正方形知识总结.docx

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正方形知识总结

华师大版八年级下册19.3正方形单元复习材料一、知识辨析

1.正方形的定义

一组邻边相等的矩形叫做正方形正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,又是特殊的菱形

2.正方形的性质

正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质

1边:

四边相等,对边平行

2角:

四个角都是直角

3对角线:

互相平分;相等;且垂直;每一条对角线平分一组对角,即正方形的对角线与边的夹角为45度。

4正方形是轴对称图形,有四条对称轴

3.正方形的判定

1菱形+矩形的一条特征

2菱形+矩形的一条特征

3平行四边形+一个直角+一组邻边相等

说明一个四边形是正方形的一般思路是:

先判断它是矩形,在判断这个矩形也是菱形;或先判断它是菱形,再判断这个菱形也是矩形

4.正方形对角线产生的三角形特点

正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形

5.正方形常用的辅助线添加方法

1正方形中常连对角线,把四边形的问题转化为三角形的问题

2有垂直时做垂线构造正方形

3有正方形一边中点时常取另一边中点构造图形来应用

4利用旋转法将与正方形有关的题目的分散元素集中起来,从而为解决问题创造条件

基本方法

围绕正方形的边展开的计算和论证

H

G

（1）

判断直线

（2）

B

F

EFGH面积的最小值.

求四边形

（3）

G

0

E

B

C

在正方形

E

F

）

D

B

£

AF、BF、

EG是否经过一个定点，并说明理由

是ABBCCD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH

ABCD中，G是BC上任意一点，连接

求证：

四边形EFGH

AG,DE丄AG于E,BF//DE交AG于F,探究线段

ABCD的边长为8cm,E、F、G、H分别

正方形ABCD的边长为6,点E、F分别在AB

试题2、（2015四川凉山州第21题8分）如图

试题3、（2015湖北十堰，第10题3分）如图

试题1、（2015江苏泰州，第25题12分）如图，正方形

I是正方形;

EF三者之间的数量关系，并说明理由

AD上，若CE=3j^，且/ECF=45°贝UCF的长为

A.2—B.

C.

D.

试题4、（2015,广西玉林，18,3分）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且

BE=1,点P，Q分别是边BC,CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值

时，四边形AEPQ的面积是3

试题5、（2015北海，第16题3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于

合，BP的垂直平分线分别交CDAB于E、F两点，垂足为Q,过E作EH丄AB于H.

（1）求证：

HF=AP；

（2）若正方形ABCD的边长为12,AP=4,求线段EQ的长.

4

M

试题7、（2015广东东莞21,7分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△

ADE沿AE对折至△AFE延长EF交边BC于点G,连接AG.

（1）求证：

△ABG么AFG；

（2）求BG的长.

2、围绕正方形的角展开的计算和论证

是90°.

试题2、（2015鄂州,第18题8分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE,连接

BE,CE.

（1）求证：

BE=CE

（2）求/BEC的度数.

试题3、（2015黄冈，第12题3分）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点,BF与AC

交于点E,若ZCBF=20。

，贝U/AED等于度.

BC交于点G.

（1）求证：

AE=CF；

（2）若/ABE=55°求/EGC的大小.

3、围绕正方形的对角线展开的计算和论证

试题1、（2015济南,第13题3分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,

ZACB的角平分线分别交ABCD于M、N两点•若AM=2，则线段ON的长为（）

A.2B.C.1D.J

2

DCDC

试题2、（2014山西，第10题3分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EO2AE,直

角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BCDC于点M、N.若正方形ABCD的变长为a，则重叠

试题3、（2014年四川资阳，第15题3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一

点，且AE=3,点Q为对角线AC上的动点，贝U△BEQ周长的最小值为

试题4、（2014黑龙江哈尔滨，第19题3分）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB

边上，EF丄AC于点F,连接EC,AF=3,△EFC的周长为12,则EC的长为_5

试题5、（2014重庆A,第18题4分）如图，正方形ABCD的边长为6,点O是对角线ACBD的

交点，点E在CD上，且DE=2CE过点C作CF丄BE,垂足为F,连接OF,贝卩OF的长为

5

试题6、（2014四川广安，第19题6分）如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连

接BP、DP,延长BC到E,使PB=PE.求证：

/PDC=ZPEC.

4、围绕正方形的平移和旋转变换展开的计算和论证

试题1、（2015枣庄，第9题3分）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45。

后得到正

方形ABiCiDi，边BiCi与CD交于点O,则四边形ABiOD的面积是（）

试题2、（20i5青岛，第i2题3分）如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点

A,B的坐标分别为（i,i）,（-i,i）,把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45。

得正方形

AB'C则正方形ABCD与正方形A'B'重叠部分所形成的正八边形的边长为2「-2.

试题3、（20i5恩施州第i8题8分）如图，四边形ABCDBEFG均为正方形，连接AG、CE

（i）求证：

AG=CE

（2）求证：

AG丄CE

试题4、（2015•江苏连云港，26题12分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边

长为2的正方形ABCD与边长为2「的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上.

（1）小明发现DG丄BE,请你帮他说明理由.

（2）如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长.

（3）如图3,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H,写出△GHE与厶BHD面积之和的最大值，并简要说明理由.

试题5、（2015齐齐哈尔,第26题8分）如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGE冲，点B、

C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM,易证：

DM=FM,DM丄FM（无需写证明过程）

（1）如图2,当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N,其余条件不变，试探究

线段DM与FM有怎样的关系？

请写出猜想，并给予证明；

（2）如图3,当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不

变，探究线段DM与FM有怎样的关系？

请直接写出猜想.

试题6、（2014山东威海，第24题11分）猜想与证明:

如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF,若M为AF的中点，连接DM、ME,试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论.

拓展与延伸:

（1）若将”猜想与证明中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF其他条件不变,

则DM和ME的关系为DM=DE.

（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明

（1）中的结论仍然成立.

试题7、（2015辽宁省盘锦，第17题3分）如图，直线y=-3x+3与x轴交于点B,与y轴交于点

A,以线段AB为边，在第一象限内作正方形

ABCD,点C落在双曲线y=；（k刊上，将正方形

5、综合运用

任意一点（与点O、A不重合），连接CP,过点P作PM丄CP交AB于点D,且PM=CP,过点M作

MN//OA,交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t.

（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）.

（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？

并说明理由.

CG上，BC=1,CE=3,H是AF的中点，那么CH的长是（）

A

试题3、（2014黑龙江龙东,第20题3分）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且

CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE延长EF交边BC于点G,连接AG、CF.则下列结论:

①厶ABG^AAFG;②BG=CG;③AG//CF;④S^egc=Gafe;⑤/AGB+ZAED=145°

其中正确的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

试题4、（2014山东烟台，第25题10分）在正方形ABCD中，动点E,F分别从D,C两点同时出发，以相同的速度在直线DC,CB上移动.

（〔）如图①，当点E自D向C,点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；

（2）如图②，当E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时，连接AE和DF,

（1）中的结论还成立

吗？

（请你直接回答是”或否”，不需证明）

吗？

请说明理由；

（4）如图④，当E，F分别在边DC,CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E,F的移动,

使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图•若AD=2,试求出线段CP的最小值.

试题5、（2014年湖北咸宁24.（12分））如图，正方形OABC的边OA,OC在坐标轴上，点B的坐标为（-4,4）.点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动.连接BP,过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线I相交于点D.BD与y轴交于点E,连接PE.设点P运动的时间为t（s）.

（1）/PBD的度数为45°，点D的坐标为（t,t）（用t表示）；

（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？

（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？

若变化，说明理由；若不变，试求这个定值.

试题6、（2014山东临沂，第25题11分）【问题情境】如图1,四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分/DAM.

【探究展示】

（1）证明：

AM=AD+MC；

（2）AM=DE+BM是否成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

【拓展延伸】

（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2,探究展示

（1）、

（2）中的

结论是否成立？

请分别作出判断，不需要证明.