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1、正方形知识总结华师大版八年级下册 19.3 正方形单元复习材料 一、知识辨析1 .正方形的定义一组邻边相等的矩形叫做正方形 正方形不仅是特殊的平行四边形 , 而且是特殊的矩形 , 又是特殊的菱形2.正方形的性质正方形具有平行四边形 ,矩形, 菱形的一切性质1边:四边相等 ,对边平行2角 : 四个角都是直角3对角线 :互相平分 ;相等;且垂直 ;每一条对角线平分一组对角 ,即正方形的对角线与边的夹角 为 45 度。4正方形是轴对称图形 , 有四条对称轴3.正方形的判定1菱形 +矩形的一条特征2菱形 +矩形的一条特征3平行四边形 +一个直角 +一组邻边相等说明一个四边形是正方形的一般思路是 : 先

2、判断它是矩形 , 在判断这个矩形也是菱形 ; 或先判断 它是菱形 , 再判断这个菱形也是矩形4.正方形对角线产生的三角形特点正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形 , 两条对角线把正方形分成四个 小的全等的等腰直角三角形5.正方形常用的辅助线添加方法1正方形中常连对角线 , 把四边形的问题转化为三角形的问题2有垂直时做垂线构造正方形3有正方形一边中点时常取另一边中点构造图形来应用4利用旋转法将与正方形有关的题目的分散元素集中起来 , 从而为解决问题创造条件基本方法围绕正方形的边展开的计算和论证HG(1)判断直线(2)BFEFG H面积的最小值.求四边形(3)G0EBC在正方形E

3、F)DBAF、BF、EG是否经过一个定点，并说明理由是 AB BC CD、DA 上的动点，且 AE=BF=CG=DHABCD中，G是BC上任意一点，连接求证：四边形 EFGHAG, DE丄AG于E, BF/ DE交AG于F,探究线段ABCD的边长为8cm, E、F、G、H分别正方形 ABCD的边长为6,点E、F分别在AB试题2、 （2015四川凉山州第21题8分）如图试题3、 （2015湖北十堰，第10题3分）如图试题1、 （2015江苏泰州，第25题12分）如图，正方形I是正方形;EF三者之间的数量关系，并说明理由AD上，若CE=3j，且/ ECF=45贝U CF的长为A. 2 B.C.D.

4、试题4、 （2015,广西玉林，18, 3分）如图，已知正方形 ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1,点P，Q分别是边BC, CD的动点（均不与顶点重合），当四边形 AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是 3试题5、 （2015北海，第16题3分）如图，已知正方形 ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于合，BP的垂直平分线分别交 CD AB于E、F两点，垂足为 Q,过E作EH丄AB于H.(1)求证：HF=AP；(2)若正方形 ABCD的边长为12, AP=4,求线段EQ的长.4M试题7、 (2015广东东莞21 , 7分)如图，在边长为 6的正方形ABCD中，E是边CD的中

5、点，将ADE沿AE对折至 AFE延长EF交边BC于点G,连接AG.(1)求证： ABG 么 AFG；(2)求BG的长.2、围绕正方形的角展开的计算和论证是 90 .试题2、 （2015鄂州,第18题8分）如图，在正方形 ABCD的外侧，作等边三角形 ADE,连接BE, CE.（1） 求证：BE=CE（2） 求/BEC的度数.试题3、 （2015黄冈，第12题3分）如图，在正方形 ABCD中，点F为CD上一点,BF与AC交于点E,若ZCBF=20。，贝U/AED等于 度.BC交于点G.（1） 求证：AE=CF；（2） 若/ ABE=55 求/ EGC的大小.3、围绕正方形的对角线展开的计算和论证

6、试题1、 （2015济南,第13题3分）如图，正方形 ABCD的对角线AC与BD相交于点O,Z ACB的角平分线分别交 AB CD于M、N两点若AM=2，则线段ON的长为（ ）A. 2 B. C. 1 D. J2D C D C试题2、 （2014山西，第10题3分）如图，点 E在正方形ABCD的对角线AC上，且EO2AE,直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC DC于点M、N.若正方形 ABCD的变长为a，则重叠试题3、（2014年四川资阳，第15题3分）如图，在边长为 4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3,点Q为对角线AC上的动点，贝U BEQ周长的最小值为 试题4、

7、 （ 2014黑龙江哈尔滨，第19题3分）如图，在正方形 ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF丄AC于点F,连接EC, AF=3, EFC的周长为12,则EC的长为_5试题5、 （2014重庆A,第18题4分）如图，正方形 ABCD的边长为6,点O是对角线AC BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE过点C作CF丄BE,垂足为F,连接OF,贝卩OF的长为5试题6、 （2014四川广安，第19题6分）如图，在正方形 ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接 BP、DP,延长 BC到 E,使 PB=PE.求证：/ PDC=Z PEC.4、围绕正方形的平移和旋转变换展开的计算和论证试题1、

8、 （ 2015枣庄，第9题3分）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45。后得到正方形ABiCiDi，边BiCi与CD交于点O,则四边形ABiOD的面积是（ ）试题2、 （20i5青岛，第 i2题3分）如图，平面直角坐标系的原点 O是正方形ABCD的中心，顶点A, B的坐标分别为（i , i）, （- i, i）,把正方形 ABCD绕原点O逆时针旋转45。得正方形A B C则正方形ABCD与正方形A B重叠部分所形成的正八边形的边长为 2-2 .试题3、 （20i5恩施州第i8题8分）如图，四边形 ABCD BEFG均为正方形，连接 AG、CE(i)求证：AG=CE（2）求证：AG丄

9、CE试题4、 ( 2015 江苏连云港，26题12分)在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB 与AG在同一直线上.(1 )小明发现DG丄BE,请你帮他说明理由.(2) 如图2,小明将正方形 ABCD绕点A逆时针旋转，当点 B恰好落在线段 DG上时，请你帮他求 出此时BE的长.(3) 如图3,小明将正方形 ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段 DG与线段BE将相交，交点为 H, 写出 GHE与厶BHD面积之和的最大值，并简要说明理由.试题5、 (2015齐齐哈尔,第26题8分)如图1所示，在正方形

10、 ABCD和正方形CGE冲，点B、C、G在同一条直线上， M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM,易证：DM=FM , DM丄FM (无需写证明过程)（1）如图2,当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N,其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图3,当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想.试题6、 （2014山东威海，第24题11分）猜想与证明: 如图1摆放矩形纸片 ABCD与矩形纸片ECGF使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD 上

11、，连接AF,若M为AF的中点，连接DM、ME,试猜想DM与ME的关系，并证明你的结 论.拓展与延伸:(1)若将”猜想与证明 中的纸片换成正方形纸片 ABCD与正方形纸片ECGF其他条件不变,则DM和ME的关系为 DM=DE .(2)如图2摆放正方形纸片 ABCD与正方形纸片ECGF使点F在边CD上，点M仍为AF的 中点，试证明(1)中的结论仍然成立.试题7、( 2015辽宁省盘锦，第17题3分)如图，直线y=-3x+3与x轴交于点B,与y轴交于点A,以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD,点C落在双曲线y=； ( k刊上，将正方形5、综合运用任意一点（与点 O、A不重合），连接 CP,过

12、点P作PM丄CP交AB于点D,且PM=CP,过点 M作MN /OA,交 BO于点 N，连接 ND、BM，设 OP=t.（1） 求点M的坐标（用含t的代数式表示）.（2） 试判断线段 MN的长度是否随点 P的位置的变化而改变？并说明理由.CG上，BC=1 , CE=3 , H是AF的中点，那么 CH的长是（）A试题3、 （2014黑龙江龙东,第20题3分）如图，正方形 ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE.将 ADE沿AE对折至 AFE延长EF交边BC于点G,连接 AG、CF.则下列结论:厶 ABGA AFG;BG=CG;AG/ CF;Segc=Gafe;/ AGB+Z AED=

13、145其中正确的个数是（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5试题4、 （2014山东烟台，第25题10分）在正方形 ABCD中，动点E, F分别从D, C两点同时 出发，以相同的速度在直线 DC, CB上移动.（）如图，当点E自D向C,点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P,请你写出AE与 DF的位置关系，并说明理由；（2）如图，当E, F分别移动到边 DC, CB的延长线上时，连接 AE和DF,（ 1）中的结论还成立吗？（请你直接回答 是”或否”，不需证明）吗？请说明理由；(4)如图，当E，F分别在边DC, CB上移动时，连接 AE和DF交于点P，由于点E, F的移动,使得点P也随

14、之运动，请你画出点 P运动路径的草图若 AD=2,试求出线段 CP的最小值.试题5、(2014年湖北咸宁24.( 12分)如图，正方形 OABC的边OA, OC在坐标轴上，点 B的 坐标为(-4, 4).点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿 x轴向点O运动；点Q从点 O同时出发，以相同的速度沿 x轴的正方向运动，规定点 P到达点O时，点Q也停止运动.连接 BP,过P点作BP的垂线，与过点 Q平行于y轴的直线I相交于点D. BD与y轴交于点E,连接 PE.设点P运动的时间为t (s).(1) / PBD的度数为 45 ，点D的坐标为 (t, t) (用t表示)；(2)当t为何值时， PBE为等腰三角形？(3)探索 POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值.试题6、 (2014山东临沂，第25题11分)【问题情境】 如图1,四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分/ DAM .【探究展示】(1)证明：AM=AD+MC；(2)AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.【拓展延伸】(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图 2,探究展示(1)、( 2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明.