高三数学立体几何经典例题.docx

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高三数学立体几何经典例题

高三数学立体几何经

典例题

-CAL-FENGHAI-（2020YEAR-YICAI）_JINGBIAN

厦门_中立体几何专题

3•正三棱锥P^ABC的底面边长为2“点E、F、G、H分别是PA、PB.BC、AC的中点，则四边形

EFGH的面积的取值范围是（）

&已知球o的半径为R,A、B是球面上任育两点，则弦长LABI的取值范围为（）

9•已知平面aG平面川是平面a内的一条直线，则在平面p内（）A・・一定存在直线与直线7K平行，也一定存在直线与直线加垂直

B.

—定存在直线与直线加平行，但不一定存在直线与直线

C.不一定存在直线与直线加平行，但一定存在直线与直

线m垂直

D.不一定存在直线与直线用平行，也不一定存在直线与

直线m垂直

10•如图为一个简单多面体的表面展开图（沿图中虚线折叠即可还原），则这个多面体的顶点数为（）

A.6B.7C.8D.9

二、填空题（4x4=16'）

11•边长为"的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值为；推广到空间，棱长为“

的正四面体内任一点到各面距离之和为

12•在ZUBC中，AB=9tAC=15,乙其所在平面外一点P到A、B、C三个顶点的距离都是14,则P点到直线BC的距离为■

13•已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体.并且该六面体的杲短棱的长为2,则最远的两顶点间的距离是•

14•有120个等球密布在正四面体A-BCD内，问此正四面体的底部放有个球.

三、解答题（4xlOr+14=54*）

15•定直线人丄平面q.垂足为动直线b在平面a内过定点N,但不过定点M・MN=a为定值，在人、h上分别有动线段AB我CD=c・b、c为定值•问在什么情况下四面体ABCD的体积最大最大值是多少

16•如图所示，已知四边形ABCDSEADM和MDCF都是边长为“的正方形，点P、0分别是ED和

AC的中点，求：

（1）而与用所成的角；

（2）P点到平面EFB的距离；

（3）异面直线与几2的距离.

17•如图，在梯形ABCD中，AB//CD,^ADC=9O\3AD=DC=3.AB=2.E是CD上一点，满足DE=

1,连结AE,将沿胚折起到△ZME的位置，使得乙ZMB=60。

.设AC与BE的交点为O.

（1）试用基向量AB^AE表示向量O£>]

⑵求异面直线OD与AE所成的角.

⑶判断平面与平面ABCE是否垂直.并说明理由.

D

第17题图

1&如图，在斜棱柱ABC-A^Cx中，底面为正三角形，侧棱长等于底面边长，且侧棱与底面所成的角为60°,顶点Bi在底面ABC上的射影O恰好是AB的中点.

（1）求证：

5C丄C/；

（2）求二面角C-ABC的大小.

19•如图所示，在三棱锥P^ABC中，PA=PB=PC,BC=2aAC=aAB=yf3a.点P到平面ABC的距离为

（1）求二面角P・AC・B的大小；

（2）求点B到平面PAC的距离.

立体几何练习参考答案

一、选择题

1.D设正三棱锥P・ABC中，

各棱之间的夹角为CG棱与底面夹角为PS为点s到平面PQR的距离.则

心啓戶+匸亠（+p0PRsina）PSsi叩.另一方面.记0到各平面的距离为/则有WpqrVo.pqr+V。

丿J厶

PQPRPSsinp=（KPQPR+PRPS+PQPS）,冃卩亠+亠+亠=二常量.

PRPSd

2.B设正"棱锥的高为施相邻两侧面所成二面角为0•当力T）时，正“棱锥的极限为正"边形，这时相邻两侧面所成二面角为平面角，即二面角e-Ti.

当力-8时，正舁棱锥的极限为正〃棱柱，这时相邻两侧面所成二面角为正〃边形的内角，即e-匕2IT•故选B.

n

3.B如图，易知四边形EFGH为矩形，当P-底面△ABC的中心0时，矩形矩形E\F】GH・

S矩形钠G”=QFiF1Gn号心于“2

（芈^al+oo）.故选B.

4.C女口图，・.•（/=AE.a丄AF,・•・"丄平面AEF・

设"交平面AEF于点G,则乙EGF是二面角a-哪的平面亀乙EG民60。

.乙少民120。

但易知当厶ABC的周长最小时，BGEGWFG.

设点A关于平面a的对称点为/V,点A关于平面p的对称点为A”.连结A'A"份别交线段EG

、FG于点B、C,则此时AABC的周长最短，记为/.由中位线定理及余弦定理得

l=2EF=2如+22-2x4x2cosl20°=441.

5.D因为ABCD是正四面体，故AC丄BD作EG〃AC交BC于G,连结GF,则z厶GEF、且

CG_AE_CF

GF〃BD故GF丄EG且皆乙EFG,.J（入）=以+%=90。

为常数.

6.C这两条直线在距“为右的平面上，分布在“在该平面上的射影的两侧.

7.A设正四棱锥各棱长均为1,则"1,S=y/3f此时，正四棱锥的高尼

・・.归+0匸三•将Q=l,S=仔代入选择支，知A正确.

3o

8.B考虑A、B两点在球面上无限靠近但又不重合，及A、B两点应为直径的两端点时的情况.点评若忽视几何里的两点、两直线、两平面等均应是相异的两元素，就会误选A,球的最长弦就是

直径，但球没有最短弦.

9.C若m//l,则p内必有与川平行的直线；若加与/相交，则P内无直线与加平行.

•••不一定存在直线与直线川平行，排除A、B.又p内一定存在与加在p内的射影垂直的直线，由三垂线定理知，P内一定存在直线与m垂直•故选C.

10.B本题考查简单多面体的表面展开与翻折，着重考查考生的空间想像能力.该多面体是正方体切割掉一个顶点，故有7个顶点.

二、填空题

11.止“；亞"本题通过等积找规律.

23

12.*"分析P点到仏B、C距离相等，故P点在平面ABC上的射影是三角形ABC的外心，故可由心眈的已知条件求出厶ABC外接圆半径，进而求得P点到平面ABC的距离，及外心到直线的距离，从而最终解决问题.

解记P点在平面ABC上的射影为0,贝IJAO、BO、C0分别是PA、PB、PC在平面ABC上的射影

•.PA=PB=PC,OA=OB=OC,

：

.0为氐ABC的外心.

在厶ABC中，BC=792+152+9x15=21

由正弦定理，2R=一；R=讣

1sin120°

P点到平面ABC的距离为J/-匕石）'=7.

（D为BC边的中点）

o点到直线BC的距离OD=J（7y/3）2+岸m

.OP丄平面ABC,OD丄BC，・・PD丄BC・

・・・P到BC的距离PD=J7-

13.3如图所示，作CE丄AD,连结EF,易证EF丄AD则乙CEF为面ADF和面ACD所成二面角的平面角•设G为CD的中点，同理AAGB为面ACD和面BCD所成二面角的平面角，由已知乙CEFMAGB.

设底面的边长为纽侧棱AD长为b.在厶43中,

CEb=AG2a、所以唇。

°小=松w2q

bb

解得归牛仏因此肚2时，2*3,・・・最远的两顶点间距离为3.

14.36正四面体ABCD的底部是正△BCD假设离BC边最近的球有”个，则与底面△BCD相切的球也有"排，各排球的个数分别为“、炉1、…、3、2、1,这样与底面相切的球共有1+2+…+”=忤匕个•由于正四面体各面都是正三角形•因此，正四面体内必有“层球，自上而下称为：

第1层、第2

层、…第"层，那么第层，第”-2层，…第2层，第1层球的个数分别是：

4c/?

（/?

+1）,八.（n-l）?

i

1+2—n=、1+2+••+/?

-1=,

22

1+2=2£1,i=IT1

22

川”+1）（n-l）n1x2

!

H1

222

即丄/:

（/:

+1）（/?

+2）=120.

6

即（小8）（於+15+90）=0「・・心&因此正四面体内共有8层小球，其底部所放球数为岁=36（个）.

三、解答题

15•分析在四面体ABCD的基础上，补上一个三棱锥B^MCD・

解如图，连结MC、M0则

・・AM丄平面MDC、BM丄平面MDC/

1

A

/77y

B/

3

/

1

M/

/

J

设M到CD的距离为X,则S』DC=yCDx=1ex,

第15颗图解

・•・V.vbcd=—x—exb=—box

326

•・•xWMN=a「・当x=a时，

即MN为人与b的公垂线时，皿⑵最大，它的最大值为丄航・

O

点评xWMN.包含gMN.也包含x

16•解建立空间直角坐标系，使得D（0Q0）他0,0）/（心0）,C（0“0）,M（0加），F

（0心）,

则由中点坐标公式得P（y-0,号）,Q（牛,|.0）,

⑴所以PM=（.-lA-）,FS（-r-W）,PMFg=（--）x-+O+^x（“=・丄0,

22222224

_^一_22

\PMWFQ\迈g/口2

22

且|而|=也FQ|=圧匕所以cosiPM,FQ（）=_竺竺=_4L=-—•

故得两向量所成的角为150。

；

（2）设g（xj,z）是平面EFB的单位法向量即1/41川丄平面EFB,所以〃丄示但"丄辰,

又EF=（-

-ax+ay=0,得其中的一个解是

设所求距离为〃，则

3

（3）设e=（x\,y\,z\）是两异面直线的公垂线上的单位方向向量,则由莎7=（一牛o£庞=&.一牛—"，

（2）阪旋=（両一+乔一+旋）•旋=lxVIxcos45。

一+x2xVIcos45。

一+（71）2=一］

・・（函）—（亦方JAE）2=y,

所以06与胚所成角为arccos斗.

•.顾显亦总+花亦“2560冷"><沁457.

・•・MD]丄AB・

MD1AE=AD^AE■丄AE2=Jlcos45°-丄x（V2）2=0,AA/D?

丄AE.

22

所以MD垂直于平面ABCE内两条相交直线・・・・MD丄平面ABCE而DM平面ADiE,所以平面ADiE丄平面ABCE.

18.

（1）解法一连结BO、CO,・・bO丄平面ABC,CO丄AB、:

.B\C丄AB,又••在菱形BBiCiC中，BiC丄BC-

B\C丄平面ABC】，B\C丄GA.

⑵作G0丄平面ABC于。

点，连接A0

•••乙GC0是侧棱与底面所成的角，即乙GC0=6O。

，

在"口中，CQ=-^CCi=AO,CiQ=£-CCi,

由BC,BiG,OQ平行且相等，X•.CO丄AB・・・・04丄AR..CS丄AB.

.■-LQACx是二面角Cx-AB-C的平面角.

在厶AQCi中，CiQ=AQt/.Z（?

ACi=45o

解法二

（1）以O为原点，OC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，如

・・BQ丄平面ABC,

・・・SBO是侧棱与底面所成角，・・・乙B、B0=62・

设棱长为汕则OB-EbO*又CO为正三角形的中线，・・・CO=VTa

则A（0“0）、B（0,“0）,C（血匕0,0）血（0,0・厲u）,C]（V3“）.

B}C=（y[3t/.O,-V3“）,C】A=（・VJa）.

B]CC[A=-3t/2+O+3t/2=O,BiC丄CiA・

（2）在厶C\AB中，I帀1=尿仏|运1=1（V3

•'•5ac14^=

作GQ丄平面ABC于0点，则Q（V3aM.O）・

・・・血啦=>/1“2,设二面角的平面角为&

贝ijcos9=S^Q=止-・

SAC}AB2

二面角Cx-AB-C的平面角为450.

19.

（1）解法一由条件知△ABC为直角三角形，乙BAC=90\

•••PA=PB=PC；点P在平面ABC上的射影是AABC的外心，即斜边BC的中点£,取AC中点0连结PD、DE、PE.PE丄平面ABC・

DE丄AC（\DE//AB）.:

.AC丄PD—DE为二面角P・AC・B的平面角.

3

tanPDE=丄乞=-^=—=7?

DE厲

a

2

・•・乙PD民60。

・故二面角P・AC・B的平面角为60°.

解法二设O为BC的中点，则可证明PO丄面ABC,建立如图空间直角坐标系,则彳一斗a,o,B（・a,0,0）,C（“,0,0）,P（0,0|■町,

AC中点D丄a•二ileo

、44

AB=

-丄a.^a.o\.DP=

'3爲3、一—a.ci、—a

22丿

442.

Z

・・AB丄AC.PA=PC、PD丄AC,

cos即为二面角P・AC・B的余弦值.

二面角P・AC・B的平面角为60。

（2）解法_PAJPE?

+DE》

Sspc=丄

22

设点B到平面PAC的距离为九

则由VP-ABC=^BAPC得—SiABcPE=—S^\pch,

I匸S、'¥M=

SMPC

3—a

2

故点B到平面PAC的距离为*・

解法二点£到平面PAC的距离容易求得，为斗“而点B到平面PAC的距离是其2倍.

4

•••点B到平面PAC的距离为yfl.