高等数学同济第七版下课后习题及解答.docx
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高等数学同济第七版下课后习题及解答
1.设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c表示2u-3v.
解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c）
=5a-11b+7c.
2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平
行四边形.
证如图8-1，设四边形ABCD中AC与BD交于M，已知
AM=MC，DMMB.
故
ABAMMBMCDMDC.
即AB//DC且|AB|=|DC|，因此四边形ABCD是平行四边形.
3.把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各
分点与点A连接.试以AB=c,BC=a表向量D1A,D2A,D3A,DA
4
.
证如图8-2，根据题意知
1
BDa,
1
5
1
D1Da,
2
5
1
D2Da,
3
5
1
D3Da,
4
5
故DA
1=-（ABBD1）=-
1
5
a-c
D2A=-（ABBD2）=-
2
5
a-c
D3A=-（ABBD3）=-
3
5
a-c
D
4
A
=-（
ABBD）=-
4
4
5
a-c.
4.已知两点M1（0，1，2）和M2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示
向量M1M2及-2M1M2.
解M1M2=（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）.
-2M1M2=-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）.
5.求平行于向量a=（6，7，-6）的单位向量.
解向量a的单位向量为
a
a
，故平行向量a的单位向量为
a
a
=
1
（6，7，-6）=
11
67
,
1111
6
11
，
222
其中a67（6）11.
6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4），D（-2，
-3，1）.
解A点在第四卦限，B点在第五卦限，C点在第八卦限，D点
在第三卦限.
7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？
指出下列各
点的位置：
A（3，4，0），B（0，4，3），C（3，0，0），D（0，
-1，0）.
解在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中
至少有一个为零，比如xOy面上的点的坐标为（x0，y0，0），xOz面
上的点的坐标为（x0，0，z0），yOz面上的点的坐标为（0，y0，z0）.
在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少
有两个为零，比如x轴上的点的坐标为（x0，0，0），y轴上的点的坐
标为（0，y0，0），z轴上的点的坐标为（0，0，z0）.
A点在xOy面上，B点在yOz面上，C点在x轴上，D点在y轴
上.
8.求点（a，b，c）关于
（1）各坐标面；
（2）各坐标轴；（3）坐标原
点的对称点的坐标.
解
（1）点（a，b，c）关于xOy面的对称点（a，b，-c），为
关于yOz面的对称点为（-a，b，c），关于zOx面的对称点为（a，-b，
c）.
（2）点（a，b，c）关于x轴的对称点为（a，-b，-c），关于y
轴的对称点为（-a，b，-c），关于z轴的对称点为（-a，-b，c）.
（3）点（a，b，c）关于坐标原点的对称点是（-a，-b，-c）.
9.自点P（0x0，y0，z0）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各
垂足的坐标.
解设空间直角坐标系如图8-3，根据题意，P0F为点P0关于xOz
面的垂线，垂足F坐标为（x0，0，z0）；P
0D为点P0关于xOy面的垂
线，垂足D坐标为（，，0）
x0y；P0E为点P0关于yOz面的垂线，垂
0
足E坐标为（0）
，y0，zo.
P0A为点P0关于x轴的垂线，垂足A坐标为（xo，0,0）；P
0B为点
P0关于y轴的垂线，垂足B坐标为（0,y0,0）；P
0C为点P0关于z轴的
垂线，垂足C坐标为（0,0,）
z.
0
10.过点P（0x0，y0，z0）分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的
平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？
解如图8-4，过P0且平行于z轴的直线l上的点的坐标，其特
点是，它们的横坐标均相同，纵坐标也均相同.
而过点P0且平行于xOy面的平面上的点的坐标，其特点是，
它们的竖坐标均相同.
11.一边长为a的正方体放置在xOy面上，其底面的中心在坐标原点，
底面的顶点在x轴和y轴上，求它各顶点的坐标.
2
解如图8-5，已知AB=a，故OA=OB=a
2
，于是各顶点的坐
222
标分别为A00）
（a，，，B（（0,a，0）），C（-a
222
，0，0），D
2
（0，-a
2
2
，0），E（a
2
2
，0，a），F（0，a
2
2
，a），G（-a
2
，
2
0，a），H（0，-a
2
，a）.
12.求点M（4，-3，5）到各坐标轴的距离.
22
解点M到x轴的距离为d1=（3）534
，点M到y
22
轴的距离为d2=4541
，点M到z轴的距离为
22.d3=4（3）255
13.在yOz面上，求与三点A（3，1，2），B（4，-2，-2），C（0，5，
1）等距离的点.
解所求点在yOz面上，不妨设为P（0，y，z），点P与三点A，
2y2z2B，C等距离，PA3
（1）
（2）,
PB
2y2z
4
（2）（
2）
2
PC（y
2z
5）（
1）
2
.
由PAPBPC知，
2
（1）2
（2）242
（2）
（2）
22
3yzyz
2
（1）
2
（y5）z，
即
9（y1）
9（y1）
222
（z2）16（y2）
222
（z2）（y5）
（
z
（
z
2
1）.
2
2）
解上述方程组，得y=1，z=-2.故所求点坐标为（0，1，-2）.
14.试证明以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶
点的三角形是等腰直角三角形.
证由
AB（10
2
4）
（
1
1）
2
（
6
2
9）
7,
AC（2
2
4）
（
4
1）
22
（39）
7,
BC（2
2
10）
（4
1）
2
（3
2
6）
98
7
2
222知.
ABAC及BCABAC故△ABC为等腰直角三角
形.
15.设已知两点为M1（4，2，1），M2（3，0，2），计算向量M1M2
的模、方向余弦和方向角.
解向量
M1M=（3-4，0-2，2-1）=（-1，-2，-1），
2
其模-12-221242
M1M（）（）.其方向余弦分
2
别为cos=-
1
2
，cos=-
2
2
，cos=
1
2
.
方向角分别为
2
3
3
4
3
.
16.设向量的方向余弦分别满足
（1）cos=0；
（2）cos=1；（3）
cos=cos=0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？
解
（1）由cos=0得知，故向量与x轴垂直，平行于
2
yOz面.
（2）由cos=1得知=0，故向量与y轴同向，垂直于xOz面.
（3）由cos=cos=0知，故向量垂直于x轴和y轴，
2
即与z轴平行，垂直于xOy面.
，求r在u轴上的投影.17.设向量r的模是4，它与u轴的夹角为
3
解已知|r|=4，则Prj
ur=|r|cos=4?
cos
3
=4×
1
2
=2.
18.一向量的终点在点B（2，-1，7），它在x轴、y轴和z轴上的投影
依次为4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.
解设A点坐标为（x，y，z），则
AB=（2-x，-1-y，7-z），
由题意知
2-x=4，-1-y=-4，7-z=7，
故x=-2，y=3，z=0，因此A点坐标为（-2，-3，0）.
19.设m=3i+4j+8k，n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k.求向量a=4m+3n-p在x轴
上的投影及在y轴上的分向量.
解a=4m+3n-p=4（3i+5j+8k）+3（2i-4j-7k）-（5i+j-4k）
=13i+7j+15k，
a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为7j.
1.设a3ij2k,bi2jk，求
（1）ab及ab；
（2）（-2a）3b及a2b；（3）a,b的夹角的
余弦.
解
（1）ab（3，-1，-2）（1,2，-1）
31（-12-2-13
）（）（），
ijk
ab312
=（5,1,7）.
121
（2）（2a）3b6（ab）6318
a2b2（ab）2（5,1,7）（10,2,14）
（3
cos（a,b）
a
a
b
b
3
2
（1）
（2）12
（1）
2222
3
2
33
146221
2.设a,b,c为单位向量，满足abc0,求abbcca.
解已知abc1,abc0,
故（abc）（abc）0.
222
即2220
abcabbcca.因此
abbcca
1222
（abc
）
2
-
3
2
3.已知M1（1，-1，2），M2（3,3,1）M3（3,1,3）.求与M1M2,M2M3
同时垂直的单位向量.
解M1M2=（3-1,3-（-1）,1-2）=（2，4，-1）
M2M=（3-3,1-3,3-1）=（0，-2，2）
3
由于M1M2M2M3与M1M2,M2M3同时垂直，故所求向量可
取为
a
（M
M
1
2
M
M
1
2
M
M
2
3
M
M
2
）
3
，
ijk
由M1M2M2M3=
241
022
=（6，-4，-4），
M1MMM
22
3
2
6
（
2
4）
（
2
4）
68
2
17
1322
知）.
a（6,4,4）（,,
217171717
4.设质量为100kg的物体从点M1（3,1,8）沿直线移动到点M2（1,4,2），
计算重力所作的功（坐标系长度单位为m，重力方向为z轴负方向）.
解M1M2=（1-3,4-1,2-8）=（-2，3，-6）
F=（0,0，-100×9.8）=（0,0，-980）
W=F?
M1M2=（0,0，-980）?
（-2,3，-6）=588（0J）.
1处，有一与OP15.在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1的点P
成角1的力F
1作用着；在O的另一侧与点O的距离为x2的点P
2处，
有一与OP2成角2的力F2，F1,F2
2作用着（图8-6），问1，2，x1，x
符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？
解如图8-6，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数
和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为
F1xsin1F2x2sin20，
1
即F1x1sin1F2x2sin2.
6.求向量a（4，-3,4）在向量b（2,2,1）上的投影.
ab（4,3,4）（2,2,1）6
解2
Prjba.
222
b3
221
7.设a（3,5,2）,b（2,1,4），问与有怎样的关系，能使
ab与z轴垂直？
解ab=（3,5，-2）+（2,1,4）
=（32,5,24）.
要ab与z轴垂直，即要（ab）（0,0,1），即
（ab）?
（0，0,1）=0，
亦即（32,5,24）?
（0,0,1）=0，
故（24）=0，因此2时能使ab与z轴垂直.
8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角.
证如图8-7，设AB是圆O的直径，C点在圆周上，要证∠ACB=
2
，
只要证明ACBC0即可.由
ACBC=（AOOC）（BOOC）
2
AOBOAOOCOCBOOC=
22
=0
AOAOOCAOOCOC.
故ACBC,∠ACB为直角.
9.已知向量a2i3jk,bij3k和ci2j，计算：
（1）（ab）c（ac）b
（2）（ab）（bc）（3）（ab）c
解
（1）ab（2,3,1）（1,1,3）8，
ac（2,3,1）（1,2,0）8，
（ab）c（ac）b8（1,2,0）8（1,1,3）（0,8,24）
8i24k.
（2）ab=（2，-3,1）+（1，-1,3）=（3，-4,4），
bc=（1，-1,3）+（1，-2,0）=（2，-3,3），
ijk
（ab）（bc）344（0,1,1）jk.
233
231
（3）（ab）c2.
113
120
10.已知OAi3k,OBj3k，求△OAB的面积.
解由向量积的几何意义知
1
△OAB=OAOB
S
2
，
ijk
OAOB103（3,3,1），
013
22
OAOB（3）（3）119
S
△OAB
19
2
11.已知（,,）,（,,）,（,,）
aaxaabbbbcccc，试利用
yzxyzxyz
行列式的性质证明：
（ab）c（bc）a（ca）b
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
证因为（）,
abcbbb
xyz
（bc）a
c
x
c
y
c
z
c
x
c
y
c
z
a
x
a
y
a
z
c
x
c
y
c
z
（ca）b
a
x
a
y
a
z
，
b
x
b
y
b
z
而由行列式的性质知
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
c
x
c
y
c
z
b
x
b
y
b
z
c
x
c
y
c
z
=
a
x
a
y
a
z
，故
c
x
c
y
c
z
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
（ab）c（bc）a（ca）b.
12.试用向量证明不等式：
222222
a1aabbbababab，
23123112233
其中a1,a2,a3,b1,b2,b3为任意实数.并指出等号成立的条件.
证设向量a（
a1,a,a），b（b1,b2,b3）.
23
由ababcos（a,b）ab，从而
222222
a1bababaaabbb，
1223312123
3
当a1,a2,a3与b1,b2,b3成比例，即
a
1
b
1
a
2
b
2
a
3
b
3
时，上述等式成立.
1.求过点（3,0，-1）且与平面3x7y5z120平行的平面方
程.
解所求平面与已知平面3x7y5z120平行.因此所
求平面的法向量可取为n=（3，-7，5），设所求平面为
3x7y5zD0.
将点（3，0，-1）代入上式得D=-4.故所求平面方程为
3x7y5z40.
2.求过点M0（2，9，-6）且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂
直的平面方程.
解OM（2,9,6.所求平面与
0）
OM垂直，可取n=OM0，
0
设所求平面方程为
2x9y6zD0.
将点M0（2，9，-6）代入上式得D=-121.故所求平面方程为
2x9y6z1210.
3.求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程.
x1y1z1
解由0
212121
，得x3y2z0，
111121
即为所求平面方程.
注设M（x,y,z）为平面上任意一点，M（x,y,z）（i1,2,3）
i为
iii
平面上已知点.由（）0,
M1MMMMM即
1213
x
x
1
y
y
1
z
z
1
x
2
x
1
y
2
y
1
z
2
z
1
0,
x
3
x
1
y
3
y
1
z
3
z
1
它就表示过已知三点Mi（i=1,2,3）的平面方程.
4.指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：
（1）x=0;
（2）3y-1=0;
（3）2x-3y-6=0;（4）x-3y=0;
（5）y+z=1;（6）x-2z=0;
（7）6x+5y-z=0.
解
（1）—（7）的平面分别如图8—8（a）—（g）.
（1）x=0表示yOz坐标面.
1
（2）3y-1=0表示过点（,0
0,）且与y轴垂直的平面.
3
（3）2x-3y-6=0表示与z轴平行的平面.
（4）x-3y=0表示过z轴的平面.
（5）y+z=1表示平行于x轴的平面.
（6）x-2z=0表示过y轴的平面.
（7）6x+5y-z=0表示过原点的平面.
5.求平面2x2yz50与各坐标面的夹角的余弦.
解平面的法向量为n=（2，-2，1），设平面与三个坐标面xOy，
yOz，zOx的夹角分别为1,2,3.则根据平面的方向余弦知
cos
nk
cos
1nk
（
2,
2
2
2,1）
（0,0,1）
2
1
（
2
2）
1
1
3
cos2cos
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