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初中数学竞赛辅导讲义

初中数学竞赛辅导讲义：

从创新构造入手

有些数学问题直接求解比较困难,可通过创造性构造转化问题而使问题获解.

所谓构造法,就是综合运用各种知识和方法,依据问题的条件和结论给出的信息,把问题作适当的加工处理.构造与问题相关的数学模式,揭示问题的本质,从而沟通解题思路的方法.构造法是一种创造性思维,是建立在对问题结构特点的深刻认识基础上的.

构造法的基本形式是以已知条件为“原料”，以所求结论为“方向”，构造一种新的数学形式,初中阶段常用的构造解题的基本方法有：

1.构造方程；

2.构造函数；

3.构造图形；

4.对于存在性问题,构造实例；

5.对于错误的命题,构造反例；

6.构造等价命题等.

【例题求解】

【例1】设α∣、、％、方2都为实数9①H“2‘满足@1+如⑷÷⅛）=（^2+妬）（。

2+方2）,求证:

（∏1^bl）（a2+⅛1）=（∏1+/?

2）（^2+“2）=—I•

思路点拨可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试.仔细观察已知等式特点,d］、d2可看作方程（-V+⅛∣）（X+b2）=1的两根,则（X+bi）（1'+）-I=（X-“I）（兀-），通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律,解题思路新颖而深刻•

注：

一般说来,构造法包含下述两层意思：

利用抽象的普遍性,把实际问题转化为数学模型；利用具体问题的特殊性,给所解决的问题设讣一个框架,强调数学应用的数学建模是前一层意思的代表,而后一层意思的“框架”含义更为广泛,如方程、函数、图形、“抽屉”等.

【例2】求代数式+2x+2+4_力+13的最小值.

思路点拨用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值.

JF+2x+2+jF-4x+13=JeV+/+（O-]）?

+J（x-2f+（0-3）?

于是问题转化为:

在X轴上求一点

C（l,0）,使它到两点A（-1,1）和B（2,3）的距离和（CA+CB）最小,利用对称性可求出C点坐标.这样,通过构造图形而使问题获解.

【例3】已知b、C为整数,方程5a-2÷⅛x÷c=O的两根都大于-1且小于0,求b和C的值.

思路点拨利用求根公式,解不等式组求出b、C的范围,这是解本例的基本思路,解法繁难.Ill于二次函数与二次方程有深刻的内在联系,构造函数,令v=5a∙2÷^÷c,从讨论抛物线与X轴交点在-1与0之间所满足的约束条件入手.

【例4】如图,在矩形ABCD中AD=-ABM,问：

能否在Ab边上找一点E,使E点与C、D的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?

若能找到,这样的E点有儿个?

若不能找到,请说明理由.

思路点拨假设在AB边上存在点E,使RtAADEsRtABECsRtZiECD,乂设AE=x,则挣鬻即『竽'于是将问题转化为关于”的一元二次方程是否有实根'在—定条件下有儿个实根的研究,通过构造方程解决问题.

【例5】试证：

世界上任何6个人,总有3人彼此认识或者彼此不认识.

思路点拨构造图形解题,我们把“人”看作“点”,把2个人之间的关系看作染成颜色的线段.比如2个人彼此认识就把连接2个人的对应点的线段染成红色；2个人彼此不认识,就把相应的线段染成蓝色,这样,有3个人彼此认识就是存在一个3边都是红色的三角形,否则就是存在一个3边都是蓝色的三角形,这样本题就化作：

已知有6个点,任何3点不共线,每2点之间用线段连结起来,并染上红色或蓝色,并且一条边只能染成一种颜色.证明：

不管怎么染色,总可以找出三边同色的三角形.

注：

“数缺形时少直观,形缺少时难入微”数形互助是一种重要的思想方法,主要体现在：

（1）儿何问题代数化；

（2）利用图形图表解代数问题；

（3）构造函数,借用函数图象探讨方程的解.

利用代数法解儿何题,往往是以较少的量的字母表示相关的儿何量,根据儿何图形性质列岀代数式或方程（组）,再进行计算或证明.

特别地,证明儿何存在性的问题可构造方程,利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求证；应用为韦达定理,讨论儿何图形位置的可能性.

有些问题可通过改变形式或换个说法,构造等价命题或辅助命题,使问题清晰且易于把握.

对于存在性问题,可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象,即所谓的存在性问题的“构造性证明”.

学历训练

1.若关于X的方程（I-Hr）A∙2÷2,ha-1=0的所有根都是比1小的正实数,则实数加的取值范围

是•

2.已知a、b、c、d是四个不同的有理数,且（a+c）（a+d）=l,（b+c）（b+∕）=l,那么（a+c）（b+c）的值

是.

3.代数式y∣x2+4+λ∕（12-x）2+9的最小值为.

4.A、B、C、D、E、F六个足球队单循于不赛,已知A、B、C、D、E五个队已经分别比赛T

5、4、3、2、1场,则还未与B队比赛的球队是.

5.若实数“、b满足a2+ab+b2≈l^t=ab-a2-b2Ml的取值范围是•

6.设实数分别$、「分别满足19s2+99s+l=0j2+99r+19=0,并且$小,求Xll的值.

7.已知实数a、b、C满足（α+c）（α+b+c）

（b-c）2>4-a（a+b+c）.

8.写出10个不同的自然数,使得它们中的每个是这10个数和的一个约数,并说明写出的10个自然数符合题设条件的理111.

9.求所有的实数χ,使得X=Fl+}∣.

"、亦阀>1⅛Γ∙

10・若是不全为零且绝对值都小于10&的整数・求证:

11.已知关于X的方程∣√-2‰ι∣=^有四个不同的实根,求£的取值范围.

12.设0<λ∙,y9Zvlo,求证x（l-y）+y（l一z）+z（l一兀）<1・

13.从自然数1,2,3,…354中任取178个数,试证：

其中必有两个数,它们的差为177.

14.已知a、b、c、d、e是满足a+b+c+d+e=S,a~+b~+c2+d1+6,=16的实数,试确定e的最大值.

15•如图,已知一等腰梯形,其底为4和以高为

（1）在梯形的对称轴上求作点P,使从点P看两腰的视角为直角;

⑵求点P到两底边的距离；

（3）在什么条件下可作岀P点?

【例題求解】

例I-IaI%d：

是力a-l=∙（x_aj・令工■一得（al+6J（aj+6∣）≈∙"1∣令NH~¼ιlβ<Λι+¼）（βr-¼>-β"l∙

例25作出B点关于工轴的对赛点B'（2∙-3）∙连ABr交.WAB,≈AC+CB,为所要求的Ik小值.

M3根据函數y-5jrt÷6x+c的图食和题设条件知当jri≡O时∙5x,÷6x÷r>O∙∙*∙CX）

当Z«-1时∙5K+6τ+v>0∙∙∙∙6<5+<∙

頂点的横變标足-】V一悬Vo••・OVXlO

又由A3O∙即100>^≥20cU⅞r

例415设左AB边上存茯点E•便RtΔADEσ>RtΔBECooRt∆ECD.ffl—-.KP得F—心4农

才a

因为-4a,=（fr+2a>（6-2zz）.所以有

⑴若—勿>（M-2aV0,則当b<2a时∙X0∙方程无不存在■

（2〉若b+2a>0.当b=2a时山=0∙方程有尊根•摘足条件的E点有且只有一个,

«3》若&十2a>0∙6—2a>0∙则当b>2a时心>0・方辐有悶个不相务的正根・禱足条件的E点押臨个.田豪有四个不问交点•如图作出y=irz—2、@r+】|的EE象•再作出y≈k的氏叙•从图锻町以看出当O<怡<2时•宜&ty≈k与>=i√-2√3x+l∣的33◎才有四个不同交点•也即原方程有四个不同的实根.

例S考虑其中一个点•设为人■从人点违出的5条统段染了«色•则必有三条线段同色•设ABMCMD同为红色•若BC、CD、BD三找段中有一条红色•烈必岀现三边样是红色的三角形.若BC.CD.BD三蛻段中没有一条红色∙JHiJ三找段均为盘色•这时△BCDtt是一个三边都是蓝色的三角形•因而必岀现三边榔是同色的三角形.

【学力训练】

I-EaSlaX加>22.一1零見例】3・13

乩-3≤f≤-y.e的代效式丧用“+几"•构逍一元二次方程.

6∙（⅛）÷99（τ）÷19≡0∙W∕r≠l.tt-y∙f是一元二次方程x,÷99j∙÷19=0的剜个不同实札則丄+c=T9.2∙I

Q3$$S

19•即"+1・一99川・19矢脈欢■吐如U

-99卄4$_

~"Γ5j_

7・令>-j,+<6-c）r÷<2（a+A+<∙）.7U+<∙）（a+A+<∙）<0.Λaτc与a+"+r均非#且菲负.因为当χ=-（a+A÷r）时*=2（a46+c）（a+CV0∙所以Itt物歿y≡≡"+（6-cλr+aa+M>C与丁豹有两个不同的交点.

∙Δ≡（6-c∙>2—4a（at-ft+c>>O⅛即（6一<*）‘>4讥<1+6+C・

8・3个自«»1.2.3,它舒中的毎一个部是这3个数和的一个约数•若已有K≥3）个自JKftd1.a,.∙∙∙.fltt它们中的毎小是这卜个效和（记为P）的一个约».«<*+!

）个自滋数a）・6・・・・・a,・P・*E们中的毎一个也是这S+1）个自然数和的一个的散•按籲这个想医•可褂1.2.3扩展列下■列10个自热数1∙2∙3∙6∙12∙24∙48.96∙192∙389∙它们中的毎一个暑它们旬的一个约敷・

9.设>√=h匚二寸v2√r①由②得y*=ι-y代入a）・©理-占+]-o∙

巧.工_]②

即,-0.MWx-号$但-r>0.故r=上詳.

10・若6=c-0.依理设IalAl>10~∙不等式成立.

若b.c中至少个不为#・构造对何式∣A=a+√^δ÷√3c.B≡a+7∑⅛-√5V∙m-√∑6+√JcD=°-√2⅛-√57∙于恳A∙B∙C∙D-[（a+√26）,-3c,][（a-√Z∂>,-3^]-（at+2夕一3宀’一8aW・

VJ⅛整数・••・A∙B∙C∙D也足整數且不为零.

•・•MCD*A∣AA闸Fq.q>花©立»财

12.如田■构适边长为】的正△PQRd别在边上取点L.M.N,使1R=）∙MF=sNQ=z∙则QL=I一y∙RM=l-"N=l-m

VSλmw∙Sδ∕a÷^γχ（l-χ><^×l×l.

即r（l-y>+y（l-τ）+r（）-χ）

13.两效差为177的数必成对出现s（U178）.（2∙179）.（3.18O）-.（177∙354）.从1.2.-.354中任取178个数•即是从这177个数姐（抽屉）中任取178个數•由抽JS原理有•必有两数同数组（抽屉〉•这两敢之差恰为177.

14.令/（/）=（/—α）2÷（∕-⅛）e+（∕-∙c）z÷（∕-

≥O.RP/（O≡4f2-2（8-f）r÷（16-e,）>0∙

Vf的⅛½4>0∙∙∙A=4（8r）j16（16—宀≤0∙解得OW普•故j■孥・

15・<1>以CD为直径作半圆交MN于点P,即为所求.

（2）设P到BC的跑离PNUX

MCσ=PDx+Pσ=+（PN1+NCt）-（y）,+（λ-x）,+^,÷（y）'

CD,NfN1十（宁）*=A2+（宁）'

：

•（y）+（λ--r）t+√+（y）2=Λz+（⅛）'*

整理得4jj-4Λj+αft=0.∙解得PAf—jr（3）求作P点的作图足否可以实现∙J≡.然取决于方程•是否有实效根•即取决于Δ-16<Λ2∙ab）

当Λ,>α⅛.Δ>O∙即可以作出两点，当Λ2=aΔ.Δ^=O.即可以作岀一点$当h2

初中数学竞赛辅导讲义：

动态几何问题透视

春去秋来,花开花落,物转星移,世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互转化中,事物的本质特征只有在运动中方能凸现出来.

动态儿何问题,是指以儿何知识和图形为背景,渗入运动变化观点的一类问题,常见的形式是：

点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等,解这类问题的基本策略是：

1.动中觅静

这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系,动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性.

2.动静互化

“静”只是“动”的瞬间,是运动的一种特殊形式,动静互化就是抓住“静”的瞬间,使一般情形转化为特殊问题,从而找到“动”与“静”的关系.

3.以动制动

以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系,通过研究运动函数,用联系发展的观点来研究变动元素的关系.

注：

儿何动态既是一类问题,也是一种观点与思维方法,运用儿何动态的观点,可以把表面看来不同的定理统一起来,可以找到探求儿何中的最值、定值等问题的方法；更一般情况是,对于一个数学问题,努力去发掘更多结论,不同解法,通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等,这就是常说的“动态思维”.

【例题求解】

【例1】如图,把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上,按顺时针方向在/上转动两次,使它转到A"B"C"的位置,设BC=I,AC=",则顶点A运动到点A〃的位置时,点A经过的路线与直线/所围成的面积是.

思路点拨解题的关键是将转动的图形准确分割.RtΔABC的两次转动,顶点A所经过的路线是两段圆弧,其中圆心角分别为120。

和90°,半径分别为2和但该路线与直线/所圉成的面积不只是两个扇形面积之和•

【例2］如图,在G）O中,P是直径AB上一动点,在AB同侧作AA，丄AB,BB，丄AB,且AAJAP.BBJBR连结A，B；当点P从点A移到点B时,A，B，的中点的位置（）

A.在爻分AB的某直线上移动B.在垂直AB的某直线上移动

C.在AmB上移动D.保持固定不移动

思路点拨画图、操作、实验,从中发现规律.

【例3】如图,菱形OABC的长为4厘米,ZAOC=60°,动点P从O出发,以每秒1厘米的速度沿OfAfB路线运动,点P出发2秒后,动点Q从O出发,在OA上以每秒1厘米的速度,在AB上以每秒2厘米的速度沿O-A-B路线运动,过P、Q两点分别作对角线AC的平行线.设P点运动的时间为X秒,这两条平行线在菱形上截出的图形（图中的阴影部分）的周长为y厘米,请你回答下列问题：

（1）当x=3时,y的值是多少？

（2）就下列各种情形：

ΦO≤a≤2;

（2）2≤x≤4;（3）4≤λ≤6;φ6≤x≤8∙求y与X之间的函数关系式∙

（3）在给出的直角坐标系中,用图象表示⑵中的各种情形下y与X的关系.

思路点拨本例是一个动态儿何问题,乂是一个“分段函数”问题,需运用动态的观点,将各段分别讨论、画图、计算.

①②

注：

动与静是对立的,乂是统：

一的,无论图形运动变化的哪一类问题,都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面,从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题,是一种重要的解题策略.

建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题,许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值.

【例4］如图,正方形ABCD中,有一直径为BC的半圆,BC=2cm,现有两点E、E分别从点B、点A同时出发,点E沿线段BA以Im/秒的速度向点A运动,点F沿折线A-D-C以2cm/秒的速度向点C运动,设点E离开点B的时间为2（秒）.

（1）⅛f为何值时,线段EF与BC平行？

（2）151<∕<2,S/为何值时,EF与半圆相切？

（3）当1≤∕<2时,设EF与AC相交于点R问点E、F运动时,点P的位置是否发生变化?

若发

生变化,请说明理由；若不发生变化,请给予证明,并求AP：

PC的值.

思路点拨动中取静,根据题意画出不同位置的图形,然后分别求解,这是解本例的基本策略,对

于

（1）、

（2）,运用相关儿何性质建立关于f的方程;对于（3）,点P的位置是否发生变化,只需看話是否为一定值.

注：

动态儿何问题常通过观察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规律,而把特定的运动状态,通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想.

【例5】OOi与C）O2相交于A、B两点；如图

（1）求：

CD的长（用含R、α的式子表示）；

（2）试判断CD与POl的位置关系,并说明理由；

（3）设点P¾Θθι±（ΘO2外）的动点,连结PA、P,B并分别延长交OO2于C、D；请你探究ZcAD是否等于α?

CTr与Po的位置关系如何?

并说明理山.

思路点拨对于⑴、⑵,作出圆中常见辅助线；对于（3）,P点虽为OOi上的一个动点,但ΘOhΘ

O2—些量（如半径、AB）都是定值或定弧,运用圆的性质,把角与孤联系起来・

学力训练

1.如图，ΔABCφ,ZC=90oΛB=12cn‰ZABC=60o,将AABC以点B为中心顺时针旋转,使

点C旋转到AB延长线上的D处,则AC边扫过的图形的面积是Cm（JI=3.14159-,®后

结果保留三个有效数字）.

2.如图,在Rt△ABCΦ,ZC=90o,ZA=60o,AC=√3cm,将ΔABC绕点B旋转至ΔA,BC,的位置,且使A、B、C三点在同一条直线上,则点A经过的最短路线的长度是cm∙

（第2题）

（第1题“

3・一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚,那么B点从开始至结束走过的路径长度为（）

A.—B.—C.4D.2+—

232

4.把AABC沿AB边平移到AABC的位置,它们的重叠部分的面积是△ABC的面积的一半,若AB=√2,则此三角形移动的距离AA是（）

A・、伍一1B.巴C・1D∙丄

（第3题）

（第4題）

5.如图,正三角形ABC的边长为6少厘米,OO的半径为r厘米,当圆心O从点A出发,沿着线路AB-BC-CA运动,回到点A时,OO随着点O的运动而移动.

⑴若r=√J厘米,求OO首次与BC边相切时AO的长；

（2）在O移动过程中,从切点的个数来考虑,相切有儿种不同的情况?

写出不同的情况下,r的取值范圉及相应的切点个数；

⑶设O在整个移动过程中,在AABC内部,OO未经过的部分的面积为S,在S>0时,求关于r的函数解析式,并写出自变量r的取值范围.

6.已知：

如图,OO韵直径为10,弦AC=&点B在圆周上运动（与A、C两点不重合）,连结BC、BA,过点C作CD±AB于D.设CB的长为a,CD的长为y.

（1）求y关于X的函数关系式；当以Be为直径的圆与AC相切时,求y的值；

（2）在点B运动的过程中,以CD为直径的圆与OO有儿种位置关系,并求出不同位置时），的取值范围；

（3）在点B运动的过程中,如果过B作BE丄AC于E,那么以BE为直径的圆与（DO能内切吗?

若不能,说明理由；若能,求出BE的长.

7.如图,已知A为ZPOQ的边OQ上一点,以A为顶点的ZMAN的两边分别交射线OP于N两点,且ZMAN=ZPOQ=α{a为锐角）.当ZMAN以点A为旋转中心,AM边从与AO重合的位置开始,按逆时针方向旋转（ZMAN保持不变）时,M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平移移动.设OM=X,ON=（,v>aNO）,ΔAOM的面积为S,若CoSa、OA是方程2z2-5z+2=0的两个根.

⑴当ZMAN旋转30°（即ZOAM=30°）时,求点N移动的距离;

⑵求证：

AN2=ON・MN；

（3）求y与X之间的函数关系式及自变量X的取值范围；

（4）试写出S随X变化的函数关系式,并确定S的取值范围.

8.已知：

如图,梯形ABCD中,AD〃BC,AB=CD=3cm,ZC=60°,BD±CD.

（1）求BC、AD的长度；

（2）若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/S的速度运动,点Q从点C开始沿CD边向点D以ICm/S的速度运动,当P、Q分别从B、C同时出发时,写出五边形ABPQD的面积S与运动时间？

之间的函数关系式,并写出自变量f的取值范圉（不包含点P在B、C两点的情况）；

（3）在⑵的前提下,是否存在某一时刻使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：

若存在,求出r的值；若不存在,请说明理山.

9.已知：

如图①,E、F、G、H按照AE=CGBF=DH,BF=nAE（n是正整数）的关系,分别在两邻边长aλUa的矩形ABCD各边上运动.

设AE=x,四边形EFGH的面积为S.

（1）当21、2时,如图②、③,观察运动情况,写出四边形EFGH各顶点运动到何位置,使？

（2）当n=3时,如图④,求S与X之间的函数关系式（写出自变量X的取值范圉）,探索S随X增大而变化的规律；猜想四边形EFGH各顶点运动到何位置,使S=*S坏形做

⑶当n=k（k≥l）时,你所得到的规律和猜想是否成立?

请说明理山.

①

AHD

10.如图1,在直角坐标系中,点E从O点出发,以1个单位/秒的速度沿X轴正方向运动,点F从O点出发,以2个单位/秒的速度沿），轴正方向运动,B（4,2）,以BE为直径作Θθι.

⑴若点E、F同时出发,设线段EF与线段OB交于点G试判断点G与∈）O∣的位置关系,并证明你的结论；

（2）在⑴的条件下,连结FBJL秒时FB与OOi相切？

（3）如图2,若E点提前2秒出发,点F再出发,当点F出发后,E点在A点左侧时,设BA丄X轴于A点,连结AF交G）Ol于点P,试问PA・FA的值是否会发生变化?

若不变,请说明理曲,并求其值；若变化,请求其值的变化范围.

【例题求解】

λI25,√5

Wl12^2

例2选D

例3（1>当x*3时∙y=≡3X3—1=8$

（2〉①当0Wλ≤2时・，=36\即》・3小②当2≤x≤4时,y*3OP-OQ-3x-≡2（OA÷AP）-（XJ÷PB=2jr-（χ-2）+（8-x）=lO,①当6≤χ≤8l）J∙AQ-2[（j∙~2）-4]-2j∙-12∙yE3（AB-ΛQ）-PB=∙3[4-<2j'-12>]-（8-j）≡-5j+4OjQ）略.

9K（1>设E、F出发后运动了f秒时.EF√BC.tflffl（a）∙MBE≈t.CF≈4-2t.由r≡4-2x.Wr-γ

EF〃BC.

（2）设E、F出发JS运动了『秒βt.EF与半WI相切・・・•1W2∙ΛE.F分MffBAXD上•

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