第01单元一题多解孙继平.docx

第01单元一题多解孙继平.docx

《第01单元一题多解孙继平.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第01单元一题多解孙继平.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第01单元一题多解孙继平

第一部分证明与探究

你一定能学好几何！

如果你说自己不是学几何的料，这个说法本身就是错误的．因为几何是研究形的，人们对形的认识先于数．由于记录形的多少，计算形大小的需要，数才产生．所以人们对形有一种天生的认知能力．只要是智力正常的人，天生都具备学习几何的能力．

请回忆一下自己的小学，不管你用的是什么版本的教材，数学的学习一定是从形引入的，并且一遇问题老师都要把它转化为形帮助你理解．

现在的中考数学题中，几何题的难度已大大降低了．即使喜欢考几何难题的几个地方，几何难题也仅限于填空题、选择题、解答题三类题目中最后的几何题．因此，对于智力正常，真正想学好几何的人来说，只要努力，拿到80%的分数太正常了．

几何学得不好，虽然人各不同，原因很多，但归纳起来基本是下面三类：

第一、概念不清、定理很乱；

第二、记得住概念，说得上定理，直接用定理的题都会做，但稍加变化或转个弯就不知从哪下手；

第三、遇到需要作辅助线等较难题目时没有思路．

本书的第一部分，就是解决几何问题的证明与探究．

第一类问题产生的原因，是没掌握几何图形的概念、性质与判定．建议你试试下面的方法：

1．见形说名、见名想图、对比记忆．

初中几何研究的图形，在小学都有涉及，学生都知道．象线段、三角形、长方形、正方形……都是以形取名．所以对概念的掌握可以采用下面的16字法就有很好的效果:

顾名思义、看名画形．见名说形、对比区分．

2．依形说性质．

几何中的定理很多，什么性质定理．判定定理、特别容易记乱．我用过一种方法特别有效，这个方法就是：

根据形状说性质．

一说性质，就把学生弄懵了，其实对几何图形而言，性质的俗名就是特征，就是长的什么样子．你问平行四边形长什么样子，学生都能说上来，并且要求学生必须按：

“边、角、对角线、对称性”的顺序说．开始必如此“教条”，先学招，后忘招．

3．根据特征（性质）想判定法

你是如何在人群中找到自己朋友的？

肯定是根据他（她）的高矮、胖瘦、五官等特征来判断的．如何判定一个图形是不是平行四边形？

同理！

集合中判定定理的条件都是一个或者几个性质的组合．判断定理必须是性质定理的逆定理！

第二、第三类问题是本书主要研究的了．

如果你真的想学好几何，请回答下面几个问题：

为什么接孩子的家长能从衣服一样、年龄一样从校门口蜂拥而出的学生群中一眼找到自己的孩子？

回答正确！

这就是熟悉孩子、心在孩子身上！

孩子的一颦一笑，一举一动都已经印在脑海中了．

你知道我想说什么？

对！

真想学好几何，前提是你得下功夫熟练它、用心去学它，这样方法才起作用．

有什么好方法能让你见到难题有思路、知道怎么做辅助线呢？

有！

本书介绍的融通归一法！

我的学生说用此法非常有效，你可以看看．

详细了解此法，请从第一单元看起！

想先从整体了解一下，请先看目录，目录就是方法．

第01单元“融通归一复习法”解释与例举

“联想融通复习法”与“归一复习法”合称“融通归一复习法”．

一、“联想融通”复习法

“联想融通复习法”从以下三个方面实施：

1．找出知识间关系，形成知识网络，实现融会贯通；

2．归纳同一知识在不同背景下的应用，使学生熟悉之，实现融会贯通；

3．一题多解（即用不同的思路、方法或知识解决同一问题）训练思维的灵活性，实现融会贯通．

（一）找出知识间关系，形成知识网络

数学知识是一个紧密的知识体系，知识之间互有区别又密切相连，有的还很相像，有的用运动变化的观点来看又可归为一体，下面举例予以说明．

例1-1-1公式记忆：

数学公式很好记，请看例子：

（1）如图1-1-1①，请观察扇形面积公式与三角形面积公式，你有什么发现？

你有记住扇形面积公式的好方法了吗？

图1-1-1①

（2）如图1-1-1②请你自己试着把梯形、三角形、平行四边形的面积公式串起来．

图1-1-1②

交流分享：

这样做，记公式不成问题！

你可以找其他的公式再试试．

例1-1-2代数相生：

请你想想看，数，代数式、方程、不等式、函数间有什么关系？

交流分享：

代数是环环相扣，衍生扩展而来的，掌握了它们间的关系，代数就是一个整体，所谓的代数综合只不过是彼此之间的转换而已．

（二）归纳同一只是在不同背景下的应用

你遇到这样的事情吗：

一道题，自己没做上来，一看别人做的，感觉挺简单，其实自己也会，只是自己当时没想到某个条件而已．

其实你没想到的那个条件，是因为你对那个条件在这个题目背景下的应用不熟悉！

“联想融通复习法”可以解决这个问题．操作方法看下例：

例1-1-3请你想想看，怎样得到两角相等？

☞交流分享：

设想一下：

每个单元学习完毕后都给出一两个关键词，如：

数，式，乘法公式，分解因式，方程，平方根，解，整体代入，函数，二次函数，最值…；平行、垂直、中点，等线段、角平分线，三角形，四边形，全等，相似，切线……从“怎样得到、什么时候用”两个维度“联想融通”一下，会是什么效果？

！

“你中有我，我中有你；前后照应，八方联系；知识成网，提升能力；融会贯通，掌握彻底．”

（三）一题多解

一题多解有两个含义，其一是有几种不同的答案，其二是用不同的思路、方法、或知识解决相同的问题．本处指其二．

用不同的方法、知识解决同一问题，不仅仅锻炼学生思维的灵活性、发展学生的多想思维能力，更让学生感受与体验到了知识间的关系、促使学生实现知识的融会贯通，因此是重要的“联想融通复习法”．

例1-1-4如图1-1-2，△ABC的中线BE、CD交于点O，求证：

BO＝2EO．

图1-1-2

交流分享：

本题非常简单，可以面向全体学生，并且证法超多，是训练“一题多解”不可多得的好题！

选取的九种证法含：

截长补短、构全等、造相似等，方法绝妙！

例1-1-5如图1-1-3，在一、三象限的平分线

：

上确定一点Q，使点Q到D（1，―3）、E（―1，―4）的距离之和最小，并求出Q点的坐标．

图1-1-3

交流分享：

法一用方程组求出Q点坐标，法二用相似求Q点坐标．不同知识解决同一问题，解决过之后一定深有触动，特别是用几何法解决代数问题，常有美妙之感．

例1-1-6如图1-1-4，点E是正方形ABCD的AB边上不与点A、B重合的一点，已知∠DEF＝90°EF交∠CBM的平分线于点F．求证：

DE＝EF．

图1-1-4

交流分享：

这是一道从2005年起至今年年中考变着法考的好题．造全等、造相似、四点共圆、轴对称，法法堪称精典．

体验与感悟01-1

1．请你用“对角线”把四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形串联起来．

2．请你尽可能多地写出判断垂直的方法．

3．如图1-1-5，已知ABC中，AB＝AC，在线段CA上截取线段CE（CE＜CA），在AB的延长线上截线段BD＝CE，连接DE交BC于M，请你通过观察、测量判断出线段MD与线段ME的数量关系，并证明你的结论．

图1-1-5

交流分享：

此题有不少于4种方法，再试试．

4．如图1-1-6，等腰△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G，将一把直角顶点为F的等腰直角三角尺的一条直角边与AC边放在同一条直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．

请你猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想．

图1-1-6

交流分享：

此题有不少于6种方法，再试试．

5．如图1-1-7，在Rt△ABC中，∠ABC=900，BA=BC，点D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于点F，求

的值．

图1-1-7

交流分享：

此题有2种以上方法．

6．如图1-1-8，已知在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．求证AM=DF+ME．

图1-1-8

交流分享：

法一根据F是中点，AB∥CD造与△CDF成中心对称的三角形解决；法二是推出△BCD是等边三角形，两种方法的共同点都是充分利用了菱形对角线平分对角、对边平行且相等的性质．

提醒：

请回想一下“联想融通复习法”从哪三个方面入手构建知识网络，打通知识联系的．

二、“归一”复习法

“归一复习法”从以下三个方面实施：

1．照着做．由于对合情推理的考查需要，很多中考证明题、探究题都着力从“方法的不变性”与“结论的不变性”入手编制，故：

前面简单的怎么思考，后面难的仍怎么想：

前面怎么做，后面就怎么做．所以“照着做”即可解决．

2．多题归一．很多题乍一看背景不同、条件不同、问题不同，但解决问题的着手点都是一样的．这类用同一手段解决的题目，可归一．

3．我解归一．有的题有很多种解法，但这些不同的解法都源于同一知识点，这些不同的解法可归一．

一个题目，有了思路，就基本解决了．“归一复习法”解决的就是这个问题．

（一）照着做

请你先完成下例，再比较，你有什么发现？

例1-2-1

（1）如图1-2-1

，已知∠ACD=900，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B．求证BD+AB=

CB

（2）当MN绕A旋转到如图1-2-1②和图1-2-1③两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图1-2-1②给予证明．

图1-2-1①图1-2-1②图1-2-1③

交流分享：

对比

（1）、

（2）的证明，思路完全相同，除去小部分外其余“照着抄”即可．

“照着做”：

即方法不变，有4层意思：

其一：

照题目提供的方法做，如阅读理解题、新定义类题、操作探究题等．

其二：

照自己解决题目前一问或前两问的方法做．

其三：

转化为前一问或前两问题目提供的图形再去做．

其四：

用前面的结论．

照着抄：

即格式、结论表现出稳定性．

其一：

在证明中，前一问用哪两个三角形全等，后面一样用那两个三角形全等；

其二：

在证明中，前一问证三角形全等用什么条件，后面基本一样，有变化也是细微的；

其三：

即使结论有变，但有一致性，例如：

结论由三条线段和的关系变成了三条线段差的关系．它改变的只是加数与和的位置而已．

意义：

“照着做！

”“照着抄！

”——六个字，一下子减轻了学生的畏难情绪、吸引了学生！

（二）多题归一

以下两道题背景不同、问题不同，但解决问题的方法是一样的．解决这类题的通法，就是举一反三中的“一”，抓住这个“一”，就能“举一反三”

请先完成例1-2-2，再找出其通法即“一”．

例1-2-2

（1）如图例1-2-2

，点P在等边△ABC内，并且PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB=_____．

（2）如图例1-2-2，已知在五边形ABCDE中，∠BAE=∠BCD=900,AB=BC=DE=2，AE+CD=2，则这个五边形的面积等于．

图1-2-2①图1-2-2②

交流分享：

这2道题的共性是“都有两条具有公共端点的相等线段，BA=BC”，以公共端点为旋转中心，把一条线段连同它所在的三角形旋转到与另一条线段重合的位置，问题就迎刃而解了．

这2道题的“一”就是：

遇两条具有公共端点的相等线段，就以公共端点为旋转中心，把一条线段连同它所在的三角形旋转到与别一条线段重合的位置．

（三）多解归一

一道题，有多种解法，但对不同的解法进行研究后发现：

一些解法其实源于同一个关键性的知识点，或一些解法的思路是一致的，我们对这些解法进行归纳、比较，找到其共同点的过程就是多解归一．

请先完成下例，再看看各解法有何共同点．

例1-2-3如图1-2-3，在△ABC中，延长BC到D，使BC=CD，取AB的中点F，连结FD交AC于点E，求AE：

AC的值．

图1-2-3

交流分享：

这也是一题多解的题目，但它的特点是：

五种不同的解法都源于同一种思路，即“见中点，作中位线，用相似．”

特别地，

（1）过每一个中点，可作两条中位线得相似；

（2）已知两条具有一个公共端点的线段时，连结另外两个端点构造三角形，用中位线定理与相似．

以上的交流分享就在“多解归一”．

多解归一，是抓住数学本质、提升自己能力的关键，是成为数学主人的必须．

体验与感悟01—2

1．题目：

如图1-2-4

，点E是

ABCD的BC边中点，点F在线段AE上，BF的延长线交射线CD于点G，若

=3,求

的值．

（1）尝试探究：

在图1-2-4

中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是_______，CG和EH的数量关系是_______，

的值是_______．

图1-2-4①图1-2-4②图1-2-4③

（2）类比延伸：

如图1-2-4②，在原题的条件下，若

=m（m>0），则

的值是_______（用含m的代数式表示），试写出解答过程．

（3）拓展迁移：

如图1-2-4③，在梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若

=a，

=b（a>0,b>0）则

的值是（用含a，b的代数式表示）．

2．如图1-2-5，六边形ABCDE是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．

图1-2-5

3．如图1-2-6，已知OA=OB，OA⊥OB，点D、C分别为OA、OB中点．连结AC，BD交于点P．求AP：

PC的值．

图1-2-6

提醒：

请回想一下“归一复习法”是通过哪几种方法抓住“一”来反“三”的．