高等数学同济第七版下课后习题及解答.docx

1、高等数学同济第七版下课后习题及解答1. 设 u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用 a，b，c 表示 2u-3v.解 2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c）=5a-11b+7c.2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.证 如图 8-1，设四边 形 ABCD中 AC 与 BD 交于 M ，已知AM=MC ，DM MB .故AB AM MB MC DM DC.即AB / DC 且| AB |=| DC | ，因此四边形 ABCD是平行四边形.3. 把ABC的BC边五等分，设分点依次为 D1，D2，D3，D4，再把各分点与点 A连接.试以 AB=c,

2、 BC =a 表向量 D1A, D2 A, D3 A, D A4.证 如图 8-2，根据题意知1BD a,151D1D a,251D2D a,351D3D a,45故D A1 =-（ AB BD1 ）=-15a- cD2 A=-（ AB BD2 ）=-25a- cD3 A=-（ AB BD3 ）=-35a- cD4A=-（AB BD ）=-4 45a- c.4. 已知两点 M1（0，1，2）和 M2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量 M1M 2 及-2 M1M 2 .解 M1M 2 =（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）.-2M1M 2 =-2（1，-2，-2）=（-2，4，

3、4）.5. 求平行于向量 a=（6，7，-6）的单位向量 .解 向量 a 的单位向量 为aa，故平行向量 a 的单位向量为aa=1（6，7，-6）=116 7, ,11 11611，2 2 2其中 a 6 7 ( 6) 11.6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4），D（-2，-3，1）.解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C点在第八卦限， D 点在第三卦限 .7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：A（3，4，0），B（0，4，3），C（3，0，0），D （0，-1，0）.解 在坐标

4、面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零，比如 xOy 面上的点的坐标为（ x0，y0，0），xOz面上的点的坐标为（ x0，0，z0），yOz面上的点的坐标为（ 0，y0，z0）.在坐标轴上的点的坐标， 其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如 x 轴上的点的坐标为（ x0，0，0），y 轴上的点的坐标为（0，y0，0），z 轴上的点的坐标为（ 0，0，z0）.A 点在 xOy 面上， B 点在 yOz面上，C点在 x 轴上，D 点在 y 轴上.8.求点（a，b，c）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标 .解 （1）点（a，b，c）关

5、于 xOy 面的对称点（ a，b，-c），为关于 yOz面的对称点为（ -a，b，c），关于 zOx面的对称点为（ a，-b，c）.（2）点（a，b，c）关于 x 轴的对称点为（ a，-b，-c），关于 y轴的对称点为（ -a，b，-c），关于 z 轴的对称点为（ -a，-b，c）.（3）点（a，b，c）关于坐标原点的对称点是（ -a，-b，-c）.9.自点 P（0 x0，y0，z0）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标 .解 设空间直角坐标系如图 8-3，根据题意，P0F 为点 P0 关于 xOz面的垂线，垂足 F 坐标为 (x0，0，z0）；P0D 为点 P0 关于 xOy 面

6、的垂线，垂足 D 坐标为 ( ， ，0）x0 y ；P0E为点 P0 关于 yOz面的垂线，垂0足 E坐标为 (0 ) ，y0，zo .P0A 为点 P0 关于 x 轴的垂线，垂足 A 坐标为(xo，0, 0）；P0B 为点P0 关于 y 轴的垂线， 垂足 B 坐标为 (0, y0 ,0)；P0C为点 P0 关于 z 轴的垂线，垂足 C坐标为( 0,0, )z .010.过点 P（0 x0，y0，z0）分别作平行于 z 轴的直线和平行于 xOy面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解 如图 8-4，过 P0 且平行于 z 轴的直线 l 上的点的坐标，其特点是，它们的横坐标均相同，纵坐标

7、也均相同 .而过点 P0 且平行于 xOy 面的平面 上的点的坐标，其特点是，它们的竖坐标均相同 .11. 一边长为 a 的正方体放置在 xOy面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在 x 轴和 y 轴上，求它各顶点的坐标 .2解 如图 8-5，已知 AB=a，故 OA=OB= a2，于是各顶点的坐2 2 2标分别为 A 0 0)( a， ，B（(0, a，0），C（- a2 2 2，0，0），D2（0，- a22，0），E（ a22，0，a），F（0， a22，a），G（- a2， 20，a），H（0，- a 2，a）.12.求点 M（4，-3，5）到各坐标轴的距离 .2 2解 点 M 到

8、 x 轴的距离为 d1= ( 3) 5 34，点 M 到 y2 2轴 的 距 离 为 d2= 4 5 41， 点 M 到 z 轴 的 距 离 为2 2 . d3= 4 ( 3) 25 513.在 yOz面上，求与三点 A（3，1，2），B（4，-2，-2），C（0，5，1）等距离的点 .解 所求点在 yOz面上，不妨设为 P（0，y，z），点 P与三点 A，2 y 2 z 2 B，C等距离， PA 3 ( 1) ( 2) ,PB2 y 2 z4 ( 2) (2)2,PC ( y2 z5) (1)2.由 PA PB PC 知，2 ( 1)2 ( 2)2 42 ( 2) ( 2)2 23 y z

9、y z2 ( 1)2( y 5) z ，即9 ( y 1)9 ( y 1)2 2 2(z 2) 16 ( y 2)2 2 2(z 2) ( y 5)(z(z21) .22),解上述方程组，得 y=1，z=-2.故所求点坐标为（ 0，1，-2）.14.试证明以三点 A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形 .证 由AB (1024)(11)2(629)7,AC (224)(41)2 2(3 9)7,BC (2210)(41)2(326)98722 2 2 知 .AB AC 及 BC AB AC 故ABC为等腰直角三角形.15. 设已知两点为 M1（4

10、， 2 ，1），M2（3，0，2），计算向量 M1M 2的模、方向余弦和方向角 .解 向量M1M =（3-4，0- 2 ，2-1）=（-1，- 2 ，-1），2其模 -1 2 - 2 2 12 4 2M1M （ ） （ ） .其方向余弦分2别为 cos =-12，cos =-22，cos =12.方向角分别为23,34,3.16. 设向量的方向余弦分别满足（ 1）cos =0；（2）cos =1；（3）cos =cos =0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解 （1）由 cos =0 得知 ，故向量与 x 轴垂直，平行于2yOz面.（2）由 cos =1 得知 =0，故向量与 y 轴同向

11、，垂直于 xOz面.（3）由 cos =cos =0 知 ，故向量垂直于 x 轴和 y 轴，2即与 z 轴平行，垂直于 xOy 面.，求 r 在 u 轴上的投影 . 17. 设向量 r 的模是 4，它与 u 轴的夹角为3解 已知|r |=4 ，则 Prjur=| r |cos =4?cos3=412=2.18. 一向量的终点在点 B（2，-1，7），它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影依次为 4，-4 和 7，求这向量的起点 A 的坐标.解 设 A 点坐标为（ x，y，z），则AB =（2-x，-1-y，7-z），由题意知2-x=4，-1-y=-4，7-z=7，故 x=-2，y=3，z=0，

12、因此 A 点坐标为（ -2，-3，0）.19. 设m=3i+4j+8k，n=2i-4j-7k 和 p=5i+j-4k. 求向量 a=4m+3n-p 在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分向量 .解 a=4m+3n-p=4（3i+5j+8k）+3（2i-4j-7k）-（5i+j-4k）=13i+7j+15k，a 在 x 轴上的投影为 13，在 y 轴上的分向量为 7j.1. 设a 3i j 2k,b i 2 j k ，求（1）a b及a b；（2）（- 2a）3b及a 2b；（3）a,b的夹角的余弦.解 （1）a b （3，-1，- 2）（1, 2，-1）3 1 （-1 2 - 2 -1 3） （

13、 ）（ ） ，i j ka b 3 1 2=（5,1,7）.1 2 1（2）( 2a) 3b 6(a b) 6 3 18a 2b 2(a b) 2( 5,1,7) (10, 2,14)（3cos(a, b)aabb32 ( 1) ( 2) 1 2 ( 1)2 2 2 2323 314 6 2 212.设a,b,c为单位向量，满足 a b c 0,求a b b c c a.解 已知 a b c 1,a b c 0,故（a b c）（a b c） 0.2 2 2即 2 2 2 0 a b c a b b c c a .因此a b b c c a1 2 2 2（a b c）2-323.已知 M1（1

14、，-1，2），M2（3,3,1）M3（3,1,3）.求与 M1M 2 ,M 2M 3同时垂直的单位向量 .解 M1M 2 =（3-1,3-（-1）,1-2）=（2，4，-1）M 2M =（3-3,1-3,3-1）=（0，-2，2）3由于 M1M 2 M 2M 3 与M1M 2,M 2M3 同时垂直，故所求向量可取为a（MM12MM12MM23MM2）3，i j k由M1M 2 M 2M 3 =2 4 10 2 2=（6，-4，-4），M1M M M2 2326(24)(24)682171 3 2 2知 ).a (6, 4, 4) ( , ,2 17 17 17 174. 设质量为 100kg的

15、物体从点 M1（3,1,8）沿直线移动到点 M2（1,4,2），计算重力所作的功（坐标系长度单位为 m，重力方向为 z 轴负方向）.解 M1M 2 =（1-3,4-1,2-8）=（-2，3，-6）F=（0,0，-1009.8）=（0,0，-980）W=F?M1M 2 =（0,0，-980）?（-2,3 ，-6 ）=588（0 J）.1 处，有一与 OP1 5. 在杠杆上支点 O的一侧与点 O的距离为 x1 的点 P成角 1 的力 F1 作用着；在 O的另一侧与点 O的距离为 x2 的点 P2 处，有一与OP2 成角 2 的力 F 2，F1 , F22 作用着（图 8-6），问 1， 2 ，x1

16、，x符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解 如图 8-6，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为F1 x sin 1 F2 x2 sin 2 0，1即 F1 x1 sin 1 F2 x2 sin 2 .6. 求向量 a （4，- 3,4）在向量 b （2, 2,1）上的投影.a b (4, 3,4 ) ( 2, 2,1) 6解 2 Pr jba . 2 2 2b 3 2 2 17. 设a ( 3,5, 2), b ( 2,1, 4) ，问 与 有怎样的关系，能使a b与 z 轴垂直？解 a b= （3,5 ，-2 ）+ （2,1,4 ）

17、=（3 2 ,5 , 2 4 ）.要 a b与 z 轴垂直，即要（ a b） （0,0,1 ），即（ a b）?（0，0,1 ）=0，亦即 （3 2 ,5 , 2 4 ）?（0,0,1 ）=0，故（ 2 4 ）=0，因此 2 时能使 a b与 z 轴垂直.8. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角.证 如图8-7，设AB是圆O的直径，C点在圆周上，要证ACB=2，只要证明 AC BC 0即可. 由AC BC =(AO OC) (BO OC)2AO BO AO OC OC BO OC =2 2= 0AO AO OC AO OC OC .故AC BC, ACB为直角.9. 已知向量 a 2i 3 j

18、 k,b i j 3k和c i 2 j ，计算：（1）(a b)c (a c)b （2）(a b) (b c) （3）(a b) c解 （1）a b (2, 3,1) (1, 1,3) 8，a c (2, 3,1) (1, 2, 0) 8，(a b)c (a c)b 8 (1, 2,0) 8( 1, 1,3) (0, 8, 24)8i 24k .（2）a b=（2，-3,1 ）+（1，-1,3 ）=（3，-4,4 ），b c=（1，-1,3 ）+（1，-2,0 ）=（2，-3,3 ），i j k(a b) (b c) 3 4 4 (0, 1, 1) j k .2 3 32 3 1（3）(a b

19、) c 2.1 1 31 2 010. 已知OA i 3k,OB j 3k，求OAB的面积.解 由向量积的几何意义知1OAB= OA OBS2，i j kOA OB 1 0 3 ( 3, 3,1) ，0 1 32 2OA OB ( 3) ( 3) 1 19SOAB19211. 已知 ( , , ), ( , , ), ( , , )a ax a a b b b b c c c c ，试利用y z x y z x y z行列式的性质证明：(a b) c (b c) a (c a) baxayazbxbybz证 因为 ( ) ,a b c b b bx y z(b c) acxcyczcxcycz

20、axayazcxcycz(c a) baxayaz，bxbybz而由行列式的性质知axayazbxbybzcxcyczbxbybzcxcycz=axayaz，故cxcyczaxayazbxbybz(a b) c (b c) a (c a) b.12. 试用向量证明不等式：2 2 2 2 2 2a1 a a b b b a b a b a b ，2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3其中a1,a2 ,a3,b1,b2,b3 为任意实数 . 并指出等号成立的条件.证 设向量 a （a1,a ,a ），b （b1,b2,b3）.2 3由a b a b cos(a, b) a b ，从而2 2 2

21、 2 2 2a1b a b a b a a a b b b ，1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 3当a1,a2 ,a3与b1,b2 ,b3 成比例，即a1b1a2b2a3b3时，上述等式成立.1. 求过点（3,0，-1）且与平面 3x 7y 5z 12 0平行的平面方程.解 所求平面与已知平面 3x 7y 5z 12 0平行.因此所求平面的法向量可取为 n=（3，-7，5），设所求平面为3x 7y 5z D 0.将点（3，0，-1）代入上式得 D=-4.故所求平面方程为3x 7y 5z 4 0.2. 求过点 M0（2，9，-6）且与连接坐标原点及点 M0 的线段 OM0 垂直的平面方程

22、.解 OM ( 2,9, 6 .所求平面与0 ）OM 垂直，可取 n=OM0 ，0设所求平面方程为2x 9y 6z D 0.将点 M0（2，9，-6）代入上式得 D=-121.故所求平面方程为2x 9y 6z 121 0.3. 求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程 .x 1 y 1 z 1解 由 02 1 2 1 2 1，得 x 3y 2z 0，1 1 1 1 2 1即为所求平面方程 .注 设 M（x,y,z）为平面上任意一点， M (x , y , z )(i 1, 2,3)i 为i i i平面上已知点 .由 ( ) 0,M1M M M M M 即1 2

23、1 3xx1yy1zz1x2x1y2y1z2z10,x3x1y3y1z3z1它就表示过已知三点 Mi（i=1,2,3）的平面方程 .4. 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：（1）x=0; （2）3y-1=0;（3）2x-3y-6=0; （4）x- 3y=0;（5）y+z=1; （6）x-2z=0;（7）6x+5y-z=0.解 （1）（7）的平面分别如图 88（a）（g）.（1）x=0 表示 yOz坐标面.1（2）3y-1=0 表示过点（ ,0 0, ）且与 y 轴垂直的平面 .3（3）2x-3y-6=0表示与 z 轴平行的平面 .（4）x- 3y=0表示过 z 轴的平面 .（5）y+z=1表示平行于 x 轴的平面.（6）x-2z=0表示过 y 轴的平面.（7）6x+5y-z=0表示过原点的平面 .5. 求平面 2x 2y z 5 0与各坐标面的夹角的余弦 .解 平面的法向量为 n=（2，-2，1），设平面与三个坐标面 xOy，yOz，zOx的夹角分别为 1, 2, 3.则根据平面的方向余弦知cosn kcos1 n k(2,222 ,1)( 0,0,1)21(22)113,cos 2 cos