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1、初中数学竞赛辅导讲义初中数学竞赛辅导讲义初中数学竞赛辅导讲义：从创新构造入手有些数学问题直接求解比较困难,可通过创造性构造转化问题而使问题获解.所谓构造法,就是综合运用各种知识和方法,依据问题的条件和结论给出的信息,把问题作适当 的加工处理.构造与问题相关的数学模式,揭示问题的本质,从而沟通解题思路的方法.构造法 是一种创造性思维,是建立在对问题结构特点的深刻认识基础上的.构造法的基本形式是以已知条件为“原料”，以所求结论为“方向”，构造一种新的数学形 式,初中阶段常用的构造解题的基本方法有：1.构造方程；2.构造函数；3.构造图形；4.对于存在性问题,构造实例；5.对于错误的命题,构造反例；

2、6.构造等价命题等.【例题求解】【例1】 设、方2都为实数9H“2 满足1 +如) = (2 +妬)(。2 +方2),求证:(1 bl)(a2 +1) = (1 +/?2 )(2 +“2)= I 思路点拨可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试.仔细观察已知等式特 点,d、d 2可看作方程(-V + )(X + b2 ) = 1的两根,则(X + bi )(1 + )- I = (X-“I)(兀-)，通过构造方程揭示 题设条件与结论的内在规律,解题思路新颖而深刻注：一般说来,构造法包含下述两层意思：利用抽象的普遍性,把实际问题转化为数学模型；利 用具体问题的特殊性,给所解决的问题设

3、讣一个框架,强调数学应用的数学建模是前一层意思的 代表,而后一层意思的“框架”含义更为广泛,如方程、函数、图形、“抽屉”等.【例2】求代数式+2x + 2 +4 _力+ 13的最小值.思路点拨用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值.JF +2x+2 + jF-4x+13 = JeV+ /+(O-)? + J(x-2f+(0-3)?,于是问题转化为:在X 轴上求一点C(l,0),使它到两点A(- 1,1)和B(2,3)的距离和(CA+CB)最小,利用对称性可求出C点坐标.这 样,通过构造图形而使问题获解.【例3】已知b、C为整数,方程5a-2xc = O的两根都大于-1且小于0,求b和C的值

4、.思路点拨 利用求根公式,解不等式组求出b、C的范围,这是解本例的基本思路,解法繁难.Ill 于二次函数与二次方程有深刻的内在联系,构造函数,令v = 5a2c,从讨论抛物线与X轴交点 在-1与0之间所满足的约束条件入手.【例4】如图,在矩形ABCD中AD=-ABM,问：能否在Ab边上找一点E,使E点与C、D的 连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到,这样的E点有儿个?若不能找到,请说明理 由.思路点拨 假设在AB边上存在点E,使RtAADEsRtABECsRtZiECD,乂设AE=x,则 挣鬻即竽于是将问题转化为关于”的一元二次方程是否有实根在定条件下有儿 个实根的研究,通过构造方程

5、解决问题.【例5】试证：世界上任何6个人,总有3人彼此认识或者彼此不认识.思路点拨 构造图形解题,我们把“人”看作“点”,把2个人之间的关系看作染成颜色的线段.比 如2个人彼此认识就把连接2个人的对应点的线段染成红色；2个人彼此不认识,就把相应的线 段染成蓝色,这样,有3个人彼此认识就是存在一个3边都是红色的三角形,否则就是存在一个3 边都是蓝色的三角形,这样本题就化作：已知有6个点,任何3点不共线,每2点之间用线段连结起来,并染上红色或蓝色,并且一条边 只能染成一种颜色.证明：不管怎么染色,总可以找出三边同色的三角形.注：“数缺形时少直观,形缺少时难入微”数形互助是一种重要的思想方法,主要体

6、现在：(1)儿何问题代数化；(2)利用图形图表解代数问题；(3)构造函数,借用函数图象探讨方程的解.利用代数法解儿何题,往往是以较少的量的字母表示相关的儿何量,根据儿何图形性质列岀 代数式或方程(组),再进行计算或证明.特别地,证明儿何存在性的问题可构造方程,利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求 证；应用为韦达定理,讨论儿何图形位置的可能性.有些问题可通过改变形式或换个说法,构造等价命题或辅助命题,使问题清晰且易于把握.对于存在性问题,可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象,即所谓的存在性问题的 “构造性证明”.学历训练1.若关于X的方程(I-Hr)A22,ha-1 = 0的所有根都是

7、比1小的正实数,则实数加的取值范围是 2.已知a、b、c、d是四个不同的有理数,且(a+c)(a+d) = l,(b+c)(b+) = l,那么(a+c)(b+c)的值是 .3. 代数式yx2 +4 + (12-x)2 +9的最小值为 .4.A、B、C、D、E、F六个足球队单循于不赛,已知A、B、C、D、E五个队已经分别比赛 T5、 4、3、2、1场,则还未与B队比赛的球队是 .5.若实数“、b满足a2+ab+b2lt=ab-a2-b2Ml的取值范围是 6.设实数分别$、分别满足19s2+99s + l = 0j2+99r + 19 = 0,并且$小,求 Xll的值.t7.已知实数 a、b、C

8、 满足(+c)(+b+c) 4-a(a + b + c).8.写出10个不同的自然数,使得它们中的每个是这10个数和的一个约数,并说明写出的10个 自然数符合题设条件的理111.9.求所有的实数,使得X=Fl+ .、亦阀 110若是不全为零且绝对值都小于10&的整数求证:11.已知关于X的方程-2=有四个不同的实根,求的取值范围.12.设0, y9 Zvlo,求证x(l-y) + y(l一z) + z(l一兀)113.从自然数1,2,3,354中任取178个数,试证：其中必有两个数,它们的差为177.14.已知 a、b、c、d、e 是满足 a+b+c+d +e = S ,a +b +c2 +d

9、1 +6, = 16 的实数,试确定 e 的最大 值.15如图,已知一等腰梯形,其底为4和以高为(1)在梯形的对称轴上求作点P,使从点P看两腰的视角为直角;求点P到两底边的距离；(3)在什么条件下可作岀P点?【例題求解】例 I -IaI %d：是力 ax+61)(z+)-l= O 的雋根 -l = (x_aj令工一得(al+6J (aj + 6) 1令 NH l-l例2 5作出B点关于工轴的对赛点B(2-3)连ABr交.W AB,AC+CB,为所要求的Ik小值.M3根据函數y-5jrt6x+c的图食和题设条件知 当 jriO 时5x, 6xrO * CX)当 Z-1 时5K+6+v0 65 +

10、 20cUrRtBECooRtECD.ffl -. KP得 F 心4农才 a=0因为 -4a, =(fr+2a(6-2zz).所以有 若勿(M-2aV0,則当b0.当b=2a时山=0方程有尊根摘足条件的E点有且只有一个,3若&十2a062a0则当b2a时心0方辐有悶个不相务的正根禱足条件的E点押臨个. 田豪有四个不问交点如图作出y=irz 2、r+】|的EE象再作出yk的氏叙从图锻町以看 出当O 怡=i-23x+l的33 才有四个不同交点也即原方程有四个 不同的实根.例S考虑其中一个点设为人从人点违出的5条统段染了色则必有三条线段同色设ABMCMD同为红色若 BC、CD、BD三找段中有一条红色

11、烈必岀现三边样是红色的三角形.若BC.CD.BD三蛻段中没有一条红色 JHiJ三找 段均为盘色这时 BCDtt是一个三边都是蓝色的三角形因而必岀现三边榔是同色的三角形.【学力训练】I- EaSlaX加2 2. 一1零見例】 313乩-3f-y.e的代效式丧用“+几构逍一元二次方程.6 () 99()190W rl.tt-yf 是一元二次方程 x,99j19 = 0 的剜个不同实札則丄+c=T9.2 IQ 3 $ $ S19即+1一99川19矢脈欢吐如U-99 卄 4$_5j _7令 -j, + 6-c)r2(a+A+). 7 U+)(a+A+)C与丁豹有两个不同的交点.: (6-c2 4a(a

12、 t-ft+cO即(6一4讥1+6+C83个自1.2.3,它舒中的毎一个部是这3个数和的一个约数若已有K3)个自JKftd1 .a,.fltt它们中的毎小是这卜 个效和(记为P)的一个约.=h匚二寸 v2r 由得y*=-y代入a)理-占+ -o巧.工_ 即 ,-0.MWx-号$ 但-r0.故 r=上詳.10若6=c-0.依理设IalAl10不等式成立.若 b.c 中至少个不为#构造对何式A=a+3c.Ba +7-5Vm-6+JcD=-2-57 于恳 A B C D-(a+26),-3c,(a-Z,-3-(at + 2夕一3宀一8aWV J整数 ABC D也足整數且不为零. MCD*AAA闸Fq

13、. q花立 财12.如田构适边长为】的正 PQRd别在边上取点L.M.N,使1R = )MF= sNQ=z则QL=I 一 yRM=l-N=l-mV Smw Sar+SPWW(l- + y(l-) + r()-)l.13.两效差为 177 的数必成对出现 s(U178).(2179).(3.18O)-.(177354).从 1.2.-.354 中任取 178个数即是从这177个数姐(抽屉)中任取178个數由抽JS原理有必有两数同数组(抽屉这 两敢之差恰为177.14.令 /(/) = (/)2(-)e +(-c)z (-/)2 则 /(z)4z1 2(fl+6+c + )r (2 +62 +r2

14、 +0V f 的 40 A=4(8r)j 16(16 宀 0解得 OW 普故 j孥15以CD为直径作半圆交MN于点P,即为所求.(2)设P到BC的跑离PNUXM C = PDx + P=+(PN1 + NCt)- (y), + (-x),+,(y )CD, NfN1 十(宁)* =A2 + (宁)： (y) + (-r)t + + (y)2=z + () *整理得 4jj-4j + ft=0.解得 PAfjr (3)求作P点的作图足否可以实现J.然取决于方程是否有实效根即取决于-16.O即可以作出两点，当2=a.=O.即可以作岀一点$当h2d6.0.即作图不能实现.初中数学竞赛辅导讲义：动态几

15、何问题透视春去秋来,花开花落,物转星移,世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互转化中, 事物的本质特征只有在运动中方能凸现出来.动态儿何问题,是指以儿何知识和图形为背景,渗入运动变化观点的一类问题,常见的形式 是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等,解这类问题的基本策略是：1.动中觅静这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系,动中觅静就是在运动变化中探索问题中的 不变性.2.动静互化“静”只是“动”的瞬间,是运动的一种特殊形式,动静互化就是抓住“静”的瞬间,使一般 情形转化为特殊问题,从而找到“动”与“静”的关系.3.以动制动以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系,通过研

16、究运动函数,用联系发展的观点来研 究变动元素的关系.注：儿何动态既是一类问题,也是一种观点与思维方法,运用儿何动态的观点,可以把表面看来不 同的定理统一起来,可以找到探求儿何中的最值、定值等问题的方法；更一般情况是,对于一个 数学问题,努力去发掘更多结论,不同解法,通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等,这就是常 说的“动态思维”.【例题求解】【例1】如图,把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上,按顺时针方向在/上转动两次,使它 转到ABC的位置,设BC=I,AC= ,则顶点A运动到点A的位置时,点A经过的路线与直线/ 所围成的面积是 .思路点拨 解题的关键是将转动的图形准确分割.Rt ABC

17、的两次转动,顶点A所经过 的 路线是两段圆弧,其中圆心角分别为120。和90 ,半径分别为2和但该路线与直线/所圉成 的面积不只是两个扇形面积之和【例2如图,在G)O中,P是直径AB上一动点,在AB同侧作AA，丄AB,BB，丄AB,且 AAJAP.BB JBR连结A，B；当点P从点A移到点B时,A，B，的中点的位置()A.在爻分AB的某直线上移动 B.在垂直AB的某直线上移动C.在AmB上移动 D.保持固定不移动思路点拨 画图、操作、实验,从中发现规律.【例3】如图,菱形OABC的长为4厘米,ZAOC=60 ,动点P从O出发,以每秒1厘米的速度 沿OfAfB路线运动,点P出发2秒后,动点Q从O

18、出发,在OA上以每秒1厘米的速度,在AB 上以每秒2厘米的速度沿O-A-B路线运动,过P、Q两点分别作对角线AC的平行线.设P 点运动的时间为X秒,这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为y厘米,请 你回答下列问题：(1)当x=3时,y的值是多少？(2)就下列各种情形：Oa 2; (2)2x4; (3)4 6; 6x8求 y 与 X 之间的函数关系式(3)在给出的直角坐标系中,用图象表示中的各种情形下y与X的关系.思路点拨本例是一个动态儿何问题,乂是一个“分段函数”问题,需运用动态的观点,将各段分 别讨论、画图、计算. 注：动与静是对立的,乂是统：一的,无论图形运动变化的哪一类

19、问题,都真实地反映了现实世界 中数与形的变与不变两个方面,从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题,是一种重要的解题 策略.建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题,许多相关问题就转化为求函数值或自 变量的值.【例4如图,正方形ABCD中,有一直径为BC的半圆,BC=2cm,现有两点E、E分别从点B、 点A同时出发,点E沿线段BA以Im /秒的速度向点A运动,点F沿折线A-D-C以2cm / 秒的速度向点C运动,设点E离开点B的时间为2 (秒).(1)f为何值时,线段EF与BC平行？(2)15 12,S/为何值时,EF与半圆相切？(3)当10时,求关于r 的函数解析式,并写出自变量r的取值

20、范围.6.已知：如图,OO韵直径为10,弦AC=&点B在圆周上运动(与A、C两点不重合),连结BC、 BA,过点C作CDAB于D.设CB的长为a ,CD的长为y.(1)求y关于X的函数关系式；当以Be为直径的圆与AC相切时,求y的值；(2)在点B运动的过程中,以CD为直径的圆与OO有儿种位置关系,并求出不同位置时)，的取 值范围；(3)在点B运动的过程中,如果过B作BE丄AC于E,那么以BE为直径的圆与(DO能内切吗? 若不能,说明理由；若能,求出BE的长.7.如图,已知A为ZPOQ的边OQ上一点,以A为顶点的ZMAN的两边分别交射线OP于 N两点,且ZMAN=ZPOQ= a为锐角).当ZMA

21、N以点A为旋转中心,AM边从与AO重合的 位置开始,按逆时针方向旋转(ZMAN保持不变)时,M、N两点在射线OP上同时以不同的速度 向右平移移动.设OM=X ,ON=(,va NO), AOM的面积为S,若CoSa、OA是方程2z2-5z + 2 = 0 的两个根.当ZMAN旋转30 (即ZOAM=30 )时,求点N移动的距离;求证：AN2=ONMN；(3)求y与X之间的函数关系式及自变量X的取值范围；(4)试写出S随X变化的函数关系式,并确定S的取值范围.8.已知：如图,梯形 ABCD 中,ADBC,AB=CD=3cm,ZC=60 ,BDCD.(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始

22、沿BC边向点C以2cm / S的速度运动,点Q从点C开始沿CD边向 点D以ICm / S的速度运动,当P、Q分别从B、C同时出发时,写出五边形ABPQD的面积S与 运动时间？之间的函数关系式,并写出自变量f的取值范圉(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在的前提下,是否存在某一时刻使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5? 若存在,求出r的值；若不存在,请说明理山.9.已知：如图,E、F、G、H按照AE=CGBF=DH,BF=nAE(n是正整数)的关系,分别在两邻 边长a Ua的矩形ABCD各边上运动.设AE=x,四边形EFGH的面积为S.(1)当21、2时,如图、,观察运动情况,

23、写出四边形EFGH各顶点运动到何位置,使？(2)当n=3时,如图,求S与X之间的函数关系式(写出自变量X的取值范圉),探索S随X增大 而变化的规律；猜想四边形EFGH各顶点运动到何位置,使S = *S坏形做当n=k (kl)时,你所得到的规律和猜想是否成立?请说明理山.aAHD10.如图1,在直角坐标系中,点E从O点出发,以1个单位/秒的速度沿X轴正方向运动,点F从 O点出发,以2个单位/秒的速度沿)，轴正方向运动,B(4,2),以BE为直径作.若点E、F同时出发,设线段EF与线段OB交于点G试判断点G与)O的位置关系,并 证明你的结论；(2)在的条件下,连结FBJL秒时FB与OOi相切？(3

24、)如图2,若E点提前2秒出发,点F再出发,当点F出发后,E点在A点左侧时,设BA丄X轴 于A点,连结AF交G)Ol于点P,试问PAFA的值是否会发生变化?若不变,请说明理曲,并求其 值；若变化,请求其值的变化范围.【例题求解】 I 25 , 5Wl 122例2选D例 3 (1当 x*3 时y=3X3 1 = 8$(2当 0W2 时，=36即3小 当 2x4 时,y*3OP-OQ-3x-2(OAAP)-(XJPB=2jr-(-2) + (8-x) = lO, 当 68 l)JAQ-2(j2)-4-2j-12yE3(AB -Q)-PB=34-(8-j)-5j + 4Oj Q)略.9K (1 设 E、F 出发后运动了 f 秒时.EFBC.tflffl(a)M BEt.CF 4-2t.由 r4-2x.W r-R3 当 时.EFBC.(2)设E、F出发JS运动了秒t. E F与半WI相切 1W2 E.F分MffBAXD上