3热传导方程的初边值问题.docx
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3热传导方程的初边值问题
例4周期初始温度散布
求解热传导方程utuxx,（x,t0）给定初始温度散布
u（x,0）1cos2x,（x）。
解u（x,t）1e4tcos2x.
初始高斯温度散布
u
a2
2u
0,
（
x
t0）
例
5求解定解问题
t
x2
，
u（x,0）
ekx2
（
x
）
此中常数k
0.
（xs）2
s）2
1
1
eks2
（x
解u（x,t）
2a
（s）e
4a2t
ds
e
4a2tds
t
2a
t
x
）2
4ka2t
2
（4ka2t1）s22xsx2
（4ka2t1）（s
x
1
1
4ka2t1
4ka2t1
e
4a2t
ds
e
4a2t
ds
2at
2a
t
k
2
1
（4ka2t
1）
（s
x
）
2
2
x
e
2
2
ds
e4kat1
2a
t
4a
t
4ka
t1
kx2
e4ka2t1
1
1
1
k
x
2
2
.
2at
（4ka2t1）
4ka2t1
e4kat1
4a2t
§3初边值问题
设长度为l,侧表面绝热的平均细杆,初始温度与细杆两头的温度已知,则杆上的温度散布
u（x,t）知足以下初边值问题
uta2uxxf（x,t）,
0
x
l,0
t
T
u（x,0）
（x）,
0
x
l,
u（0,t）
g1（t）,u（l,t）
g2（t）,
0
t
T
对于这样的问题,能够用分别变量法来求解.
将边值齐次化
1
令U（x,t）g1（t）
x
（t）g1（t）
g2
l
再作变换
V
u
U
引入新的未知函数
易知它知足
Vt
a2Vxx
f（x,t）
Ut,
0
x
l,0
tT
V（x,0）
（x）U（x,0）,
0
x
l,
V（0,t）
0,V（l,t）
0,
0
t
T
我们先考虑齐次方程
齐次界限的情况
ut
a2uxx
0,
0
x
l,
t
0
（3.1）
u（x,0）
（x）,
0
x
l,
（3.2）
u（0,t）u（l,t）
0,
t
0
（3.3）
解
设u（x,t）X（x）T（t）,代入方程
T（t）X（x）a2X（x）T（t）,
T（t）
X（x）,
a2T（t）
X（x）
这等式只有在两边均等于常数时才建立.
令此常数为,则有
Ta2T0,
（）
XX
0,
（）
先考虑（）,依据界限条件
（3.3）,X（x）应该知足界限条件
X（0）0,
X（l）
0
（）
情况A：
当0时,方程（）的通解能够写成
X（x）C1exC2ex,
要使它知足界限条件（）,就一定
C1C2
0,
C1e
l
C2e
l
0,
1
1
l
l
0,
因为
e
e
l
e
e
l
只好C1C2
0,故在
0的状况得不到非平庸解.
情况B：
当0时,方程（）的通解能够写成
2
X（x）C1C2x,
要知足界限条件（）,C10,C1lC20,即C1C20.
X（x）也只好恒等于零.
情况C：
当0时,方程（）的通解拥有以下形式：
X（x）
C1cos
x
C2sin
x,
由界限条件X（0）
0,知
C1
0,再由X（l）
C
sin
l,可知为了使
C2
0,
就一定
2
sin
l
0,
于是
l
k
（k
1,2,
）
k2
2
k
l2
（k
1,2,
）
（）
这样就找到了一族非零解
Xk（x）Ck
sink
x,（k
1,2,
）
（）
l
称Xk（x）
Cksink
x为常微分方程边值问题
l
X（x）
X（x）,0xl
X（0）
X（l）
0
的固有函数（特点函数）.
而
k2
2
2
称为相应的固有值（或特点值）
.将固有值
k代入方程（）中,
l
Ta2
k22
2
T0,
l
a2
k2
2
t
可得
Tk（t）
Bke
l2
（）
于是获得一列可分别变量的特解
a2k22
t
k
uk（x,t）
Ake
l2
sin
x,（k
1,2,
）
（）
l
因为方程（）及界限条件（
）都是齐次的,故可利用叠加原理结构级数形式的解
u（x,t）
uk（x,t）
Akea2
ktsin
kx,
（）
k
1
k
1
3
此中
k2
2
k
2
.
l
由（）,为使在t
0时,u（x,t）取到初值
（x）,应建立
（x）u（x,0）
Aksin
kx
k1
（）
Aksink
x,
k1
l
得出Ak
2
l
l
（）sink
d.
（）
0
l
获得问题（）－（）的解
u（x,t）
Akea2
ktsin
kx,
k1
k2
2
2
l
（
k
d.
此中
k
2
Ak
l
）sin
l
0
l
定理若
C1[0,l],（0）
（l）
0,则
u（x,t）
k1
Akea2
kt
sin
kx,
（）
ut
a2uxx0,
0
x
l,
t0
（3.1）
是
u（x,0）
（x）,
0
x
l,
（3.2）
u（0,t）
u（l,t）
0,
t
0
（3.3）
的古典解（经典解）.
证明由
C[0,l],得
在[0,l]上可积.
|Ak|
2l
（
k
|
|
）sin
d
l
0
l
2
l
（
）|d
M
l
|
0
对随意
0,当t
时,建立
mn
2
M1k
（m
n）
2
tm
xn
（Akeaktsink
x）
2e
a
k,（随意整数m,n
0）
又对随意p
0,而级数
k1
kpea2
k收敛,
mn
a2
kt
因此
xn（Ake
sin
kx）
在0xl,t
k1tm
上一致收敛.
4
mn
mn
n（Akea2
ktsin
于是
m
x
nu（x,t）
t
m
x
kx），
t
k1
即级数u（x,t）
Akea2
kt
sin
kx,当0
xl,t时,对于x及t拥有随意阶的连续偏
k1
导数,而且求偏导与乞降能够互换.
因为级数的每一项都知足方程及界限条件
进而函数u（x,t）在t
时,的确知足方程及
界限条件.再由
0的随意性,得u（x,t）在t
0时知足方程及界限条件
且u（x,t）
C（[0,l]（0,
））.
再证limu（x,t）
（x0）,（0
x0
l）
x
x0
t
0
由条件
C1[0,l],
（0）
（l）,
2
|Ak||
l
0
（x）sinkxdx|l|2
lkl
l
0
（x）coskxdx|l|ak|
lk
a2
kt
1
1
1
2
Ake
sinkxCkak
C
2
k2ak
由Bessel不等式,知
2
2
ak
l
k1
l2
（x）dx,
0
进而获得
ea2
kt
Aksin
kx在t0,0
x
l上一致收敛,
Aksin
kx在0
xl上
k1
k1
一致收敛于
（x）,
进而得u（x,t）在t
0,0
x
l上连续.
于是limu（x,t）
lim
ea2
ktAksin
kx
Aksinkx0
（x0）,（0
x0
l）.
x
x0
x
x0
t
0
k1t
0
k1
3.1初边值问题解的渐近性态
定理假定初始函数
（x）知足C1[0,l],
（0）
（l）0,则当t
趋于无量大时,问题（）－（）的独一的古典解指数衰减地趋于零
切实地说,当t
时,
对全部x[0,l],
|u（x,t）|
Ce
a2
t
0,
1
5
此中C是一个与解无的正常数.
证明古典解是独一的,
2
u（x,t）Akeaktsinkx是独一的古典解,此中
k1
k2
2
2
k
2
Ak
l
l
l
（）sink
d,k1,2,
0
l
（x）在[0,l]上有界,设（x）M,则有|Ak|2l
当t1时
l
k
2
l
（）sin
d
l
Md2M
0
l
0
u（x,t）
Akea2
kt
2M
ea2
kt
k1
k1
2Mea2
1t
ea2（k
1）t
2Mea21t
ea2（k1）
k
1
k
1
a2
2
2Me
a2
1t
l2k
Ce
a2
1t
e
.
k
1
3.2非齐次方程求解方法—齐次化原理
考虑非齐次方程
uta2uxxf（x,t）
u（x,0）
0,
.
u（0,t）
u（l,t）
0,
齐次化原理：
若
w（x,t;）是下述问题
w
a2
2w
t
0xl
t
x2
w（x,t;
）|t
f（x,）
w（0,t;
）
w（l,t;
）0,t
的解（此中
0为参数）,则
u（x,t）
t
）d
w（x,t;
0
uta2uxxf（x,t）
0
xl,t
0
是非齐次问题
u（x,0）
0,
的解.
u（0,t）
u（l,t）
0,
t
0
证明明显u（x,0）0,u（0,t）
u（l,t）
0
u
t
w（x,t;t）
t
0
（*）
wt
df（x,t）
t0
wd
t
6
2
2
u
t
2
2
w
u
2
2
u
a
a
2d,则u知足
a
2f（x,t）.u（x,t）是非齐次问题的解.
2
0
x
x
t
x
此刻来求问题（
*）的解.
作变换t
t
则问题（*）化为
w
a2
2w
0,t
0,0xl
t
x2
w|t0f（x,）
（**）
w（0,t
;）
w（l,t
;）0,t
0
我们已知问题（**）的解为
w（x,t;
）
Bk（
）ea2
kt
sin
kx,
k1
k2
2
）
2
l
）sin
k
d.
此中
k
l
2
Bk（
l
f（
l
0
于是
（
;
）
Bk
（
）
e
a2k（t
）
sin
k
x
w
xt
k
1
故u（x,t）
t
w（x,t;
）d
0
t
Bk（
a
2
k（t
）
sin
kx,是非齐次问题的解.
k
10
）e
d
ut
a2uxx
f（x,t）,
初边值问题
u（x,0）
（x）,
的解为
u（0,t）
u（l,t）
0,
Akea
2
kx
t
）ea
2
u（x,t）
kt
sin
Bk（
k（t）dsinkx,
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