二次根式易错题集.docx

1、二次根式易错题集一、二次根式的概念： 二次根式的性质：1. a a 0是一个非负数2. a2 a a 03. Ja2 a二次根式易错题集易错点：1在计算或求值时，容易疏忽 a a 0是一个非负数。2.在开方时，易出现 a2 a a 0的错误。3二次根式的三个性质是正确进行二次根式化简、 运 算的重要依据。它们的结构相似，极易混淆，因此同 学们必须弄清它们之间的区别与联系错题：1.52 5 2. . 3 2 ( 3) =3 3. . 25 1 2 5- 1=44. 6 232 ? .6 26 54或 3,6 21 25. J 6 6 632 6 2.54 彳 547.根据条件，请你解答下列问题：

2、(1)已知.20 n是整数，求自然数n的值；解：首先二次根式有意义，则满足 20 n 0,所以n 20,又因为.20 n是整数，所以根号内的数一定是一个平方数，即 20 n必定可化为 20 n a2 a为整数,且a 0这种形式，即20 n a2 a为整数，且a 0。所以满足条件的平方数a2有0，1, 4，9，16。所以n 20,19,16,11,4.(2)已知.20n是整数，求正整数n的最小值解：因为,20n是整数，所以根号内的数一定是一个平方数，即 、20n必定可化为.20n a2 a为整数 这种形式，即20n a2 a为整数，而20n 4 5 a2 a为整数，4可以开平方，剩下不能开平方的

3、数 5,所以正整数n的最小值就是5,因5 5 52能被开平方。所以我们要把常数先进行分解，把能开平方的 数分解出来，剩下的不能开平方的数与字母相乘再配成能开平方的数，而字母的最小值就是这个不能 开平方的数。7-2.(2)已知12 n是正整数，求实数n的最大值；解：因为 20 n是正整数，所以满足12 n 0,所以n 12,所以根号内的数一定是一个平方数，即.20 n必定可化为 20 n a2 a为整数,且a 0这种形式，即20 n a2 a为整数，且a 0。所以满 足条件的平方数a2有1，4，9。所以n 11,8,3.最大值为11.i_ 2 29.计算：若 a 4 Jb9 0,则a i a2

4、p b210.已知 y ,2x 511若等式,5 2x 3，则2xy的值为 。1成立，则x的取值范围是 。11-1.已知.a a 30 ,若b 2 a ,则b的取值范围是 。解：对于含字母的代数式，首先应考虑使它有意义或使代数式成立的条件。 对于本题，首先有根式.a ,则应考虑根式成立的条件是a 0。又题目，aa 3 0,所以a 3 0，a 3，所以0 a 3.不等式两边都乘以1得3 a 0，不等式两边同加2得，2 、3 2 a 211-2.已知.a a 3 0，若b 2 a，则b的取值范围是 。解：对于含字母的代数式，首先应考虑使它有意义或使代数式成立的条件。 对于本题，首先有根式- a，

5、则应考虑根式成立的条件是 a 0。又题目aa 3 0 ,所以a 0所以a .3 0，得a .3，所以0 a 3不等式两边都乘以1得、3 a 0 ,不等式两边同加2得，2 3 2 a 20,求a b c的值。12.已知 a,b,c 满足a b 2. c c2 c213.已知实数a,b, c满足a b 8 8 a b.3a b c , a 2b c 3，请问：长度分别为a, b, c的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由14.已知实数a,b为两个连续的整数，且a 28 b，则a b= 15.选择：已知实数m, n为两个连续的整数 m n ,q mn ,设p

6、 .qn qm，贝U p= A.总是奇数 B.总是偶数 C.有时是奇数，有时是偶数 D.有时是有理数，有时是无理数16.在实数范围内分解因式(1) a2 5 (2) x2 2.2x 217.化简求值：(1)2a a b a b 2，其中 a 2012 , b 2013 ；(2) a 1 a2 2 2a 1 1，其中 a 1 5a a a19.(2010江苏南京)如图，下列各数中，数轴上点 A表示的可能是A.4的算术平方根 B.4 的立方根 C.8 的算术平方根 D.8 的立方根【答案】C 1一_I_I_I_I_二 亠-3 -2 -1 0 1 2 320.(2010浙江杭州)4的平方根是A. 2

7、【答案】BB. 2C. 16D. 1621. （2010浙江嘉兴）0，则下列运算中错误.的是（(A) . ab , a(C) ( a) a【答案】B22. （2010江苏常州）F列运算错误的是B. .2 .3【答案】A23.（ 2010江苏淮安）F面四个数中与.11最接近的数是A . 2 【答案】B23. （2010湖北荆门）b为实数,且满足la 2则b a的值为A . 2 【答案】CD.以上都不对24. （2010湖北恩施自治州）24的算术平方根是：B. 4A. 4【答案】AF列命题是真命题的是（25.若 x2=2，则 x = . 2C.D.B .若 x=y，贝y 2 3X 2 3 y3D

8、.若x =8，则X = 2【答案】C26. （2010湖北襄樊）下列说法错误的是的平方根是土 2C27 是有理数2是分数2【答案】27. （2010湖北襄樊）计算322 5 的结果估计在（A . 6至7之间【答案】BB . 7至8之间C . 8至9之间D . 9至10之间28. （2010四川绵阳）要使.3 x 1V2x 1B . x 3 且 xm 2有意义，则x应满足（).D .丄 vxw32【答案】D)29. （2010四川绵阳） 下列各式计算正确的是（A . m2 m3 = m63 23 33 2 3 5 D.【答案】D30. （2010湖南湘潭）下列计算正确的是A. 2 . 3 2 .

9、3 B. a a2【答案】D(a 1)J丄ya)2/.1 a (a 1)1 a丫 1 aa3C.(2a) (3a) 6aD. 2 131.（ 2010贵州贵阳） 下列式子中，正确的是(A) 10 127 11(B) 11 127 12(C) 12 . 127 13(D) 13 127 14【答案】B32. （2010四川自贡）已知n是一个正整数，、135n是整数，则n的最小值是（ ）。A. 3B. 5 C. 15 D. 25解：.135n是整数，那么.135n肯定能化为.135n a2的形式，所以135n a2 ,将的135分解因式135 3 5 9 3 52 23，要使135n a，那么必须

10、再乘以 3 x 5=15才行，所以n=15.【答案】C33.（ 2010天津）比较2， .5， 3 7的大小，正确的是(A ) 2 . 5 7(B) 2 - 7 . 5(C) 2 5(D) - 5 3 7 2解：2=3.8 7，而2 5，所以3 7 2 ,5【答案】C34. （2010福建德化）若整数m满足条件（m 1）2 = m 1 且 m 彳，则m的值是V5【答案】035.（2010福建三明）观察分析下列数据，寻找规律： 0, 3， 6,3,2 3,那么第10个数据应是 。解：0 40 J3，屈 命 翻,46 近暑,3 J3 3, 2晶 43 J4 V3，第n个数应为- n 13，第 10

11、 个数为 10 1 3 9 -3 3 3【答案】3 3.16，即 3 ,15 4，所以 a 3,b 4, a b 7 6分 8分 1分4 3分因为.9【答案】737.已知x 1 . 3，求代数式(x 1)2 4(x【答案】解法一：原式=(x 1 2)2=(x 1)2当x 1 、.3时原式=(,3)2=3解法二：由x 1 .3得x . 3 1化简原式=x2 2x 1 4x 41) 4的值. 2分=x2 2x 1 4 分=C.3 1)2 2( _3 1) 1 5 分=3 2.3 1 2-3 2 1 7 分=3 8 分【答案】解:x yx 2y2 2x yx2 4xy 4y2 x 2y (x(x 2

12、y)2y)(x y)x 2yx y时,原式=1 2 2(1 2) 3.2 11 ,2 1 、239.（2010福建晋江）（8分）先化简,再求值:3x xx 1 x 1x2 1x其中x、2 2【答案】: 原式=x 1x 1x1x 1亠 2亠 223x3x xx x1x 1 x 1x2x2 4x x2 1x1 x 1x2x x 2 x 1 x1x1 x 1x2 x222时，原式=2222 := 2-22 “23xx 1x x1x 1x x1x3xx 1 x1xx1 xx1 xx1x3 x1 x 13x3 x 12x422时，原式=2(、22)4：= 2、23x1x xx当x解：原式=当xx 1x2

13、 140. ( 2010湖北武汉)先化简，再求值:(x 2 -)x 2寓，其中x-2 3.I答案】答案:原式=(Jx 25 2(x 2)x 2) x 39 ? 2(x 2) = (x 3)(x 3) ?空x 3 x 22 =2x+6.x 3当x=、2 3时，原式=2( . 2 3)+6= 2.2 .41右等式2)01成立，则x的取值范围是0次幕的底数不能为 0，为0时无意义。a0 abba，右a 0 ,则有 00 0b0b0b0无意义。0【答案】x 0且x 1242.已知6 3m(n 5)2 3m 6 . (m 3)n2，则解：使；m 3 n2有意义的条件是6 3m 3m 6，所以原式为3m

14、所以.m 3 n2得m 3,所以m n【答案】243已知x, y为实数，且满足 解:使.1 y有意义，则y3 n2 0 ,而2n 50,所以只需m 30,所以. m 3 n23 51 x (y1,则0, 1 xy 10,求得3m 620,所以n 50,所以n，即n3。所以6 3m 0,所以m5,代入.m 3 n22 23 n。因 n 5 0 ,0,得3一52 0,y2011=_1),1 y 0，又、1 x那么x20111)、1 y=0,0,所以(yx 1, y 1.所以 x2011 y2011= 2.0,且.1 x (y1)., 1 y =0,bn25 . 71，则 2a b a表示. o再分

15、别代入解：因为 2 v.7 v 3，所以37 2,所以 5 35 . 7n=5 :;7 2 37 .把 m=2, n 3、7 代入amnbn21 得，23 7 a 3.7 b 1化简得6a 16b、7 2a 6b1 ,等式两边相对照，因为结果不含.7 ,所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得3 a=,b=丄.2215所以2a+b= 35 2,所以所以(y 1), 1 y【答案】2;44已知a、b为有理数，分析：只需首先对 51进行计算.m n分别表示57估算出大小，从而求出其整数部分amn bn27的整数部分和小数部分，且 amna,其小数部分用3，故 m=2 ,【答案】52201145若

16、 m =一，贝VV2012 15 4 3m 2m 2011m的值是解：如果直接代入计算,将会非常复杂。必须将已知和要求的代数式分别化简再代入计算。竺1可得，2012 12011 2012 1m . 0,点评：此题主要考查了绝对值以及互为相反数的定义和算术平方根的性质，初中阶段学习了三个非负数: |a| 0, a0 (a0);必须熟练掌握非负数的性质.50.在下列二次根式中，与 .b是同类二次根式的是(A.b）35-Ja b,5 a b解：使J 意义，则a b 0,所以 b353 3 、a b.所以答案为A.a b a bx的值为52.在22，a?，中，是最简二次根式的有3提示:孑五a b是最简

17、二次根式-xy:的值.53.已知 x y 5, xy 3,求解：Q x y 5,xy 3, x0,y0,原式 xy xy x yy x xy54阅读下列材料，然后回答问题 .在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如2二一样的式子，其实我3.3 151.若最简二次根式 x .君飞与2 3x 5是同类二次根式,-1提示：根据题意得 x+3=3x+5，解得x=-1.们可以将其进一步化简5 5 3 冬3 ； （一）.3 3 .3 32（3 1； （三）、3 3 3.3 1 （ 3 1）（、3 1）以上这种化简的步骤叫做分母有理化2还可以用以下方法化简:3 123 1.3 13 1 3 1 3 1（四）3

18、 1（1）请用不同的方法化简参照（三）式得 =-V5 V3参照（四）式得、5 3(2)1化简一 1 一.3 1 .5 .3 7 .51、2n 1 2n 12.5 .3_2(3 3) _ 仁 5 3)( . 5 ,3)_2_、5 .-3_5_3_.5 ：3（可（回* 1 2 *.5 、3(拆.3)/5 乜)45丽、5 , 3.(2)1 1 1,3 1 ,5 ：3 .7 5答案:x2 3 x 3 x .3 ; x.23 1 、5 .3 、7.2n 1 一2n 1.5 ,2n 1 、2n 1 .2n 1 1.1_ 1 1 13 1 5 3 7 ,5 . 2n 1 . 2n 143 1 45 43 4

19、7 0）叫做二次根式。满足两个条件，第一根指数是 2,第二被开方数大于等于0.所以一 2x , 2, 2xx 0,*1满足条件，.y 1 y的被开方数小于0，3 3的根指数为3, x y不是根式。故选C.58.F列各式一定是二次根式的是（A.B. V2m C. Va 1D.解:只有.a2 1 一定满足二次根式的两个条件:第一根指数是2,第二被开方数大于等于 0故选C.59.计算：: 2a 1 2.本章在运用公式 .a2 | a |进行化简时，若字A. 0 B. 4a 2 C. 2 4a D. 2 4a 或 4a 2【专题解读】 当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论 母的取值范围不确

20、定，应进行分类讨论解：2a 1 2 1 2a 2 = 2a 1 1 2a1令 2a 1 0,1 2a 0,得 a -.2于是实数集被分为a 和a 1两部分。2 21当 a 一 时，2a 1 0,1 2a 0.所以原式=2a 1 2a 1 4a 2.21当 a 时，2a 1 0,1 2a 0. 所以原式=1 2a 1 2a 2 4a.2规律方法 对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未 知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实 数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点

21、分区间法”60.下面的推导中开始出错的步骤是（Q 2 3 22 3 一12 12、3 , 2 2 3 12L 22 ,3 2、3l L L L L L 32 2LLLLLLLL 4A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解：第（2）步出错了。正确的应为2.3 22 3 1 261. 已知 x2 3x 1 0,求-x2 ； 2的值。解：此题如果直接解方程求出x的值后再代入计算非常繁琐。可对已知方程和要求的根式进行适当变形后再代入求解更简单。观察根式x2 2中含有x21-r，是这是典型的a2 b2的形式，可使用完全平方公式进行配方为xa2 b2 a2 b2 2ab 2ab a2b 2ab。于是可将二

22、次根式变形为. ：X2 12 2 = . X2 :2 4 C ； 4 ，也可变形为. ：x2 12 2 =21x -x已知方程x2 3x 1 0要变成x 1或x 1的形式就必须降次，因为方程隐含x 0.所以将方程两边同时2x - 4 32 4 J5xx x除以x进行降次得x 1 3，代入 得x二、二次根式的乘除 二次根式的乘除混合运算，应先把根号外的因式（即有理式）进行运算，再把无理式因式进行运算,最后把两个结果相乘。记住两个公式 Jab a 0,b 0,*匹 車a 0,b 0。Vb b错题：1.化简.9 125 9 5 25 32 5 52 3 5.5 15、52. 202 162 20 1

23、6 20 16 36 4 . 62 22 6 2 123.2a 6a 2a 6a .12a2 、3 22 a 2 3a （不要写成 2a、3）2 9a2 4 2 3 2 9a 2 . 42 32 3a2 12 3a （不要写成12a 3 ）5若正数x的两个平方根分别是2a 1 和 3 a，6. . 72 3 .27. . 10238.化简.0.6a 0,b 0, c 010.化简4：2m 0, n 011.1a2 b2a2 b213. x x14将x2 1x 1, y 0化成最简二次根式为xy y15.等式Jx成立的条件是16.选择题：计算15，同学甲的解法是3書335 5；同学乙的解法是13 5 ；同学丙的解法是15J3A.甲、乙、丙15 3 3.5 c5.3 3 3B甲、乙 你认为解法正确的同学是（ A ）D甲、丙17.当 a 0，bp 0时，解： ab3 ab?b b ? ab，因为 b 0.所以 b ? , ab b ab.18.,n若2m n 2和.33m 2n 2都是最简二次根式，则m，解这得m 1, n 2.解：因为都是最简二次根式，所以被开方数的次数为 1.所以有m n 23m 2n