精编八年级因式分解难题附答案及解析.docx

1、精编八年级因式分解难题附答案及解析 2017年 05月 21日数学（因式分解难题） 2一填空题（共 10小题）1已知 x+y=10，xy=16，则 x y+xy 的值为222两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 2（x1）（x9）；另一位同学因看错了常数项分解成 2（x2）（x4），请你将原多项式因式分解正确 的结果写出来：23若多项式 x +mx+4能用完全平方公式分解因式，则 m 的值是24分解因式： 4x4x3=225利用因式分解计算： 202 +202196+98 =2226ABC三边 a，b，c满足 a +b +c =ab+bc+ca，则 ABC 的形

2、状是222222227计算： 12 +34 +56 +100 +101 =8定义运算 ab=（1a）b，下面给出了关于这种运算 的四个结论：2（ 2）=3ab=ba若 a+b=0，则（ aa）+（bb）=2ab若 ab=0，则 a=1或 b=0其中正确结论 的序号是（填上你认为正确 的所有结论 的序号）2323456789如果 1+a+a +a =0，代数式 a+a +a +a +a +a +a +a =2210若多项式 x6xb可化为（ x+a）1，则 b 的值是二解答题（共 20小题）2211已知 n为整数，试说明（ n+7）（n3） 的值一定能被 20整除212因式分解： 4x y4xy

3、+y13因式分解第1页（共 31页） 3（1）aab22（2）（xy） +4xy14先阅读下面 的内容，再解决问题，例题：若 m2+2mn+2n6n+9=0，求 m和 n 的值222解： m +2mn+2n6n+9=0222m +2mn+n +n6n+9=022（m+n） +（n3） =0m+n=0，n3=0m=3，n=3问题：22y（1）若 x +2y2xy+4y+4=0，求 x 的值22（2）已知ABC 的三边长 a，b，c都是正整数，且满足 a +b6a6b+18+| 3c| =0，请问 ABC是怎样形状 的三角形？15如果一个正整数能表示为两个连续偶数 的平方差，那么称这个正整数为“和

4、222222谐数”如 4=20，12=42，20=64，因此 4，12，20这三个数都是和谐数（1）36和 2016这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为 2k+2和 2k（其中 k取非负整数），由这两个连续偶数构造 的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？（3）介于 1到 200之间 的所有“和谐数”之和为16如图 1，有若干张边长为 a 的小正方形、长为 b宽为 a 的长方形以及边长为 b 的大正方形 的纸片第2页（共 31页） （1）如果现有小正方形 1张，大正方形 2张，长方形 3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图 2虚线框中画出图形），并运用面积之间 的关系，将22多项式 a

5、 +3ab+2b分解因式（2）已知小正方形与大正方形 的面积之和为 169，长方形 的周长为 34，求长方形 的面积（3）现有三种纸片各 8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出 的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接）可以拼成多少种边长不同 的正方形，求17（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 1所示，用若干块这样 的硬纸片拼成一个新 的长方形，如图 2用两种不同 的方法，计算图 2中长方形 的面积；由此，你可以得出 的一个等式为：（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3所示请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你 的拼图；22请你用拼图等方法推出 2

6、a +5ab+2b因式分解 的结果，画出你 的拼图18已知 a+b=1，ab=1，设 s =a+b，s =a2+b2，s3=a3+b，sn=an+b3n12第3页（共 31页） （1）计算 s；2（2）请阅读下面计算 s 的过程：3因为 a+b=1，ab=1，3322所以 s =a +b =（a+b）（a +b）ab（a+b）=1s（ 1）=s +1=322你读懂了吗？请你先填空完成（ 2）中 s 的计算结果，再用你学到 的方法计算3s4（3）试写出 s，s，s三者之间 的关系式；n2n1n（4）根据（ 3）得出 的结论，计算 s619（1）利用因式分解简算： 9.82+0.49.8+0.04

7、2（2）分解因式： 4a（a1）（1a）2220阅读材料：若 m2mn+2n8n+16=0，求 m、n 的值22222解： m2mn+2n8n+16=0，（ m2mn+n）+（n8n+16）=02222（mn） +（n4） =0，（ mn） =0，（n4） =0，n=4，m=4根据你 的观察，探究下面 的问题：22（1）已知 x +2xy+2y +2y+1=0，求 xy 的值22（2）已知 ABC 的三边长 a、b、c都是正整数，且满足 a +b6a8b+25=0，求ABC 的最大边 c 的值（3）已知 ab=4，ab+c26c+13=0，则 ab+c=21仔细阅读下面例题，解答问题：2例题：

8、已知二次三项式 x4x+m有一个因式是（ x+3），求另一个因式以及 m 的值第4页（共 31页） 222解：设另一个因式为（x+n），得 x4x+m=（x+3）（x+n），则 x4x+m=x +（n+3）x+3nn+3=4m=3n解得：n=7，m=21另一个因式为（ x7），m 的值为 21问题：2（1）若二次三项式 x5x+6可分解为（ x2）（x+a），则 a=；2（2）若二次三项式 2x +bx5可分解为（ 2x1）（x+5），则 b=；22x +5xk有一个因式是（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式（2x3），求另一个因式以及 k 的值22分解因式：2（1）2xx；（2）1

9、6x1；2223（3）6xy9x yy；2（4）4+12（xy）+9（xy ）222223已知 a，b，c是三角形 的三边，且满足（ a+b+c） =3（a +b +c），试确定三角形 的形状24分解因式（1）2x4x y +2y442 2322（2）2a4a b+2ab25图是一个长为 2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图 的形状拼成一个正方形（1）图中 的阴影部分 的面积为 ；（2）观察图请你写出三个代数式（ m+n）、（mn）、mn之间 的等量关22系是第5页（共 31页） 2（3）若 x+y=7，xy=10，则（ xy） =（4）实际上有许多代数恒

10、等式可以用图形 的面积来表示如图，它表示了2（5）试画出一个几何图形，使它 的面积能表示（m+n）（m+3n）=m +4mn+3n2226已知 a、b、c满足 ab=8，ab+c +16=0，求 2a+b+c 的值27已知：一个长方体 的长、宽、高分别为正整数 a、 b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体 的体积22228（x4x）2（x4x）1529阅读下列因式分解 的过程，再回答所提出 的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x） 1+x+x（x+1）2=（1+x）（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式 的方法是，共应用了次22004（

11、2）若分解 1+x+x（x+1）+x（x+1）+ +x（x+1 ），则需应用上述方法次，结果是2n（3）分解因式： 1+x+x（x+1）+x（x+1） + +x（x+1）（n为正整数）30对于多项式 x5x +x+10，如果我们把 x=2代入此多项式，发现多项式 x3325x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（ x2）（注：把 x=a代入多项第6页（共 31页） 式能使多项式 的值为 0，则多项式含有因式（ xa），于是我们可以把多项式322写成： x5x +x+10=（x2）（x +mx+n），（1）求式子中 m、n 的值；（2）以上这种因式分解 的方法叫试根法，用试根法分解多项式

12、10 的因式x2x13x3 2第7页（共 31页） 2017年 05月 21日数学（因式分解难题） 2参考答案与试题解析一填空题（共 10小题）21（2016秋?望谟县期末）已知 x+y=10，xy=16，则 x y+xy2 的值为 160【分析】首先提取公因式 xy，进而将已知代入求出即可【解答】解： x+y=10，xy=16，22x y+xy =xy（x+y）=1016=160故答案为： 160【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键2（2016秋?新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 2（x1）（x9）；另一位同学因

13、看错了常数项分解成 2（x2）（x4），请你将原多项式因式分解正确 的结果写出来：3 ） 2（x2【分析】根据多项式 的乘法将 2（x1）（x9）展开得到二次项、常数项；将 2（x2）（x4）展开得到二次项、一次项从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式 2后利用完全平方公式分解因式2【解答】解： 2（x1）（x9）=2x20x+18；22（x2）（x4）=2x12x+16；2原多项式为 2x12x+182222x12x+18=2（x6x+9）=2（x3）【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题 的关键二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次第

14、8页（共 31页） 项正确3（2015春?昌邑市期末）若多项式 x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m 的值是42222【分析】利用完全平方公式（ a+b） =（ab） +4ab、（ab） =（a+b）4ab计算即可22【解答】解： x +mx+4=（x2 ），22即 x +mx+4=x4x+4，m=4故答案为： 4【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方 的几个变形公式是解题关键24（2015秋?利川市期末）分解因式： 4x4x3=（2x3）（2x+1 ）2【分析】 ax +bx+c（a0）型 的式子 的因式分解，这种方法 的关键是把二次项系数 a分解成两个因数 a1 2

15、，a 的积 a ?a1 2，把常数项 c分解成两个因数 c，c1 22 的积 c ?c，并使 a c +a c正好是一次项 b，那么可以直接写成结果： ax +bx+c=121 22 1（ax+c）（a x+c），进而得出答案1 1 2 22【解答】解：4x4x3=（2x3）（2x+1）故答案为：（2x3）（2x+1）【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键5（2015春?东阳市期末）利用因式分解计算： 2022+202196+982= 90000【分析】通过观察，显然符合完全平方公式2【解答】解：原式 =202 +2x202x98+982第9页（共 31页） =（

16、202+98）2=3002=90000【点评】运用公式法可以简便计算一些式子 的值2226（2015秋?浮梁县校级期末） ABC三边 a，b，c满足 a +b +c =ab+bc+ca，则ABC 的形状是等边三角形 2【分析】分析题目所给 的式子，将等号两边均乘以 2，再化简得（ ab） +（a22c） +（bc） =0，得出： a=b=c，即选出答案222【解答】解：等式 a +b +c =ab+bc+ac等号两边均乘以 2得：2222a +2b +2c =2ab+2bc+2ac，222222即 a2ab+b +a2ac+c +b2bc+c =0，即（ab） +（ac） +（bc）222=0

17、，解得： a=b=c，所以， ABC是等边三角形故答案为：等边三角形【点评】此题考查了因式分解 的应用；利用等边三角形 的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定 ABC是等边三角形222222227（2015秋?鄂托克旗校级期末）计算： 12 +34 +56 +100 +101 =5151【分析】通过观察，原式变为 1+（32）+（54）+（101100），进一2 2 2 2 2 2步运用高斯求和公式即可解决【解答】解：12 +34 +56 +100 +10122222222222222=1+（32）+（54）+（101100）第10页（共 31页） =1+（3+2）+（5+4）+（7+6

18、）+ +（101+100）=（1+101）1012=5151故答案为： 5151【点评】此题考查因式分解 的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题8（2015秋?乐至县期末）定义运算 ab=（1a）b，下面给出了关于这种运算 的四个结论：2（ 2）=3ab=ba若 a+b=0，则（ aa）+（bb）=2ab若 ab=0，则 a=1或 b=0其中正确结论 的序号是（填上你认为正确 的所有结论 的序号）【分析】根据题中 的新定义计算得到结果，即可作出判断【解答】解： 2（2）=（12）（ 2）=2，本选项错误；ab=（1a）b，ba=（1b）a，故 ab不一定等于 ba，本选项错误；若 a+b

19、=0，则（ aa）+（bb）=（1a）a+（1b）b=aa +bb =a22222b =2a =2ab，本选项正确；若 ab=0，即（1a）b=0，则 a=1或 b=0，本选项正确，其中正确 的有故答案为【点评】此题考查了整式 的混合运算，以及有理数 的混合运算，弄清题中 的新定义是解本题 的关键2323456789（2015春?张掖校级期末）如果 1+a+a +a =0，代数式 a+a +a +a +a +a +a +a =第11页（共 31页） 0【分析】 4项为一组，分成 2组，再进一步分解因式求得答案即可【解答】解： 1+a+a +a2 3=0，a+a +a +a2 3 45 6 7

20、8+a +a +a +a，23523=a（1+a+a +a）+a（1+a+a +a），=0+0，=0故答案是： 0【点评】此题考查利用因式分解法求代数式 的值，注意合理分组解决问题2210（2015春?昆山市期末）若多项式 x6xb可化为（ x+a）1，则 b 的值是8【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可222【解答】解： x6xb=（x3）9b=（x+a）1，a=3，9b=1，解得： a=3，b=8故答案为： 8【点评】此题主要考查了配方法 的应用，根据题意正确配方是解题关键二解答题（共 20小题）2211已知 n为整数，试说明（ n+7）（n3） 的值一定能被 20整除【分析】用平方差

21、公式展开（ n+7）（n3），看因式中有没有 20即可22【解答】解：（n+7）2（n3）2=（n+7+n3）（n+7n+3）=20（n+2），22（n+7）（n3） 的值一定能被 20整除22【点评】主要考查利用平方差公式分解因式公式： ab =（a+b）（ab）第12页（共 31页） 212（2016秋?农安县校级期末）因式分解： 4x y4xy+y【分析】先提取公因式 y，再对余下 的多项式利用完全平方公式继续分解【解答】解：4x2y4xy+y2=y（4x4x+1）2=y（2x1）【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因

22、式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止13（2015秋?成都校级期末）因式分解（1）aab23（2）（xy） +4xy2【分析】（1）原式提取 a，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可22【解答】解：（1）原式 =a（ab）=a（a+b）（ab）；22222（2）原式 =x2xy+y +4xy=x +2xy+y =（x+y）【点评】此题考查了提公因式法与公式法 的综合运用，熟练掌握因式分解 的方法是解本题 的关键14（2015春?甘肃校级期末）先阅读下面 的内容，再解决问题，例题：若 m22+2mn+2n6n+9=0，求 m和 n 的值2 2解： m +2mn+2

23、n6n+9=0222m +2mn+n +n6n+9=022（m+n） +（n3） =0第13页（共 31页） m+n=0，n3=0m=3，n=3问题：（1）若 x +2y2xy+4y+4=0，求 x 的值2 2 y22（2）已知ABC 的三边长 a，b，c都是正整数，且满足 a +b6a6b+18+| 3c| =0，请问 ABC是怎样形状 的三角形？2222【分析】（1）首先把 x +2y2xy+4y+4=0，配方得到（ xy） +（y+2） =0，再根据非负数 的性质得到 x=y=2，代入求得数值即可；2222（2）先把 a +b6a6b+18+| 3c| =0，配方得到（ a3） +（b3

24、） +| 3c| =0，根据非负数 的性质得到 a=b=c=3，得出三角形 的形状即可22【解答】解：（1）x +2y2xy+4y+4=0222x +y2xy+y +4y+4=0，（xy） +（y+2）2 2=0x=y=2；（2）a +b6a6b+18+| 3c| =0，2 222a6a+9+b6b+9+| 3c| =0，22（a3） +（b3） +| 3c| =0a=b=c=3三角形 ABC是等边三角形【点评】此题考查了配方法 的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数 的和 的形式，然后利用非负数 的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题15（2015秋?太和县期末）如果一个正整

25、数能表示为两个连续偶数 的平方差，第14页（共 31页） 222222那么称这个正整数为“和谐数”如 4=20，12=42，20=64，因此 4，12，20这三个数都是和谐数（1）36和 2016这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为 2k+2和 2k（其中 k取非负整数），由这两个连续偶数构造 的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？（3）介于 1到 200之间 的所有“和谐数”之和为 25002222【分析】（1）利用 36=108；2016=505503说明 36是“和谐数”，2016不是“和谐数”；2（2）设两个连续偶数为 2n，2n+2（n为自然数），则“和谐数（2n+2）（2

26、n）2，利用平方差公式展开得到（ 2n+2+2n）（2n+22n）=4（2n+1），然后利用整除性可说明“和谐数”一定是 4 的倍数；22（3）介于 1到 200之间 的所有“和谐数”中，最小 的为： 20 =4，最大 的为：502482=196，将它们全部列出不难求出他们 的和【解答】解：（1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”理由如下：222236=108；2016=505503；（2）设两个连续偶数为 2k+2和 2k（n为自然数），22（2k+2）（2k） =（2k+2+2k）（2k+22k）=（4k+2）2=4（2k+1），4（2k+1）能被 4整除，“和谐数”一定是 4 的倍数；（3）介于 1到 200之间 的所有“和谐数”之和，222222222S=（20）+（42）+（64）+ +（5048）=50 =2500第15页（共 31页） 故答案是： 2500【点评】本题考查了因式分解 的应用：利用因式分解把所求 的代数式进行变形，从而达到使计算简化16（2015春?兴化市校级期末）如图 1，有若干张边长为 a 的小正方形、长为 b宽为 a 的长方形以及