第01单元一题多解孙继平.docx

1、第01单元一题多解孙继平第一部分 证明与探究你一定能学好几何！如果你说自己不是学几何的料，这个说法本身就是错误的因为几何是研究形的，人们对形的认识先于数由于记录形的多少，计算形大小的需要，数才产生所以人们对形有一种天生的认知能力只要是智力正常的人，天生都具备学习几何的能力请回忆一下自己的小学，不管你用的是什么版本的教材，数学的学习一定是从形引入的，并且一遇问题老师都要把它转化为形帮助你理解现在的中考数学题中，几何题的难度已大大降低了即使喜欢考几何难题的几个地方，几何难题也仅限于填空题、选择题、解答题三类题目中最后的几何题因此，对于智力正常，真正想学好几何的人来说，只要努力，拿到80%的分数太正

2、常了几何学得不好，虽然人各不同，原因很多，但归纳起来基本是下面三类：第一、概念不清、定理很乱；第二、记得住概念，说得上定理，直接用定理的题都会做，但稍加变化或转个弯就不知从哪下手；第三、遇到需要作辅助线等较难题目时没有思路本书的第一部分，就是解决几何问题的证明与探究第一类问题产生的原因，是没掌握几何图形的概念、性质与判定建议你试试下面的方法：1见形说名、见名想图、对比记忆初中几何研究的图形，在小学都有涉及，学生都知道象线段、三角形、长方形、正方形都是以形取名所以对概念的掌握可以采用下面的16字法就有很好的效果:顾名思义、看名画形见名说形、对比区分2依形说性质几何中的定理很多，什么性质定理判定定

3、理、特别容易记乱我用过一种方法特别有效，这个方法就是：根据形状说性质一说性质，就把学生弄懵了，其实对几何图形而言，性质的俗名就是特征，就是长的什么样子你问平行四边形长什么样子，学生都能说上来，并且要求学生必须按：“边、角、对角线、对称性”的顺序说开始必如此“教条”，先学招，后忘招3根据特征（性质）想判定法你是如何在人群中找到自己朋友的？肯定是根据他（她）的高矮、胖瘦、五官等特征来判断的如何判定一个图形是不是平行四边形？同理！集合中判定定理的条件都是一个或者几个性质的组合判断定理必须是性质定理的逆定理！第二、第三类问题是本书主要研究的了如果你真的想学好几何，请回答下面几个问题：为什么接孩子的家长

4、能从衣服一样、年龄一样从校门口蜂拥而出的学生群中一眼找到自己的孩子？回答正确！这就是熟悉孩子、心在孩子身上！孩子的一颦一笑，一举一动都已经印在脑海中了你知道我想说什么？对！真想学好几何，前提是你得下功夫熟练它、用心去学它，这样方法才起作用有什么好方法能让你见到难题有思路、知道怎么做辅助线呢？有！本书介绍的融通归一法！我的学生说用此法非常有效，你可以看看详细了解此法，请从第一单元看起！想先从整体了解一下，请先看目录，目录就是方法第01单元 “融通归一复习法”解释与例举“联想融通复习法”与“归一复习法”合称“融通归一复习法”一、“联想融通”复习法“联想融通复习法”从以下三个方面实施：1找出知识间关

5、系，形成知识网络，实现融会贯通；2归纳同一知识在不同背景下的应用，使学生熟悉之，实现融会贯通；3一题多解（即用不同的思路、方法或知识解决同一问题）训练思维的灵活性，实现融会贯通（一）找出知识间关系，形成知识网络数学知识是一个紧密的知识体系，知识之间互有区别又密切相连，有的还很相像，有的用运动变化的观点来看又可归为一体，下面举例予以说明例1-1-1 公式记忆：数学公式很好记，请看例子：（1）如图1-1-1，请观察扇形面积公式与三角形面积公式，你有什么发现？你有记住扇形面积公式的好方法了吗？ 图1-1-1（2）如图1-1-1请你自己试着把梯形、三角形、平行四边形的面积公式串起来图1-1-1交流分享

6、：这样做，记公式不成问题！你可以找其他的公式再试试例1-1-2 代数相生：请你想想看，数，代数式、方程、不等式、函数间有什么关系？交流分享：代数是环环相扣，衍生扩展而来的，掌握了它们间的关系，代数就是一个整体，所谓的代数综合只不过是彼此之间的转换而已（二）归纳同一只是在不同背景下的应用你遇到这样的事情吗：一道题，自己没做上来，一看别人做的，感觉挺简单，其实自己也会，只是自己当时没想到某个条件而已其实你没想到的那个条件，是因为你对那个条件在这个题目背景下的应用不熟悉！“联想融通复习法”可以解决这个问题操作方法看下例：例1-1-3 请你想想看，怎样得到两角相等？交流分享：设想一下：每个单元学习完毕

7、后都给出一两个关键词，如：数，式，乘法公式，分解因式，方程，平方根，解，整体代入，函数，二次函数，最值；平行、垂直、中点，等线段、角平分线，三角形，四边形，全等，相似，切线从“怎样得到、什么时候用”两个维度“联想融通”一下，会是什么效果？！“你中有我，我中有你；前后照应，八方联系；知识成网，提升能力；融会贯通，掌握彻底”（三）一题多解一题多解有两个含义，其一是有几种不同的答案，其二是用不同的思路、方法、或知识解决相同的问题本处指其二 用不同的方法、知识解决同一问题，不仅仅锻炼学生思维的灵活性、发展学生的多想思维能力，更让学生感受与体验到了知识间的关系、促使学生实现知识的融会贯通，因此是重要的“

8、联想融通复习法”例1-1-4 如图1-1-2，ABC的中线BE、CD交于点O，求证：BO2EO图1-1-2交流分享：本题非常简单，可以面向全体学生，并且证法超多，是训练“一题多解”不可多得的好题！选取的九种证法含：截长补短、构全等、造相似等，方法绝妙！例1-1-5 如图1-1-3，在一、三象限的平分线：上确定一点Q，使点Q到D（1，3）、E（1，4）的距离之和最小，并求出Q点的坐标图1-1-3 交流分享：法一用方程组求出Q点坐标，法二用相似求Q点坐标不同知识解决同一问题，解决过之后一定深有触动，特别是用几何法解决代数问题，常有美妙之感例1-1-6 如图1-1-4，点E是正方形ABCD的AB边上

9、不与点A、B重合的一点，已知DEF90EF交CBM的平分线于点F求证：DEEF图1-1-4交流分享：这是一道从2005年起至今年年中考变着法考的好题造全等、造相似、四点共圆、轴对称，法法堪称精典体验与感悟01-11请你用“对角线”把四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形串联起来2请你尽可能多地写出判断垂直的方法3如图1-1-5，已知ABC中，ABAC，在线段CA上截取线段CE（CECA），在AB的延长线上截线段BDCE，连接DE交BC于M，请你通过观察、测量判断出线段MD与线段ME的数量关系，并证明你的结论图1-1-5交流分享：此题有不少于4种方法，再试试4如图1-1-6，等腰ABC中，ABA

10、C，CGBA交BA的延长线于点G，将一把直角顶点为F的等腰直角三角尺的一条直角边与AC边放在同一条直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DEBA于点E请你猜想并写出DEDF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想图1-1-6 交流分享：此题有不少于6种方法，再试试5如图1-1-7，在RtABC中，ABC=900，BA=BC，点D为BC边的中点，BEAD于点E，交AC于点F，求的值图1-1-7 交流分享：此题有2种以上方法6如图1-1-8，已知在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作MECD于点E，1=2求证AM=DF+ME图1-1-8 交流分享：法一根据F是

11、中点，ABCD造与CDF成中心对称的三角形解决；法二是推出BCD是等边三角形，两种方法的共同点都是充分利用了菱形对角线平分对角、对边平行且相等的性质提醒：请回想一下“联想融通复习法”从哪三个方面入手构建知识网络，打通知识联系的二、“归一”复习法“归一复习法”从以下三个方面实施：1照着做由于对合情推理的考查需要，很多中考证明题、探究题都着力从“方法的不变性”与“结论的不变性”入手编制，故：前面简单的怎么思考，后面难的仍怎么想：前面怎么做，后面就怎么做所以“照着做”即可解决2多题归一很多题乍一看背景不同、条件不同、问题不同，但解决问题的着手点都是一样的这类用同一手段解决的题目，可归一3我解归一有的

12、题有很多种解法，但这些不同的解法都源于同一知识点，这些不同的解法可归一一个题目，有了思路，就基本解决了“归一复习法”解决的就是这个问题（一）照着做请你先完成下例，再比较，你有什么发现？例1-2-1 （1）如图1-2-1，已知ACD=900，MN是过点A的直线，AC=DC，DBMN于点B求证BD+AB=CB（2）当MN绕A旋转到如图1-2-1和图 1-2-1两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图1-2-1给予证明图1-2-1 图1-2-1 图1-2-1交流分享：对比（1）、（2）的证明，思路完全相同，除去小部分外其余“照着抄”即可 “照着做”：即方法不变，有4层意思

13、：其一：照题目提供的方法做，如阅读理解题、新定义类题、操作探究题等其二：照自己解决题目前一问或前两问的方法做其三：转化为前一问或前两问题目提供的图形再去做其四：用前面的结论照着抄：即格式、结论表现出稳定性其一：在证明中，前一问用哪两个三角形全等，后面一样用那两个三角形全等；其二：在证明中，前一问证三角形全等用什么条件，后面基本一样，有变化也是细微的；其三：即使结论有变，但有一致性，例如：结论由三条线段和的关系变成了三条线段差的关系它改变的只是加数与和的位置而已意义：“照着做！”“照着抄！”六个字，一下子减轻了学生的畏难情绪、吸引了学生！（二）多题归一以下两道题背景不同、问题不同，但解决问题的方

14、法是一样的解决这类题的通法，就是举一反三中的“一”，抓住这个“一”，就能“举一反三” 请先完成例1-2-2，再找出其通法即“一”例1-2-2 （1）如图例1-2-2，点P在等边ABC内，并且PA=3，PB=4，PC=5，则APB=_ （2）如图例1-2-2 ，已知在五边形ABCDE中，BAE=BCD=900 ,AB=BC=DE=2，AE+CD=2，则这个五边形的面积等于 图1-2-2 图1-2-2交流分享：这2道题的共性是“都有两条具有公共端点的相等线段，BA=BC”，以公共端点为旋转中心，把一条线段连同它所在的三角形旋转到与另一条线段重合的位置，问题就迎刃而解了这2道题的“一”就是：遇两条具

15、有公共端点的相等线段，就以公共端点为旋转中心，把一条线段连同它所在的三角形旋转到与别一条线段重合的位置（三）多解归一一道题，有多种解法，但对不同的解法进行研究后发现：一些解法其实源于同一个关键性的知识点，或一些解法的思路是一致的，我们对这些解法进行归纳、比较，找到其共同点的过程就是多解归一请先完成下例，再看看各解法有何共同点 例1-2-3 如图1-2-3，在ABC中，延长BC到D，使BC=CD，取AB的中点F，连结FD交AC于点E，求AE：AC的值图1-2-3 交流分享：这也是一题多解的题目，但它的特点是：五种不同的解法都源于同一种思路，即“见中点，作中位线，用相似”特别地，（1）过每一个中点

16、，可作两条中位线得相似；（2）已知两条具有一个公共端点的线段时，连结另外两个端点构造三角形，用中位线定理与相似以上的交流分享就在“多解归一”多解归一，是抓住数学本质、提升自己能力的关键，是成为数学主人的必须 体验与感悟0121题目：如图1-2-4，点E是ABCD的BC边中点，点F在线段AE上，BF的延长线交射线CD于点G，若=3,求的值（1）尝试探究：在图1-2-4中，过点E作EHAB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是_，CG和EH的数量关系是_，的值是_图1-2-4 图1-2-4 图1-2-4 （2）类比延伸：如图1-2-4，在原题的条件下，若= m（m0），则的值是_（用含m的代数式表示），试写出解答过程（3）拓展迁移：如图1-2-4，在梯形ABCD中，DCAB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若= a， =b (a0, b0) 则的值是 （用含a，b的代数式表示）2如图1-2-5，六边形ABCDE是O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明图1-2-5 3如图1-2-6，已知OA=OB，OAOB，点D、C分别为OA、OB中点连结AC，BD交于点P求AP：PC的值图1-2-6提醒：请回想一下“归一复习法”是通过哪几种方法抓住“一”来反“三”的