两侧.7.A设正四棱锥各棱长均为1,则1, S=y/3f此时,正四棱锥的高尼.归+ 0匸三将Q=l, S=仔代入选择支,知A正确.3 o8.B考虑A、B两点在球面上无限靠近但又不重合,及A、B两点应为直径的两端点时的情况. 点评若忽视几何里的两点、两直线、两平面等均应是相异的两元素,就会误选A,球的最长弦就是直径,但球没有最短弦.9.C若m/l,则p内必有与川平行的直线;若加与/相交,则P内无直线与
8、加平行.不一定存在直线与直线川平行,排除A、B.又p内一定存在与加在p内的射影垂直的直线,由三垂 线定理知,P内一定存在直线与m垂直故选C.10.B本题考查简单多面体的表面展开与翻折,着重考查考生的空间想像能力.该多面体是正方体切割 掉一个顶点,故有7个顶点.二、填空题11.止“;亞本题通过等积找规律.2 312.* 分析P点到仏B、C距离相等,故P点在平面ABC上的射影是三角形ABC的外心,故可 由心眈的已知条件求出厶ABC外接圆半径,进而求得P点到平面ABC的距离,及外心到直线的距 离,从而最终解决问题.解 记P点在平面ABC上的射影为0,贝IJAO、BO、C0分别是PA、PB、PC在平面
9、ABC上的射影. PA=PB=PC,OA=OB=OC,:.0为氐ABC的外心.在厶 ABC 中,BC= 792+152+9x15 =21由正弦定理,2R= 一;R=讣1 sin 120P点到平面ABC的距离为J/ -匕石)=7.(D为BC边的中点)o点到直线BC的距离OD= J(7y/3)2 +岸 m. OP丄平面ABC, OD丄BC,PD丄BCP到BC的距离PD=J7-13.3如图所示,作CE丄AD,连结EF,易证EF丄AD 则乙CEF为面ADF和面ACD所成二面角的平面角设G为 CD的中点,同理AAGB为面ACD和面BCD所成二面角的 平面角,由已知乙CEFMAGB.设底面的边长为纽侧棱A
10、D长为b.在厶43中,CEb=AG2a、所以唇。小=松w 2qb b解得归牛仏因此肚2时,2*3,最远的两顶点间距离为3.14.36正四面体ABCD的底部是正BCD假设离BC边最近的球有”个,则与底面BCD相切的球 也有排,各排球的个数分别为“、炉1、3、2、1,这样与底面相切的球共有1+2+”= 忤匕个由 于正四面体各面都是正三角形因此,正四面体内必有“层球,自上而下称为:第1层、第2层、第层,那么第层,第”-2层,第2层,第1层球的个数分别是:4 c /?(/? +1) ,八 .(n-l)?i1 +2 n= 、 1 +2+ +/?-1 = ,2 21+2=21,i = IT12 2川” +
11、 1) (n-l)n 1x2 ! H 1 2 2 2即丄 /:(/:+1 )(/?+2)= 120.6即(小8)(於+1 5+90)=0心&因此正四面体内共有8层小球,其底部所放球数为 岁 =36(个).三、解答题15分析 在四面体ABCD的基础上,补上一个三棱锥BMCD解如图,连结MC、M0则AM丄平面MDC、BM丄平面MDC /1A/ 77yB /3/1M/J设M到CD的距离为X,则SDC= y CDx= 1 ex,第15颗图解 V.vbcd= x ex b= box3 2 6 xWMN=a当 x=a 时,即MN为人与b的公垂线时,皿最大,它的最大值为丄航O点评xWMN.包含gMN.也包含
12、xMN.垂线段小于斜线段.16解 建立空间直角坐标系,使得D(0Q0)他0,0)/(心0),C(0“0), M (0加),F(0心),则由中点坐标公式得P( y -0,号),Q(牛,| .0),所以 PM =(.-lA-),FS(-r-W), PM Fg=(-)x-+O+x (“=丄 0,2 2 2 2 2 2 2 4_一 _2 2PMWFQ 迈 g/ 口 22 2且|而|= 也FQ |= 圧匕所以cosi PM , FQ()=_竺 竺 = _ 4 L =-故得两向量所成的角为150。;(2)设g(xj,z)是平面EFB的单位法向量 即1/41川丄平面EFB,所以丄示但丄辰,又 EF =(-/
13、x/,0)f BE= (0,“a) 即有?-ax+ay = 0, 得其中的一个解是设所求距离为,则沁457.MD丄ABMD1 AE = AD AE丄 AE2 = Jl cos 45-丄 x(V2 )2=0, A A/D?丄 AE.2 2所以MD垂直于平面ABCE内两条相交直线MD丄平面ABCE 而DM平面ADiE,所以平面ADiE丄平面ABCE.18.(1)解法一连结BO、CO,bO丄平面ABC, CO丄AB、:.BC丄AB, 又在菱形BBiCiC中,BiC丄BC-BC 丄平面 ABC】,BC 丄 GA. 作G0丄平面ABC于。点,连接A0乙GC0是侧棱与底面所成的角,即乙GC0=6O。,在口
14、 中,CQ=-CCi=AO, CiQ=-CCi,由BC, BiG, OQ平行且相等,X . CO丄AB04丄AR. .CS丄AB.- LQACx是二面角Cx-AB-C的平面角.在厶AQCi 中,CiQ=AQt /. Z(?ACi=45o解法二(1)以O为原点,OC所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,建立空间直角坐标系,如BQ丄平面ABC,SBO是侧棱与底面所成角,乙B、B0=62设棱长为汕则OB-EbO*又CO为正三角形的中线,CO=VTa则 A(0“0)、B(0,“0),C(血匕0,0)血(0,0厲 u),C( V3 “).BC =( y3 t/.O,- V3 “), C】A=(VJ a).
15、B C C A =-3t/2+O+3t/2=O,BiC 丄 Ci A (2)在厶 CAB 中,I 帀 1=尿仏| 运 1=1 ( V3 /1“2,设二面角的平面角为&贝ij cos9= SQ =止-SACAB 2二面角Cx-AB-C的平面角为450.19. (1)解法一由条件知ABC为直角三角形,乙BAC=90PA=PB=PC;点P在平面ABC上的射影是AABC的外心,即斜边BC的中点,取AC中点0 连结PD、 DE、PE. PE丄平面ABCDE丄AC( DE/AB).:. AC丄PDDE为二面角PACB的平面角.3tanPDE=丄乞=-= = 7?,DE 厲 a2乙PD民60。故二面角PAC
16、B的平面角为60.解法二设O为BC的中点,则可证明PO丄面ABC,建立如图空间直角坐标系, 则彳 一斗a,o ,B(a,0,0),C(“,0,0),P(0,0|町,AC 中点 D 丄a二ileo、4 4AB =-丄 a.a.o.DP =3 爲 3、 一 a. ci、a2 2丿4 4 2 .Z AB 丄AC.PA=PC、PD 丄AC,cos即为二面角PACB的余弦值.二面角PACB的平面角为60。(2)解法 _ PA J PE? + DESspc=丄2 2设点B到平面PAC的距离为九则由 VP-ABC=B APC 得SiABcPE= Spch,I匸 S、 M =SMPC3 a2故点B到平面PAC的距离为*解法二点到平面PAC的距离容易求得,为斗“而点B到平面PAC的距离是其2倍.4点B到平面PAC的距离为yfl .
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