精编八年级因式分解难题附答案及解析.docx
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精编八年级因式分解难题附答案及解析
2017年05月21日数学（因式分解难题）2
一．填空题（共10小题）
1．已知x+y=10，xy=16，则xy+xy的值为
2
2
．
2．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分
解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），
请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：
．
2
3．若多项式x+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是
．
2
4．分解因式：
4x﹣4x﹣3=
．
2
2
5．利用因式分解计算：
202+202×196+98=
．
2
2
2
6．△ABC三边a，b，c满足a+b+c=ab+bc+ca，则△ABC的形状是
．
2
2
2
2
2
2
2
2
7．计算：
1﹣2+3﹣4+5﹣6+⋯﹣100+101=
．
8．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①2★（﹣2）=3
②a★b=b★a
③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab
④若a★b=0，则a=1或b=0．
其中正确结论的序号是
（填上你认为正确的所有结论的序号）．
2
3
2
3
4
5
6
7
8
9．如果1+a+a+a=0，代数式a+a+a+a+a+a+a+a=
．
2
2
10．若多项式x﹣6x﹣b可化为（x+a）﹣1，则b的值是
．
二．解答题（共20小题）
2
2
11．已知n为整数，试说明（n+7）﹣（n﹣3）的值一定能被20整除．
2
12．因式分解：
4xy﹣4xy+y．
13．因式分解
第1页（共31页）
3
（1）a﹣ab2
2
（2）（x﹣y）+4xy．
14．先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：
若m
2
+2mn+2n﹣6n+9=0，求m和n的值．
2
2
2
解：
∵m+2mn+2n﹣6n+9=0
2
2
2
∴m+2mn+n+n﹣6n+9=0
2
2
∴（m+n）+（n﹣3）=0
∴m+n=0，n﹣3=0
∴m=﹣3，n=3
问题：
2
2
y
（1）若x+2y﹣2xy+4y+4=0，求x的值．
2
2
（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a+b﹣6a﹣6b+18+|3
﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？
15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和
2
2
2
2
2
2
谐数”．如4=2﹣0，12=4﹣2，20=6﹣4，因此4，12，20这三个数都是和
谐数．
（1）36和2016这两个数是和谐数吗？
为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数
构造的和谐数是4的倍数吗？
为什么？
（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为
．
16．如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及
边长为b的大正方形③的纸片．
第2页（共31页）
（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们
拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将
2
2
多项式a+3ab+2b分解因式．
（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，
求长方形②的面积．
（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，
把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接）
可以拼成多少种边长不同的正方形．
，求
17．
（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片
拼成一个新的长方形，如图2．
①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；
②由此，你可以得出的一个等式为：
．
（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．
①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；
2
2
②请你用拼图等方法推出2a+5ab+2b因式分解的结果，画出你的拼图．
18．已知a+b=1，ab=﹣1，设s=a+b，s=a2
+b
2
，s3=a3+b，⋯，sn=an+b
3
n
1
2
第3页（共31页）
（1）计算s；
2
（2）请阅读下面计算s的过程：
3
因为a+b=1，ab=﹣1，
3
3
2
2
所以s=a+b=（a+b）（a+b）﹣ab（a+b）=1×s﹣（﹣1）=s+1=
3
2
2
你读懂了吗？
请你先填空完成
（2）中s的计算结果，再用你学到的方法计算
3
s4．
（3）试写出s，s，s三者之间的关系式；
n﹣2
n﹣1
n
（4）根据（3）得出的结论，计算s．
6
19．
（1）利用因式分解简算：
9.82+0.4×9.8+0.04
2
（2）分解因式：
4a（a﹣1）﹣（1﹣a）
2
2
20．阅读材料：
若m﹣2mn+2n﹣8n+16=0，求m、n的值．
2
2
2
2
2
解：
∵m﹣2mn+2n﹣8n+16=0，∴（m﹣2mn+n）+（n﹣8n+16）=0
2
2
2
2
∴（m﹣n）+（n﹣4）=0，∴（m﹣n）=0，（n﹣4）=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
2
2
（1）已知x+2xy+2y+2y+1=0，求x﹣y的值．
2
2
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a+b﹣6a﹣8b+25=0，
求△ABC的最大边c的值．
（3）已知a﹣b=4，ab+c
2
﹣6c+13=0，则a﹣b+c=
．
21．仔细阅读下面例题，解答问题：
2
例题：
已知二次三项式x﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m
的值．
第4页（共31页）
2
2
2
解：
设另一个因式为（x+n），得x﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x﹣4x+m=x+（n+3）
x+3n
∴n+3=﹣4
m=3n
解得：
n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：
2
（1）若二次三项式x﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=
；
2
（2）若二次三项式2x+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b=
；
2
2x+5x﹣k有一个因式是
（3）仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式
（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．
22．分解因式：
2
（1）2x﹣x；
（2）16x﹣1；
2
2
2
3
（3）6xy﹣9xy﹣y；
2
（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）．
2
2
2
2
23．已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）=3（a+b+c），试确定
三角形的形状．
24．分解因式
（1）2x﹣4xy+2y4
4
22
3
2
2
（2）2a﹣4ab+2ab．
25．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四
块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）图②中的阴影部分的面积为；
（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）、（m﹣n）、mn之间的等量关
2
2
系是
．
第5页（共31页）
2
（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）=
．
（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．
如图③，它表示了
．
2
（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m+4mn+3n
2
．
2
26．已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c+16=0，求2a+b+c的值．
27．已知：
一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足
a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，
求：
这个长方体的体积．
2
2
2
28．（x﹣4x）﹣2（x﹣4x）﹣15．
29．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
=（1+x）[1+x+x（x+1）]
2
=（1+x）（1+x）
=（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是
，共应用了
次．
2
2004
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）+⋯+x（x+1），则需应用上述方法
次，
结果是
．
2
n
（3）分解因式：
1+x+x（x+1）+x（x+1）+⋯+x（x+1）（n为正整数）．
30．对于多项式x﹣5x+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3
3
2
﹣5x
2
+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：
把x=a代入多项
第6页（共31页）
式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式
3
2
2
写成：
x﹣5x+x+10=（x﹣2）（x+mx+n），
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式
﹣10的因式．
x﹣2x﹣13x
32
第7页（共31页）
2017年05月21日数学（因式分解难题）2
参考答案与试题解析
一．填空题（共10小题）
2
1．（2016秋?
望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则xy+xy2
的值为160．
【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．
【解答】解：
∵x+y=10，xy=16，
2
2
∴xy+xy=xy（x+y）=10×16=160．
故答案为：
160．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
2．（2016秋?
新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因
看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分
解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：
﹣3）．
2（x
2
【分析】根据多项式的乘法将2（x﹣1）（x﹣9）展开得到二次项、常数项；
将2（x﹣2）（x﹣4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该
多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式．
2
【解答】解：
∵2（x﹣1）（x﹣9）=2x﹣20x+18；
2
2（x﹣2）（x﹣4）=2x﹣12x+16；
2
∴原多项式为2x﹣12x+18．
2
2
2
2x﹣12x+18=2（x﹣6x+9）=2（x﹣3）．
【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，
看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次
第8页（共31页）
项正确．
3．（2015春?
昌邑市期末）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则
m的值是±4．
2
2
2
2
【分析】利用完全平方公式（a+b）=（a﹣b）+4ab、（a﹣b）=（a+b）﹣4ab
计算即可．
2
2
【解答】解：
∵x+mx+4=（x±2），
2
2
即x+mx+4=x±4x+4，
∴m=±4．
故答案为：
±4．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式
是解题关键．
2
4．（2015秋?
利川市期末）分解因式：
4x﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．
2
【分析】ax+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项
系数a分解成两个因数a
12
，a
的积a?
a
12
，把常数项c分解成两个因数c，c
12
2
的积c?
c，并使ac+ac正好是一次项b，那么可以直接写成结果：
ax+bx+c=
1
2
12
21
（a
x+c）（ax+c），进而得出答案．
1122
2
【解答】解：
4x﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．
故答案为：
（2x﹣3）（2x+1）．
【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键．
5．（2015春?
东阳市期末）利用因式分解计算：
2022+202×196+982=90000．
【分析】通过观察，显然符合完全平方公式．
2
【解答】解：
原式=202+2x202x98+982
第9页（共31页）
=（202+98）2
=3002
=90000．
【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值．
2
2
2
6．（2015秋?
浮梁县校级期末）△ABC三边a，b，c满足a+b+c=ab+bc+ca，
则△ABC的形状是等边三角形．
2
【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得（a﹣b）+（a
2
2
﹣c）+（b﹣c）=0，得出：
a=b=c，即选出答案．
2
2
2
【解答】解：
等式a+b+c=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：
2
2
2
2a+2b+2c=2ab+2bc+2ac，
2
2
2
2
2
2
即a﹣2ab+b+a﹣2ac+c+b﹣2bc+c=0，
即（a﹣b）+（a﹣c）+（b﹣c）
2
2
2
=0，
解得：
a=b=c，
所以，△ABC是等边三角形．
故答案为：
等边三角形．
【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得
a=b=c，由三边相等判定△ABC是等边三角形．
2
2
2
2
2
2
2
2
7．（2015秋?
鄂托克旗校级期末）计算：
1﹣2+3﹣4+5﹣6+⋯﹣100+101=
5151．
【分析】通过观察，原式变为1+（3﹣2）+（5﹣4）+（101﹣100），进一
222222
步运用高斯求和公式即可解决．
【解答】解：
1﹣2+3﹣4+5﹣6+⋯﹣100+1012
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=1+（3﹣2）+（5﹣4）+（101﹣100）
第10页（共31页）
=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+⋯+（101+100）
=（1+101）×101÷2
=5151．
故答案为：
5151．
【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题．
8．（2015秋?
乐至县期末）定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运
算的四个结论：
①2★（﹣2）=3
②a★b=b★a
③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab
④若a★b=0，则a=1或b=0．
其中正确结论的序号是
③④（填上你认为正确的所有结论的序号）．
【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：
①2★（﹣2）=（1﹣2）×（﹣2）=2，本选项错误；
②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故a★b不一定等于b★a，本选项错误；
③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=（1﹣a）a+（1﹣b）b=a﹣a+b﹣b=﹣a2
2
2
2
2
﹣b=﹣2a=2ab，本选项正确；
④若a★b=0，即（1﹣a）b=0，则a=1或b=0，本选项正确，
其中正确的有③④．
故答案为③④．
【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新
定义是解本题的关键．
2
3
2
3
4
5
6
7
8
9．（2015春?
张掖校级期末）如果1+a+a+a=0，代数式a+a+a+a+a+a+a+a=
第11页（共31页）
0．
【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可．
【解答】解：
∵1+a+a+a
23
=0，
∴a+a+a+a
234
5678
+a+a+a+a，
2
3
5
2
3
=a（1+a+a+a）+a（1+a+a+a），
=0+0，
=0．
故答案是：
0．
【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．
2
2
10．（2015春?
昆山市期末）若多项式x﹣6x﹣b可化为（x+a）﹣1，则b的
值是﹣8．
【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可．
2
2
2
【解答】解：
∵x﹣6x﹣b=（x﹣3）﹣9﹣b=（x+a）﹣1，
∴a=﹣3，﹣9﹣b=﹣1，
解得：
a=﹣3，b=﹣8．
故答案为：
﹣8．
【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键．
二．解答题（共20小题）
2
2
11．已知n为整数，试说明（n+7）﹣（n﹣3）的值一定能被20整除．
【分析】用平方差公式展开（n+7）﹣（n﹣3），看因式中有没有20即可．
2
2
【解答】解：
（n+7）
2
﹣（n﹣3）
2
=（n+7+n﹣3）（n+7﹣n+3）=20（n+2），
2
2
∴（n+7）﹣（n﹣3）的值一定能被20整除．
2
2
【点评】主要考查利用平方差公式分解因式．公式：
a﹣b=（a+b）（a﹣b）．
第12页（共31页）
2
12．（2016秋?
农安县校级期末）因式分解：
4xy﹣4xy+y．
【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：
4x
2
y﹣4xy+y
2
=y（4x﹣4x+1）
2
=y（2x﹣1）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因
式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，
直到不能分解为止．
13．（2015秋?
成都校级期末）因式分解
（1）a﹣ab2
3
（2）（x﹣y）+4xy．
2
【分析】
（1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用完全平方公式分解即可．
2
2
【解答】解：
（1）原式=a（a﹣b）=a（a+b）（a﹣b）；
2
2
2
2
2
（2）原式=x﹣2xy+y+4xy=x+2xy+y=（x+y）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方
法是解本题的关键．
14．（2015春?
甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：
若m
2
2
+2mn+2n﹣6n+9=0，求m和n的值．
22
解：
∵m+2mn+2n﹣6n+9=0
2
2
2
∴m+2mn+n+n﹣6n+9=0
2
2
∴（m+n）+（n﹣3）=0
第13页（共31页）
∴m+n=0，n﹣3=0
∴m=﹣3，n=3
问题：
（1）若x+2y﹣2xy+4y+4=0，求x的值．
22y
2
2
（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a+b﹣6a﹣6b+18+|3
﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？
2
2
2
2
【分析】
（1）首先把x+2y﹣2xy+4y+4=0，配方得到（x﹣y）+（y+2）=0，
再根据非负数的性质得到x=y=﹣2，代入求得数值即可；
2
2
2
2
（2）先把a+b﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，配方得到（a﹣3）+（b﹣3）+|3﹣
c|=0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可．
2
2
【解答】解：
（1）∵x+2y﹣2xy+4y+4=0
2
2
2
∴x+y﹣2xy+y+4y+4=0，
∴（x﹣y）+（y+2）
22
=0
∴x=y=﹣2
∴
；
（2）∵a+b﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，
22
2
2
∴a﹣6a+9+b﹣6b+9+|3﹣c|=0，
2
2
∴（a﹣3）+（b﹣3）+|3﹣c|=0
∴a=b=c=3
∴三角形ABC是等边三角形．
【点评】此题考查了配方法的应用：
通过配方，把已知条件变形为几个非负数
的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解
决问题．
15．（2015秋?
太和县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，
第14页（共31页）
2
2
2
2
2
2
那么称这个正整数为“和谐数”．如4=2﹣0，12=4﹣2，20=6﹣4，因此4，
12，20这三个数都是和谐数．
（1）36和2016这两个数是和谐数吗？
为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数
构造的和谐数是4的倍数吗？
为什么？
（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为2500．
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【分析】
（1）利用36=10﹣8；2016=505﹣503说明36是“和谐数”，2016
不是“和谐数”；
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（2）设两个连续偶数为2n，2n+2（n为自然数），则“和谐数（2n+2）﹣（2n）
2，利用平方差公式展开得到（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）=4（2n+1），然后利用整
除性可说明“和谐数”一定是4的倍数；
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（3）介于1到200之间的所有“和谐数”中，最小的为：
2﹣0=4，最大的为：
502﹣482=196，将它们全部列出不难求出他们的和．
【解答】解：
（1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”．理由如下：
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36=10﹣8；2016=505﹣503；
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（n为自然数），
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∵（2k+2）﹣（2k）=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）
=（4k+2）×2
=4（2k+1），
∵4（2k+1）能被4整除，
∴“和谐数”一定是4的倍数；
（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，
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S=（2﹣0）+（4﹣2）+（6﹣4）+⋯+（50﹣48）=50=2500．
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故答案是：
2500．
【点评】本题考查了因式分解的应用：
利用因式分解把所求的代数式进行变形，
从而达到使计算简化．
16．（2015春?
兴化市校级期末）如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长
为b宽为a的长方形②以及
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