线性变换习题课.docx

1、线性变换习题课七、线性变换习题课1.复习线性变换的概念例1将C看成R上的线性空间，变换/4 =孑是线性的，看成C上的线性空间则不是。证明：R h：C有&V +力）=而2+力=越+幽乂 V4 G X,有月（上=旗=税=应故A是R上线性空间C的线性变换。C 上：取 自及 k = icC ,有（四）-（一 1）二 一 1 二 一 1 , 而 回f二五=1工用作小，故a不是C上线性空间C的线性变换。由上例，变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。2.利用运算的意义，运算律推证线性变换的等式，利用线性变换与n阶方阵代数同构 解决有关问题。例2设A.B是线性变换，如果一胡二反证明：/切-芯=如口，（k0）

2、证明：由已知，对k=l结论成立，故考虑用数学归纳法.对k用归纳法.当k=l时结论成立.K=2时,由已知= 力+区AS-BA2 =工+ 的-=aB ,月+ 力- BA2 =（BA+E）A+A-BA2 =BA2+A+A-BA2=2A 结论成立.设当k时结论成立，即-刚 =苑4b】,也即二a/十比4bl.当k+1时,至-划1二A（Ak）-瓦产=月（W# +好-I） 一瓦产 =ABAk+AkAk-BAk+1=（BA+E）Ak+kAk-BAk+, =BAk+,+Ak+kAk-BAk+l=（k+l ）Ak所以结论对k+1也成立，从而对一切k 1成立. 例3设V是数域P上n维线性空间,证明:V的与全体线性变

3、换交换的线性变换是数乘 变换.证明：需要表达出线性变换，联系到某基下的矩阵.设上凶e卬）存4B 二胡,令A B在某基下的矩阵分别为a.B.因为（。月+“）三（尸以，尸，+JJ）,所以由AB二BA得AB=BA.由B的任意 性、B e产湍也是任意的,从而存在某个ke P使得A=kE为数量阵（P.204,于是A二K为数量 变换.有了变换乘积，进一步可考虑可逆变换.3.系统小结可逆线性变换的的等价条件，并举例说明一些基本论证方法.A可逆0 10存在（匕）使W=胡=E.=2 A是双射.0 3。A在基下的矩阵A可逆一有限维例4设与，线是线性空间V的一组基.A是V上的线性变换，证明:A可逆当且仅当,上0线性

4、无关证明:证法一： “ 二,3 L(V) ,ba二因，若方/%+.+ =o,有b(尢/%+.+为兄”x即“U”讨凡 线性无关，因dimV=n,故Wg g V配勺 F使得Cd= 恁i +4上 J=a也可+） 令，使上百+月三（仁,） 易见3金（2,且ABa=.,=仪,即AB二又任给4 e匕设4=/号+, + %岁有BAf = B （的工纣+ .+%达三）=&卢1+% J =4故BA二反，从A可逆.证法二:利用双射“ A是双射，则0=%1号+勾兑弓=人（L可+勺J）得。=白可+热J（0对应0）故二二为二0,力耳，弘三线性无关.“” A可逆，故阳，线性无关，川晨乂忆的秩为r,n-r,Asv.,Asr

5、和分别为d印i和d印2的基,故/二工跖木工的.“U” /二工跖4力啊，有dimV=dim/M/=上（弘凡MJ）,故弘兄丛彳为AV的 一组基，即序线性无关,A可逆.4.小结:线性变换矩阵的求法，进一步掌握矩阵的概念.与, J为V的一组基， 2-1A （纣，7 ）=（无7，1）A,（九?%）=（与7彳）X为另一组基，有A（W，%）=（%，）玄例6在空间P（xn中,4 /1 /a+1） /（力是线性变换，求A在基E 二 = X（.T）（1 + 1），一 J士T下的矩阵证明：首先由J0） 1 /a+l） /（力是线性变换Jw 1 -J（力是线性变换，故A 是线性变换.其次，只要求出八弓，用牛，八表示,

6、就可得A.A b=A（i）=i-i=o,（k+1）N （2T-3 + 2）大（左 1）一 + 1）A弓= i - jlx （nT + 2）, .八 : -（j+1-x+j-I） = i I（-1）.一（）+ 1）二.= 一 门 lw0 10 40 0 及“、所以，A（币，-i）=（访.-i）1。 0 ）,所求矩阵为1 0 ）.例7设三维线性空间V上的线性变换A在基%时三下的矩阵为1）.求A在基（耳,0）下的矩阵;2）.求A在基（耳，上，三）下的矩阵，其中ke尸上h；3）.求A在基（司+昌，%）下的矩阵.证明：1）.A 2= %2号+“222+“12可艮 1= % 卢3 +。21&2+1L 号A

7、 ，31+23&2+%353= %3sB3+。23&2 +。31s!八（0三 %）=（% 比）1% 12 11）所求矩阵为1出3）.A（，1 +三）=（，11+，2居+3ai+22区+（“31+%）%=（。11, + %2）（.+2）+（“21 + ”22 ，1一 12）&2 + &31 +%2）三= *1式51 + &2）+（22 一 &12）邑+%2 邑&芭3 =，3（& + 号）+ 他3 。13）马 +，33 5所求矩阵为I1.1 十12的 1 + a22 - 11 12%+%21又（司+2吗）=（？ 三）1故所求矩阵为例8 /e（?,*） .A在任一组基下矩阵都相同，则A是数乘变换.

8、证明：要证A在任一组基下矩阵是数量阵.设A在基下JJ下的矩阵为A,对任一 n阶非退化方阵X,（外4）=（%”）X为V的另一组基，在此基下A的矩阵为UN 二儿即也1二周,由工的任意性,A为数量阵. fmq =事实上，此时A与任意瓶e产温可换:设可逆矩阵RQe p ”使则产M2+4可逆，与A交换，得于是，由P.204 ex.7 3）, A为数量阵，从而A为数量变换.证明：曾在二次型中证明过它们合同，显然它们等价,将它们看成一个线性变换在不同基 下的矩阵.设4U（厂（尸/）外在基（J退）下的矩阵为a,则显然（知，百 ）是丫的另一组基, 此基下A的矩阵为B.将线性变换与方阵的特征诸概念列表对比，指出异

9、同,明确求法.线性变换A 加）矩阵A特征多项式特征值特征向量0=日- J)/ 、 公#0有限维例11设是线性变换A的两个不同特征值，为巧是分别属于&a的特征向量, 证明：瓦+J不是A的特征向量.证明：只要证u魂尸, a（纣+三）=魂（无+叼）若有这样的4已尸存在，则叉（鸟+ J）=A（九+弓）=人耳+ A5二兄+ 为巧而与无属于不同的特征值,线性无关,故4=2二4,矛盾.将此结果与属于同一个特征值的特征向量的和（* 0）作比较，与互是a的属于兄的两个特 征向量，则当司+邑w 0时，”+邑是A的一个特征向量（属于A）.例12证明：如果A e （匕）以V中每个非零向量为特征向量,那麽A是数乘变换.

10、分析:A = K = 匕AJ二4今每个非零向量都是特征值k的特征向量今每个非零向量都是特征向量且特征值只有一个证明:若全备正匕4*2 6 泊严备，有全备都是A的特征向量.若媪，刍是分别属于两个不同的特征值为=为，那麽由上题，飞入0 PA也1 +刍）/2G +刍）即4+刍H 不可能是A的特征向量,矛盾.故品备=H 有4心是属于A的同一特征值的特征向量.设这个特 征值为k,于是网=4 e匕A4二棺，又A40=0,疆卜工.=呜A 二 K例13. 巴（匕）可逆,则1）. A有特征值,则不为o；2）.兄是A的特征值，则兄r是A一1的特征值.证法一:1）.设足是A的特征值,0 H4是属于兄的特征向量,则八

11、,二左f .因A可逆，A-，存在，且A”（V）,有八A（A月二A（狗二兄（A一七）即专（A*）,而$叫有4A* =3）.由D, 几力，兄r是A1的特征值.4）. A的特征向量是A”的特征向量.证法二:当V是有限维吐设A在基与7彳F的矩阵为A,则由可逆,A可逆.1）.若3 = 0是A的特征值,则oE-L（T）Ml n国二与A可逆矛盾., 陛-止On（阳-止02）.若先是A的特征值，则4。0,且I r即兄-是工的特征值,而 魂 ，故兄.是A-的特征值.（注:一般情况与有限维时证明方法不一样;此结论要求掌握.）特殊变换的特征值例14设Ae 匕），若A，= E, A称为对合变换,求A的特征值.证明：设

12、兄是A的特征值，力。是相应的特征向量，有上法&= A（超）=N（A=炙匕而 A? = E.故f =工2切-贮）4 = 0,1-炉=0,兄=1 p. gpA若有特征值只能是1或-LUJhOjhA 或则 A-然）=-A/3MA 或则A但+AJ =A包确有特征值1或L证法二：又A”二A,若兄是A的特征值,则2r是A”的特征值.且若f是A的属于 义的特征向量，则是A”的特征向量，必有2=2,入二 1.A/二A,则A的特征值只能是i,o；若f w0*h Af,则人4一4/0,4(4一4)二 ,即人有特征值1；A。0时，有特征值1 ；当A的秩1),求A在基为二号+ 2与 +巧+ q,下的矩阵;2),求A的

13、特征值与特征向量；3).求可逆矩阵T使得r:AT为对角阵.证明:1).(为% %为)二(弓%1 2 0 0、2 3 0 01110W 0 0 b二佃力邑A)s从而A在伪 % %)06-500-54003.5-1.5705一22). A的特征多项式为故A的特征值为o,i,o.5wp.解方程组(兄E-B)X=0Z=0:BX=0,备=方刃+电我=4（司+ 2巧+巧+ q）+/（24+3与+邑）二国+2为）%+（2方+3&泡+（片+为应+9其中w产不全为0.卜753i =片(一7为 +5% + 3% + 5%)二%(30 + &2+ 吗- 2q)其中当 已产不为 o.盘s二上式一*% + 6% +%

14、+ 2%）二%（4弓+22 - ff3 - 6s*4）其中热已产不为o.3）.由2）.所得4个特征向量纣+ 2% +巧+ % , 2纣+应+5，123 4,1 23 4线性无关,可作为V的一组基,在此基下A的矩阵为（0 011 切，而由3 J 逅到这组基的过渡阵为勺234、勺、23120T =T-lAT =111-11U0-2，且0例17 设与火弓，9是4维线性空间V的一组基，己知线性变换A在此基下的矩阵为1021、-12 1312 5 51).求A在以下基下的矩阵: % 二号-2司+母 弘二3与一三-q 为二邑+地 久=2%2).求A的核与值域.3),在A的核中选一组基,把它扩充为V的一组基

15、,并求A在此基下的矩阵.4).在A7中选一组基扩充为V的基，并求A在此基下的矩阵证明：1).由基弓，同到%切1%,%的过渡矩阵为2-332、2_41010B = X-lAX =333T8_1640403TA在%7%44下的矩阵为31-7-町2), Vaw A(0)，设仪=(入 三，与/)0=Aflf=A% % 沁、%）二%,弓7 %）avz4 7解此齐次线性方程组得 =-2均一%所以基础解系为(-4, -3, 2, 0), (-1,-2, 0,1)从而是 A(0)的一组基,即 A(0) _(%).因dimA/二4-dimA(0)二八2二2,而A/=(A%八以八5八线)，A弓的坐标列为r 的列,

16、且A的前2列线性无关,从而“J线性无关，即 A/二 （A%A2）.线性无关,即J巧，弓，”是V的一组基,此基由A(Q)的一组基扩充而成,其中Q为由 ”,火弓7 q到%的过渡阵.A在目品乌乌 F的矩阵为 (其中后两列是0因为A()中元被A作用后在任何基下的坐标均为(0, 0, 0, 0)9线性无关,是V的一组基，由A/的基扩充而成，由% %,弓到%,%, 的过渡阵为P, A在此基下的矩阵为5 2 2 1、9 31 -1-2= 2 20 0 0 01 1(后两行为0因为任一向量被A作用后都在A，中，由A子A邑线性表出).例18设1二A,B、B,证明：1). A与B有相同的值域当且仅当AB = B,

17、BA = A.2). A与B有相同的核当且仅当AB= A,BA = B.证明：1). “=”：匕BfeA匕故存在不七匕B4二A不，于是“r(A)+r (B)-n,设法将变换的秩与相应矩阵的秩对应.证法一：设A，B在基生，下的矩阵分别为a,b,则AB的秩二r(AB), A的秩二(A), B 的秩二 r (B) .由 chap4.补 10, r (AB)之r (A)+r(B)-n,得证.证法二:注意到A的秩二dimA,，可用定理11.由定理 11 和补 9,秩(AB)二dimAB6二dimB，-dim(A )而A-1 (0) nBFc A-1 (0), dim(A(0) nBF)Mdim姬(0)故

18、秩(AB )之dimB,-dimA(0)二秩B -(n-秩 A)= r(A)+r (B)-n.例21设Ae , w是a-子空间,若A可逆，证明：W也是a一子空间.注7.8.1在证A沙二w时,有人认为A可逆,从而是一一对应,故既单(A (0) = 0, A (0) C取=0)又满(U奴郎石”郎，A好外，从而A取二印0A印二W,不必考虑有限维,这是错误的：A在/ 一 /间一一对应,不是在 印今印间 对应.反例:V=Px=L(l, x, xs, x3,.), W=f (x3)x5 f (x) Hx=l(x) x： x3,.)显然A可逆(因是一一对应)，八%二上(/，/,/,)GW但仁郎，如A-1W)

19、:登印另A在少印间单,dimW有限，因而A在乎今印间满.例22.设V是复数域上n维线性空间，f(门，AB=BA,证明：1).如果是A的一 个特征值,那麽匕0是E的不变子空间；2). 至少有一个公共特征向量.证明：1). %是A 子空间，AB二BA,故，切丘匕。使得所以2).因为v是c上的线性空间，A至少有一个特征值，设为为A的特征值，由D, %为B 一子空间.令切% ,则即%有特征值,设为,则存在0= 使得Af=44,故f为4B的公共特征向量.注7. 8. 2此题可推广到两两交换的任意个线性变换在V中有公共特征向量.例23设证明：1). w是A-子空间，&W阴，则聆V；2).嫡是A 子空间，则

20、阴；3). /是A-子空间,% +%，则跖=或购=.1 N1*证明:1).由题意，A (5)=(%氏)1 1刈若纣w阴，w为A子空间，有,二A&1 - 4号目即2).加。J e印，令f +J.则故 =片4 +心-品&W又由Afi W印得 二方卢3 +%-2 J己娘如此继续， 媪二方遇+i+E-遇己取了=2,3.设片,?心中第一个非零的为I,则晟f二屁弓金取，得J丘郎.3).若八所：购尸产”但跖八修，矛盾.例24办”二三可逆的丁，丁-9T为上三角阵.分析:A与Jordan矩阵相似,而若当形是下三角阵,考虑转置.证明:存在可逆丁，丁-9丁为若当形矩阵，故(7-9)二NX)是上三角阵，即A相 似于一个上三角阵