线性变换习题课.docx

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线性变换习题课

七、线性变换习题课

1.复习线性变换的概念

例1将C看成R上的线性空间，变换/4=孑是线性的，看成C上的线性空间则不是。

证明：

Rh：

"C有&V+力）=而2+力=越+幽

乂V4GX,有月（上=旗=税=应

故A是R上线性空间C的线性变换。

C上：

取自及k=icC,有'（四）-'（一1）二一1二一1,而回f二五=1工用作小，故a不是C上线性空间C的线性变换。

由上例，变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。

2.利用运算的意义，运算律推证线性变换的等式，利用线性变换与n阶方阵代数同构解决有关问题。

例2设A.B是线性变换，如果一胡二反证明：

/切-芯=如口，（k>0）

证明：

由已知，对k=l结论成立，故考虑用数学归纳法.

对k用归纳法.当k=l时结论成立.K=2时,由已知=£力+区

A^S-BA2=工+的-"=aB,月+力-BA2=（BA+E）A+A-BA2=BA2+A+A-BA2=2A结论成立.

设当k时结论成立，即-刚£=苑4b】,也即二a/十比4bl.

当k+1时,至-划"1二A（Ak£）-瓦产=月（W#+好'-I）一瓦产=ABAk+AkAk-'-BAk+1=（BA+E）Ak+kAk-BAk+,=BAk+,+Ak+kAk-BAk+l=（k+l）Ak

所以结论对k+1也成立，从而对一切k>1成立.□

例3设V是数域P上n维线性空间,证明:

V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换.

证明：

需要表达出线性变换，联系到某基下的矩阵.

设上凶e卬）存4B二胡,令AB在某基下的矩阵分别为a.B.

因为（£（。

月+“）三（尸以'，尸，+JJ）,所以由AB二BA得AB=BA.由B的任意性、Be产湍也是任意的,从而存在某个keP使得A=kE为数量阵（P.204,,于是A二K为数量变换.

有了变换乘积，进一步可考虑可逆变换.

3.系统小结可逆线性变换的的等价条件，并举例说明一些基本论证方法.

A可逆010存在（匕）使W=胡=E.

=2°A是双射.

03。

A在基下的矩阵A可逆一有限维

例4设与…，线是线性空间V的一组基.A是V上的线性变换，证明:

A可逆当且仅当

…,上0线性无关

证明:

证法一：

“二,,3L（V）,ba二因，若方/%+.・.+♦~〃=o,有b（尢/%+...+为兄”x即

“U”讨凡线性无关，

因dimV=n,故WggV配…勺€F使得

Cd=>恁i+•••+4上J=a也可+…）令，使上百+…+月三（仁,）易见3金£（2,且ABa=..,=仪,即AB二£

又任给4e匕设4=/号+,••+%岁》

有BAf=B（的工纣+...+%达三）=&卢1+…+%J=4

故BA二反，从A可逆.

证法二:

利用双射

“A是双射，则0=%1号+・・・+勾兑弓=人（L可+…+勺J）

得。

=白可+…+热J（0对应0）

故《二…二为二0,力耳，…，弘三线性无关.

“<=”由dimV=n.V的任一向量可由*凡…厚邑唯一表示，即V中任一向量有唯一（要证明）原像（显然）,故A是双射.

证法三:

利用矩阵

A可逆=A在无，…，弓下的矩阵A可逆

=（%・・・G）A也是一组基=n

今月凡…以邑线性无关口

例5设AeZ（V（R%））AV,.w2是V的子空间，且/二跖+%，则A可逆

v=aw^aw2

证明油1二跖上明，有W二月跖M/〈V,可设W1的一组基为与…3W2的一组基为与+「-，J,则与…，”为V的一组基.

“=>”A可逆，故阳，线性无关，川晨乂忆的秩为r,n-r,

Asv...,Asr和分别为d印i和d印2的基,故/二工跖木工的.

“U”/二工跖4■力啊，有dimV=dim//M/=上（弘凡…MJ）,故弘兄…丛彳为AV的一组基，即▲序…线性无关,A可逆.

4.小结:

线性变换矩阵的求法，进一步掌握矩阵的概念.

与…,J为V的一组基，2-1

A（纣，…7"）=（无7…，1）A,（九…?

%）=（与…7彳）X为另一组基，有

A（W…，%）=（%，…，％）£玄

例6在空间P（x]n中,4/⑴1/a+1）—/（力是线性变换，求A在基

E二]£=X（.T）…（1+1）

°"，'一J士―T下的矩阵

证明：

首先由J0）1/a+l）—/（力是线性变换Jw1-J（力是线性变换，故A是线性变换.

其次，只要求出八弓，用牛…，八表示,就可得A.

A£b=A（i）=i-i=o,

（k+1）N•—（2T-3+2）大（左—1）一•+1）

A弓=i\-jl

x…（nT+2）,—.八

-（j+1-x+j-I）=iI

♦（--1）.《一（—）+1）二.

=一门lw0—1

「040<0及“、

所以，A（币①…，％-i）=（访.％-i）1。

0）,所求矩阵为1°0）.

例7设三维线性空间V上的线性变换A在基%时三下的矩阵为

1）.求A在基（耳,0）下的矩阵;

2）.求A在基（耳，上^，三）下的矩阵，其中ke尸上h°；

3）.求A在基（司+'昌，%）下的矩阵.

证明：

1）.A^2=%2号+“22》2+“12可

艮‘1=%卢3+。

21&2+°1L号

A，3£1+〃23&2+%353=%3sB3+。

23&2+。

31s!

八（0三%）=（%%比）1%〃12"11）

所求矩阵为1出

3）.A（，1+三）=（，11+，2居+3ai+"22区+（“31+%）%

=（。

11,+%2）（£].+》2）+（“21+”22—，1一〃12）&2+&31+%2）三

=*1式51+&2）+（°22一&12）邑+%2邑

&芭3=，3（&+号）+他3—。

13）马+，335

所求矩阵为I

"1.1十"12

的1+a22-^11—«12

%+%2

又（司+2吗）=（"？

％三）1°

故所求矩阵为

例8/e£（'（?

*））.A在任一组基下矩阵都相同，则A是数乘变换.证明：

要证A在任一组基下矩阵是数量阵.

设A在基下JJ下的矩阵为A,对任一n阶非退化方阵X,（外…4）=（%”）X为

V的另一组基，在此基下A的矩阵为『UN二儿即也1二周,由工的任意性,A为数量阵.

「fmq=

事实上，此时A与任意瓶e产温可换:

设可逆矩阵RQep”使

则产M2+4可逆，与A交换，得

于是，由P.204ex.73）,A为数量阵，从而A为数量变换.

证明：

曾在二次型中证明过它们合同，显然它们等价,将它们看成一个线性变换在不同基下的矩阵.

设4U£（厂（尸/））外在基（J…退）下的矩阵为a,则显然（知，…百》）是丫的另一组基,此基下A的矩阵为B.

将线性变换与方阵的特征诸概念列表对比，指出异同,明确求法.

线性变换A加』）

矩阵A

特征多项式

特征值

特征向量

0"=日-

-J）

/•、・公

有限维

例11设是线性变换A的两个不同特征值，为巧是分别属于&a的特征向量,证明：

瓦+J不是A的特征向量.

证明：

只要证u魂£尸,a（纣+三）=魂（无+叼）

若有这样的4已尸存在，则

叉（鸟+J）=A（九+弓）=人耳+A5二兄+为巧

而与无属于不同的特征值,线性无关,故4=2二4,矛盾.

将此结果与属于同一个特征值的特征向量的和（*0）作比较，与互是a的属于兄的两个特征向量，则当司+邑w0时，”+邑是A的一个特征向量（属于A）.

例12证明：

如果Ae£（匕）以V中每个非零向量为特征向量,那麽A是数乘变换.

分析:

A=K=匕AJ二4

今每个非零向量都是特征值k的特征向量

今每个非零向量都是特征向量且特征值只有一个

证明:

若全备正匕4*26°泊严备，有全备都是A的特征向量.

若媪，刍是分别属于两个不同的特征值为=为，那麽由上题，

飞入0PA也1+刍）/2G+刍）即4+刍H°不可能是A的特征向量,矛盾.

故"品备=°H有4心是属于A的同一特征值的特征向量.设这个特征值为k,于是网=4e匕A4二棺，又A40=0,

疆卜工.=呜A二K

例13.△巴£（匕）可逆,则1）.A有特征值,则不为o；

2）.兄是A的特征值，则兄r是A一1的特征值.

证法一:

1）.设足是A的特征值,0H4是属于兄的特征向量,则八,二左f.

因A可逆，A-，存在，且A”（V）,有

八A」（A月二A」（狗二兄（A一七）

即专"（A*）,而$叫有4"

A*=—

3）.由D,几力，兄r是A—1的特征值.

4）.A的特征向量是A”的特征向量.

证法二:

当V是有限维吐设A在基与…7彳F的矩阵为A,则由△可逆,A可逆.

1）.若3=0是A的特征值,则o」°E-'L（T）Mln国二°

与A可逆矛盾.

陛-止On（阳-止0

2）.若先是A的特征值，则4。

0,且Ir

即兄-'是工的特征值,而魂，故兄.'是A-的特征值.

（注:

一般情况与有限维时证明方法不一样;此结论要求掌握.）

特殊变换的特征值

例14设Ae£［匕），若A，=E,A称为对合变换,求A的特征值.

证明：

设兄是A的特征值，力。

°是相应的特征向量，有'上

法&=A（超）=N（A==炙匕而A?

=E.

故f=工2切-贮）4=0,1-炉=0,兄=±1£p.gpA若有特征值只能是1或-L

UJhOjhA或则A©-然）=-A/3MA或

则A但+AJ=A包确有特征值1或—L

证法二：

又A”二A,若兄是A的特征值,则2r是A”的特征值.且若f是A的属于义的特征向量，则〈是A”的特征向量，必有2=2",

入二±1.

□

A/二A,则A的特征值只能是i,o；

若fw0*hAf,则人4一4/0,4（4^一4）二°,即人有特征值1；

A。

0时，有特征值1；当A的秩

例15设dimV=n,Ae£（7）,证明：

A是对合变换时必可对角化。

分析：

A的特征值至多有两个1和-1,从而不好利用第一个充分条件。

设法用充要条件，证明属于1的线性无关特征向量数与属于-1的线性无关特征向量数之和为n：

即（E-A）X=0的基础解系个数十（-E-A）X=0的基础解系个数二n：

即r（E-A）+r（-E-A）=n.

证明：

设"邑为V的一组基，且A在此基下的矩阵为A,由A，=H,有a：

=E,故O=E-A==（E-A）（E+A）,r（E-A）+r（E+A）=n,最后一个等式由Chap.4.补

设r（E-A）=r之0,则r（-E-A）=r（E+A）=n-r,故（E-A）X=0的基础解系有n-r个线性无关解；（-E-A）X=0的基础解系有r个线性无关解.即A的属于1的线性无关特征向量有n-r个，属于-1的线性无关特征向量有r个;而有定理9,属于不同特征值的特征向量线性无关，故A有n个线性无关特征向量,从而可对角化.

1.由（E-A）（-E+A）=0,有忸-国忸+.=°,若忸一川=0,则忸十.=0,即1不是特征值则-1必是,两者必有一,但可不全是.

2.塞等变换=A,Ae£（，（尸,用）可对角化,也可仿此证.

例16设%火星％是4维空间v的一组基，在此基下的矩阵为

「5-2-43、

3-1-32

-30.54.5-2.5

「10311-7>

1）,求A在基为二号+2与+巧+q,

下的矩阵;

2）,求A的特征值与特征向量；

3）.求可逆矩阵T使得r:

AT为对角阵.

证明:

1）.（为%%为）二（弓%

「1200、

2300

1110

W00b

二佃力邑A）s

从而A在伪％%%）

-5

3.5

-1.5

一2

2）.A的特征多项式为

故A的特征值为o,i,o.5wp.

解方程组（兄E-B）X=0

Z=0:

BX=0,

备=方刃］+电我=4（司+2巧+巧+q）+/（24+3与+邑）

二国+2为）%+（2方］+3&泡+（片+为应+9％其中w产不全为0.

卜7]

<5>

i\=片（一7为+5%+3%+5%）二%（30+&2+吗-2q）其中当已产不为o.

盘s二上式一*%+6%+%+2%）二%（4弓+2^2-ff3-6s*4）其中热已产不为o.

3）.由2）.所得4个特征向量纣+2%+巧+%,2纣+应+5，

1234,1234线性无关,可作为V的一组基,在此基下A的矩阵为

（0］

1°切，而由"3J逅到这组基的过渡阵为

勺

4、

勺

、

T-lAT=

-1

-2

，且

例17设与火弓，9是4维线性空间V的一组基，己知线性变换A在此基下的矩阵为

「1021、

-1213

1255

<2-21-2>

1）.求A在以下基下的矩阵:

%二号-2司+母弘二3与一三-q为二邑+地久=2%

2）.求A的核与值域.

3）,在A的核中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求A在此基下的矩阵.

4）.在A7中选一组基扩充为V的基，并求A在此基下的矩阵

证明：

1）.由基弓，同到%切1%,%的过渡矩阵为

「2

-3

2、

B=X-lAX=

_16

A在%7%44下的矩阵为

-7

-町

2）,VawA」（0），设仪=（入三，与/）

0=Aflf=A%[%沁、%）二%,弓7%）avz47

解此齐次线性方程组得々=-2均一%

所以基础解系为（-4,-3,2,0）,（-1,-2,0,1）从而

是A"（0）的一组基,即A"（0）_£（%%）.

因dimA/二4-dimA"（0）二八2二2,而A/=±（A%八以八5八线），A弓的坐标列为r的列,且A的前2列线性无关,从而“J线性无关，

即A/二£（A%A》2）.

线性无关,即J巧，弓，”是V的一组基,此基由A"（Q）的一组基扩充而成,其中Q为由”,火弓7q到%%%%的过渡阵.A在目品乌乌F的矩阵为

（其中后两列是0因为A"（°）中元被A作用后在任何基下的坐标均为（0,0,0,0）9

线性无关,是V的一组基，由A/的基扩充而成，由%%,弓到%,%,的过渡阵为

P,A在此基下的矩阵为

「5221、

1-1-2

=22

0000

1°°°°1（后两行为0因为任一向量被A作用后都在

A，中，由A子A邑线性表出）.

例18设1二A,B、B,证明：

1）.A与B有相同的值域当且仅当AB=B,BA=A.

2）.A与B有相同的核当且仅当AB=A,BA=B.

证明：

1）.“=>”：

匕BfeA匕故存在不七匕B4二A不，于是

“<="：

VeK,Af=BA^c~BV即A/qB/,同理

BrcAT,故A展B/。

2）,■gw-B/nE+，即BC—B幻=0,E—BgwE-】0）=A-i（0）

故A0一Be）=。

A4-ABe=0,A4=AB。

A二AB同理B=BA

.V^GA-1（0）,5=^-Af,

右.鼻-BA10,火⑼c

同理A"®c川⑼，故A"（0）=B-\0）.

例19设A是有限维线性空间v的线性变换,W是V的子空间，A印表示由w中向量的像组成的子空间，证明：

dim（A城）+dim（A"（0）C犷）=dimW

分析:

定理11dim（A，）+dim（A“（°））=dimV的证明中，取八「（0）的基,扩充为V的基.

证明:

取a"（°）C犷1犷的一组基"，…，与，将它扩充为w的一组基

7加卜…74H=L（进7…了J,加卜…7%）

由于A%=…==故

Aw=l（A%]AJ,AJ+i?

-，A%）=l（AJ+il[A4）

若有上丫4A%】+•••+44%二0

即A（O,1+…+4%）=a%+…+踪％WA-1（0）nW

存在与，…区使得向+i+…+鼠％上%+…+为5

故有方1二…二总二峪J=…二&=0

即Aj+1,…,A%线性无关，dimA聆m-r=dimW-dim（A“（°）C犷）

附注：

dim（A/）+dim（A"（O））=dimV是对V而言的，对子空间的值域和核也一样。

例20设A，B为n维线性空间V的线性变换，证明：

AE的秩之A的秩+B的秩-n.

分析:

chap4补10.（p209）r（AB）>r（A）+r（B）-n,设法将变换的秩与相应矩阵的秩对应.

证法一：

设A，B在基生…，％下的矩阵分别为a,b,则AB的秩二r（AB）,A的秩二「（A）,B的秩二r（B）.由chap4.补10,r（AB）之r（A）+r（B）-n,得证.

证法二:

注意到A的秩二dimA,，可用定理11.

由定理11和补9,秩（AB）二dimAB6二dimB，-dim（A）

而A-1（0）nBFcA-1（0）,dim（A」（0）nBF）Mdim姬（0）

故秩（AB）之dimB,-dimA"（0）二秩B-（n-秩A）=r（A）+r（B）-n.

例21设Ae,w是a-子空间,若A可逆，证明：

W也是a"一子空间.

注7.8.1在证A沙二w时,有人认为A可逆,从而是一一对应,故既单

（A"（0）={0},A"（0）C取={0}）又满（U奴郎石”郎，A好外，从而

A取二印0A"印二W,不必考虑有限维,这是错误的：

A在/一/间一一对应,不是在印今印间对应.

反例:

V=P[x]=L（l,x,xs,x3,...）,W={f（x3）x5f（x）Hx]}=l（x）x：

x3,...）

显然A可逆（因是一一对应），八%二上（/，/,/,・••）GW

但仁郎，如A-1W）:

登印

另A在少♦印间单,dimW有限，因而A在乎今印间满.

例22.设V是复数域上n维线性空间，f£（门，AB=BA,证明：

1）.如果％是A的一个特征值,那麽匕0是E的不变子空间；

2）.至少有一个公共特征向量.

证明：

1）.%是A—子空间，AB二BA,故，切丘匕。

使得

所以

2）.因为v是c上的线性空间，A至少有一个特征值，设为为A的特征值，由D,%为B一子空间.令切%,则即%有特征值,设为％,则存在0=^^使

得Af=44,故f为4B的公共特征向量.

注7.8.2此题可推广到两两交换的任意个线性变换在V中有公共特征向量.

例23设

证明：

1）.w是A-子空间，&W阴，则聆V；

2）.⑹"嫡是A—子空间，则阴；

3）.♦/是A-子空间,%+%，则跖=@或购=⑼.

•»

证明:

若纣w阴，w为A—子空间，有,二A&1-4号目即

2）.加。

Je印，令f+…+《J.则

故=片4+…+心-品&W

又由AfiW印得«二方卢3+…+%-2J己娘

如此继续，媪二方遇+i+…+E-遇己取了=2,3...

设片,…?

心中第一个非零的为I,则晟f二屁弓金取，得J丘郎.

3）.若八所：

购尸产”但"跖八修，矛盾.

例24办£°”二三可逆的丁，丁-9T为上三角阵.

分析:

A与Jordan矩阵相似,而若当形是下三角阵,考虑转置.

证明:

存在可逆丁，丁-9丁为若当形矩阵，故（7-9『）'二『NX）"是上三角阵，即A相似于一个上三角阵

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