3热传导方程的初边值问题.docx

1、3热传导方程的初边值问题例 4 周期初始温度散布求解热传导方程 ut uxx , ( x , t 0) 给定初始温度散布u (x,0) 1 cos2 x,( x ) 。解 u(x,t) 1 e 4t cos2 x.初始高斯温度散布ua22u0,(x,t 0)例5 求解定解问题tx2，u( x,0)e kx2,(x)此中常数 k0 .( x s)2s)211e ks2( x解 u( x,t )2a(s)e4a2 tdse4a2t dst2atx)24 ka 2t2(4 ka2t 1) s2 2 xs x 2(4 ka 2t 1)( sx114 ka 2t 14 ka2 t 1e4 a2 tdse

2、4 a 2tds2a t2atk21(4 ka2t1)( sx)22xe22dse 4ka t 12at4at4kat 1k x2e 4 ka 2t 1111kx22.2a t(4 ka2 t 1)4ka2t 1e 4ka t 14a2 t3 初边值问题设长度为 l ,侧表面绝热的平均细杆 ,初始温度与细杆两头的温度已知 ,则杆上的温度散布u( x,t ) 知足以下初边值问题ut a2 uxx f (x,t ),0xl ,0tTu(x,0)(x),0xl ,u(0,t )g1 (t ), u(l , t)g2 (t),0tT对于这样的问题 ,能够用分别变量法来求解 .将边值齐次化1令 U (

3、x,t ) g1( t )x( t ) g1 ( t )g 2l再作变换VuU引入新的未知函数,易知它知足Vta 2Vxxf ( x, t)U t ,0xl,0t TV (x,0)( x) U ( x,0),0xl ,V (0, t )0,V (l, t)0,0tT我们先考虑齐次方程,齐次界限的情况uta 2 uxx0,0xl ,t0(3.1)u( x,0 )( x ),0xl ,(3.2)u( 0,t ) u( l ,t )0,t0(3.3)解设 u( x,t ) X ( x )T ( t ), 代入方程T ( t ) X ( x ) a 2 X ( x )T ( t ),T ( t )X

4、( x ) ,a 2T ( t )X ( x )这等式只有在两边均等于常数时才建立 .令此常数为 ,则有Ta 2T 0,（）XX0,（）先考虑（） ,依据界限条件(3.3), X ( x )应该知足界限条件X(0) 0,X ( l )0（）情况 A：当0 时,方程（ ）的通解能够写成X ( x) C1e x C2e x ,要使它知足界限条件（ ） ,就一定C1 C20,C1elC2 el0,11ll0 ,因为eeleel只好 C1 C20, 故在0 的状况得不到非平庸解 .情况 B：当0 时,方程（ ）的通解能够写成2X ( x ) C1 C 2 x,要知足界限条件（） , C1 0,C1 l

5、C 2 0, 即 C1 C2 0 .X ( x ) 也只好恒等于零 .情况 C：当0 时,方程（ ）的通解拥有以下形式：X ( x )C1 cosxC2 sinx,由界限条件 X( 0)0,知C10 ,再由 X ( l )Csinl , 可知 为了使C 20,就一定2,sinl0,于是lk, ( k1,2,)k 22kl 2,( k1,2,)（）这样就找到了一族非零解X k ( x ) Cksin kx,( k1,2,)（）l称 X k ( x )Ck sin kx 为常微分方程边值问题lX ( x )X ( x ), 0 x lX( 0)X ( l )0的固有函数（特点函数） .而k 222

6、称为相应的固有值（或特点值）.将固有值k 代入方程（）中 ,lT a2k 2 22T 0,la 2k 22t可得Tk ( t )Bk el 2（）于是获得一列可分别变量的特解a2 k 2 2tkuk ( x,t )Ak el 2sinx , ( k1,2 ,)（）l因为方程（）及界限条件（）都是齐次的 ,故可利用叠加原理结构级数形式的解u( x,t )uk ( x,t )Ak e a 2k t sink x,（）k1k13此中k 22k2.l由（） ,为使在 t0 时 , u( x,t )取到初值( x ) ,应建立( x ) u( x,0 )Ak sink xk 1（）Ak sin kx,k

7、 1l得出 Ak2ll( ) sin kd .（）0l获得问题（）（）的解u( x,t )Ake a 2kt sink x,k 1k 222l(kd .此中k2, Akl) sinl0l定理 若C 1 0,l , ( 0 )( l )0,则u( x,t )k 1Ak e a 2ktsink x,（）uta2 uxx 0,0xl ,t 0( 3.1)是u( x,0 )( x ),0xl ,(3.2 )u( 0,t )u( l ,t )0,t0(3.3)的古典解（经典解） .证明 由C 0,l , 得在 0, l 上可积 .| Ak |2 l(k|)sindl0l2l() | dMl|0对随意0,

8、 当 t时, 建立m n2M 1 k( mn )2tmxn( Ak e a kt sin kx)2 eak ,（随意整数m, n0 ）又对随意 p0, 而级数k 1kp e a2k 收敛 ,m na2kt因此xn ( Akesink x)在 0 x l , tk 1 tm上一致收敛 .4m nm nn ( Ak e a2kt sin于是mxn u(x, t )tmxk x) ，tk 1即级数 u( x,t )Ak e a 2k tsink x , 当 0x l ,t时, 对于 x 及 t 拥有随意阶的连续偏k 1导数 , 而且求偏导与乞降能够互换 .因为级数的每一项都知足方程及界限条件, 进而

9、函数 u( x, t) 在 t时 , 的确知足方程及界限条件 . 再由0的随意性 , 得 u(x,t ) 在 t0 时知足方程及界限条件,且 u(x, t )C ( 0,l ( 0,).再证 lim u( x, t)( x0 ), (0x0l )xx0t0由条件C 1 0,l ,(0)(l ),2| Ak | |l0(x)sin k xdx | l | 2l k ll0( x)cos k xdx | l | ak |l ka2kt1112Akesin k x C k akC2k2ak,由 Bessel 不等式 ,知22aklk 1l 2(x) dx ,0进而获得e a 2k tAk sink

10、x 在 t 0,0xl 上一致收敛 ,Ak sink x 在 0x l 上k 1k 1一致收敛于(x) ,进而得 u( x, t) 在 t0,0xl 上连续 .于是 lim u( x, t)lime a2kt Ak sink xAk sin k x0(x0 ), (0x0l ) .xx0xx0t0k 1 t0k 13.1 初边值问题解的渐近性态定理 假定初始函数( x ) 知足C 1 0,l ,( 0 )( l ) 0,则当 t趋于无量大时 ,问题（）（）的独一的古典解指数衰减地趋于零,切实地说 ,当 t时 ,对全部 x 0,l ,| u(x,t ) |Cea2t0,15此中 C 是一个与解无

11、的正常数 .证明 古典解是独一的 ,2u( x,t ) Ake a kt sin k x 是独一的古典解 ,此中k 1k222k2Aklll( ) sin kd ,k 1,2,0l( x ) 在 0,l 上有界 ,设 ( x ) M ,则有 | Ak | 2 l当 t 1 时lk2l( )sindlMd2M0l0u( x,t )Ak e a2k t2Me a2k tk 1k 12Me a21te a 2 ( k1 )t2Me a2 1te a2 ( k 1 )k1k1a 222Mea21tl 2 kCea21te.k13.2 非齐次方程求解方法齐次化原理考虑非齐次方程ut a 2uxx f (

12、 x,t )u( x,0 )0,.u( 0,t )u( l ,t )0 ,齐次化原理：若w( x,t; ) 是下述问题wa22 w, t, 0 x ltx2w( x,t ;)|tf ( x, )w( 0,t;)w( l ,t ;) 0 ,t的解（此中0 为参数） ,则u( x,t )t)dw( x,t ;0ut a2 uxx f ( x,t ),0x l ,t0是非齐次问题u( x,0 )0,的解 .u( 0,t )u( l ,t )0,t0证明 明显 u( x,0 ) 0 ,u( 0,t )u( l ,t )0, utw( x,t ; t )t0（* ）w td f ( x,t )t 0wd

13、t622ut22wu22uaa2 d , 则 u 知足a2 f ( x,t ) . u( x,t ) 是非齐次问题的解 .20xxtx此刻来求问题（*）的解 .作变换 tt则问题（ * ）化为wa 22w0, t0, 0 x ltx2w |t 0 f ( x, )（* ）w( 0,t; )w( l ,t; ) 0 ,t0我们已知问题（ * ）的解为w( x,t ;)Bk ()e a2k tsink x,k 1k 22)2l,) sinkd .此中kl2, Bk (lf (l0于是(,;)Bk()ea2 k ( t)sinkx,wx tk1故 u( x,t )tw( x,t ;)d0tBk (a2k ( t)sink x,是非齐次问题的解 .k1 0)edu ta 2 u xxf ( x , t ),初边值问题u ( x ,0 )( x ),的解为u ( 0 ,t )u ( l ,t )0 ,Ake a2k xt)e a2u( x,t )ktsinBk (k ( t ) d sin k x,