线性变换习题课.docx
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线性变换习题课
七、线性变换习题课
1.复习线性变换的概念
例1将C看成R上的线性空间,变换/4=孑是线性的,看成C上的线性空间则不是。
证明:
Rh:
"C有&V+力)=而2+力=越+幽
乂V4GX,有月(上=旗=税=应
故A是R上线性空间C的线性变换。
C上:
取自及k=icC,有'(四)-'(一1)二一1二一1,而回f二五=1工用作小,故a不是C上线性空间C的线性变换。
由上例,变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。
2.利用运算的意义,运算律推证线性变换的等式,利用线性变换与n阶方阵代数同构解决有关问题。
例2设A.B是线性变换,如果一胡二反证明:
/切-芯=如口,(k>0)
证明:
由已知,对k=l结论成立,故考虑用数学归纳法.
对k用归纳法.当k=l时结论成立.K=2时,由已知=£力+区
A^S-BA2=工+的-"=aB,月+力-BA2=(BA+E)A+A-BA2=BA2+A+A-BA2=2A结论成立.
设当k时结论成立,即-刚£=苑4b】,也即二a/十比4bl.
当k+1时,至-划"1二A(Ak£)-瓦产=月(W#+好'-I)一瓦产=ABAk+AkAk-'-BAk+1=(BA+E)Ak+kAk-BAk+,=BAk+,+Ak+kAk-BAk+l=(k+l)Ak
所以结论对k+1也成立,从而对一切k>1成立.□
例3设V是数域P上n维线性空间,证明:
V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换.
证明:
需要表达出线性变换,联系到某基下的矩阵.
设上凶e卬)存4B二胡,令AB在某基下的矩阵分别为a.B.
因为(£(。
月+“)三(尸以',尸,+JJ),所以由AB二BA得AB=BA.由B的任意性、Be产湍也是任意的,从而存在某个keP使得A=kE为数量阵(P.204,,于是A二K为数量变换.
有了变换乘积,进一步可考虑可逆变换.
3.系统小结可逆线性变换的的等价条件,并举例说明一些基本论证方法.
A可逆010存在(匕)使W=胡=E.
=2°A是双射.
03。
A在基下的矩阵A可逆一有限维
例4设与…,线是线性空间V的一组基.A是V上的线性变换,证明:
A可逆当且仅当
…,上0线性无关
证明:
证法一:
“二,,3L(V),ba二因,若方/%+.・.+♦~〃=o,有b(尢/%+...+为兄”x即
“U”讨凡线性无关,
因dimV=n,故WggV配…勺€F使得
Cd=>恁i+•••+4上J=a也可+…)令,使上百+…+月三(仁,)易见3金£(2,且ABa=..,=仪,即AB二£
又任给4e匕设4=/号+,••+%岁》
有BAf=B(的工纣+...+%达三)=&卢1+…+%J=4
故BA二反,从A可逆.
证法二:
利用双射
“A是双射,则0=%1号+・・・+勾兑弓=人(L可+…+勺J)
得。
=白可+…+热J(0对应0)
故《二…二为二0,力耳,…,弘三线性无关.
“<=”由dimV=n.V的任一向量可由*凡…厚邑唯一表示,即V中任一向量有唯一(要证明)原像(显然),故A是双射.
证法三:
利用矩阵
A可逆=A在无,…,弓下的矩阵A可逆
=(%・・・G)A也是一组基=n
今月凡…以邑线性无关口
例5设AeZ(V(R%))AV,.w2是V的子空间,且/二跖+%,则A可逆
v=aw^aw2
证明油1二跖上明,有W二月跖M/〈V,可设W1的一组基为与…3W2的一组基为与+「-,J,则与…,”为V的一组基.
“=>”A可逆,故阳,线性无关,川晨乂忆的秩为r,n-r,
Asv...,Asr和分别为d印i和d印2的基,故/二工跖木工的.
“U”/二工跖4■力啊,有dimV=dim//M/=上(弘凡…MJ),故弘兄…丛彳为AV的一组基,即▲序…线性无关,A可逆.
4.小结:
线性变换矩阵的求法,进一步掌握矩阵的概念.
与…,J为V的一组基,2-1
A(纣,…7")=(无7…,1)A,(九…?
%)=(与…7彳)X为另一组基,有
A(W…,%)=(%,…,%)£玄
例6在空间P(x]n中,4/⑴1/a+1)—/(力是线性变换,求A在基
E二]£=X(.T)…(1+1)
°",'一J士―T下的矩阵
证明:
首先由J0)1/a+l)—/(力是线性变换Jw1-J(力是线性变换,故A是线性变换.
其次,只要求出八弓,用牛…,八表示,就可得A.
A£b=A(i)=i-i=o,
(k+1)N•—(2T-3+2)大(左—1)一•+1)
A弓=i\-jl
x…(nT+2),—.八
:
-(j+1-x+j-I)=iI
♦(--1).《一(—)+1)二.
=一门lw0—1
「040<0及“、
所以,A(币①…,%-i)=(访.%-i)1。
0),所求矩阵为1°0).
例7设三维线性空间V上的线性变换A在基%时三下的矩阵为
1).求A在基(耳,0)下的矩阵;
2).求A在基(耳,上^,三)下的矩阵,其中ke尸上h°;
3).求A在基(司+'昌,%)下的矩阵.
证明:
1).A^2=%2号+“22》2+“12可
艮‘1=%卢3+。
21&2+°1L号
A,3£1+〃23&2+%353=%3sB3+。
23&2+。
31s!
八(0三%)=(%%比)1%〃12"11)
所求矩阵为1出
3).A(,1+三)=(,11+,2居+3ai+"22区+(“31+%)%
=(。
11,+%2)(£].+》2)+(“21+”22—,1一〃12)&2+&31+%2)三
=*1式51+&2)+(°22一&12)邑+%2邑
&芭3=,3(&+号)+他3—。
13)马+,335
所求矩阵为I
"1.1十"12
的1+a22-^11—«12
%+%2
1
又(司+2吗)=("?
%三)1°
故所求矩阵为
例8/e£('(?
*)).A在任一组基下矩阵都相同,则A是数乘变换.证明:
要证A在任一组基下矩阵是数量阵.
设A在基下JJ下的矩阵为A,对任一n阶非退化方阵X,(外…4)=(%”)X为
V的另一组基,在此基下A的矩阵为『UN二儿即也1二周,由工的任意性,A为数量阵.
「fmq=
事实上,此时A与任意瓶e产温可换:
设可逆矩阵RQep”使
则产M2+4可逆,与A交换,得
于是,由P.204ex.73),A为数量阵,从而A为数量变换.
证明:
曾在二次型中证明过它们合同,显然它们等价,将它们看成一个线性变换在不同基下的矩阵.
设4U£(厂(尸/))外在基(J…退)下的矩阵为a,则显然(知,…百》)是丫的另一组基,此基下A的矩阵为B.
将线性变换与方阵的特征诸概念列表对比,指出异同,明确求法.
线性变换A加』)
矩阵A
特征多项式
特征值
特征向量
0"=日-
-J)
/•、・公
#0
有限维
例11设是线性变换A的两个不同特征值,为巧是分别属于&a的特征向量,证明:
瓦+J不是A的特征向量.
证明:
只要证u魂£尸,a(纣+三)=魂(无+叼)
若有这样的4已尸存在,则
叉(鸟+J)=A(九+弓)=人耳+A5二兄+为巧
而与无属于不同的特征值,线性无关,故4=2二4,矛盾.
将此结果与属于同一个特征值的特征向量的和(*0)作比较,与互是a的属于兄的两个特征向量,则当司+邑w0时,”+邑是A的一个特征向量(属于A).
例12证明:
如果Ae£(匕)以V中每个非零向量为特征向量,那麽A是数乘变换.
分析:
A=K=匕AJ二4
今每个非零向量都是特征值k的特征向量
今每个非零向量都是特征向量且特征值只有一个
证明:
若全备正匕4*26°泊严备,有全备都是A的特征向量.
若媪,刍是分别属于两个不同的特征值为=为,那麽由上题,
飞入0PA也1+刍)/2G+刍)即4+刍H°不可能是A的特征向量,矛盾.
故"品备=°H有4心是属于A的同一特征值的特征向量.设这个特征值为k,于是网=4e匕A4二棺,又A40=0,
疆卜工.=呜A二K
例13.△巴£(匕)可逆,则1).A有特征值,则不为o;
2).兄是A的特征值,则兄r是A一1的特征值.
证法一:
1).设足是A的特征值,0H4是属于兄的特征向量,则八,二左f.
因A可逆,A-,存在,且A”(V),有
八A」(A月二A」(狗二兄(A一七)
即专"(A*),而$叫有4"
A*=—
3).由D,几力,兄r是A—1的特征值.
4).A的特征向量是A”的特征向量.
证法二:
当V是有限维吐设A在基与…7彳F的矩阵为A,则由△可逆,A可逆.
1).若3=0是A的特征值,则o」°E-'L(T)Mln国二°
与A可逆矛盾.
陛-止On(阳-止0
2).若先是A的特征值,则4。
0,且Ir
即兄-'是工的特征值,而魂,故兄.'是A-的特征值.
(注:
一般情况与有限维时证明方法不一样;此结论要求掌握.)
特殊变换的特征值
例14设Ae£[匕),若A,=E,A称为对合变换,求A的特征值.
证明:
设兄是A的特征值,力。
°是相应的特征向量,有'上
法&=A(超)=N(A==炙匕而A?
=E.
故f=工2切-贮)4=0,1-炉=0,兄=±1£p.gpA若有特征值只能是1或-L
UJhOjhA或则A©-然)=-A/3MA或
则A但+AJ=A包确有特征值1或—L
证法二:
又A”二A,若兄是A的特征值,则2r是A”的特征值.且若f是A的属于义的特征向量,则〈是A”的特征向量,必有2=2",
入二±1.
□
A/二A,则A的特征值只能是i,o;
若fw0*hAf,则人4一4/0,4(4^一4)二°,即人有特征值1;
A。
0时,有特征值1;当A的秩例15设dimV=n,Ae£(7),证明:
A是对合变换时必可对角化。
分析:
A的特征值至多有两个1和-1,从而不好利用第一个充分条件。
设法用充要条件,证明属于1的线性无关特征向量数与属于-1的线性无关特征向量数之和为n:
即(E-A)X=0的基础解系个数十(-E-A)X=0的基础解系个数二n:
即r(E-A)+r(-E-A)=n.
证明:
设"邑为V的一组基,且A在此基下的矩阵为A,由A,=H,有a:
=E,故O=E-A==(E-A)(E+A),r(E-A)+r(E+A)=n,最后一个等式由Chap.4.补
设r(E-A)=r之0,则r(-E-A)=r(E+A)=n-r,故(E-A)X=0的基础解系有n-r个线性无关解;(-E-A)X=0的基础解系有r个线性无关解.即A的属于1的线性无关特征向量有n-r个,属于-1的线性无关特征向量有r个;而有定理9,属于不同特征值的特征向量线性无关,故A有n个线性无关特征向量,从而可对角化.
1.由(E-A)(-E+A)=0,有忸-国忸+.=°,若忸一川=0,则忸十.=0,即1不是特征值则-1必是,两者必有一,但可不全是.
2.塞等变换=A,Ae£(,(尸,用)可对角化,也可仿此证.
例16设%火星%是4维空间v的一组基,在此基下的矩阵为
「5-2-43、
3-1-32
-30.54.5-2.5
「10311-7>
1),求A在基为二号+2与+巧+q,
下的矩阵;
2),求A的特征值与特征向量;
3).求可逆矩阵T使得r:
AT为对角阵.
证明:
1).(为%%为)二(弓%
「1200、
2300
1110
W00b
二佃力邑A)s
从而A在伪%%%)
0
6
-5
0
0
-5
4
0
0
3.5
-1.5
7
0
5
一2
2).A的特征多项式为
故A的特征值为o,i,o.5wp.
解方程组(兄E-B)X=0
Z=0:
BX=0,
备=方刃]+电我=4(司+2巧+巧+q)+/(24+3与+邑)
二国+2为)%+(2方]+3&泡+(片+为应+9%其中w产不全为0.
卜7]
5
3
<5>
i\=片(一7为+5%+3%+5%)二%(30+&2+吗-2q)其中当已产不为o.
盘s二上式一*%+6%+%+2%)二%(4弓+2^2-ff3-6s*4)其中热已产不为o.
3).由2).所得4个特征向量纣+2%+巧+%,2纣+应+5,
1234,1234线性无关,可作为V的一组基,在此基下A的矩阵为
(0]
0
1
1°切,而由"3J逅到这组基的过渡阵为
勺
2
3
4、
勺
、
2
3
1
2
0
T=
T-lAT=
1
1
1
-1
1
U
0
-2
,且
0"
例17设与火弓,9是4维线性空间V的一组基,己知线性变换A在此基下的矩阵为
「1021、
-1213
1255
<2-21-2>
1).求A在以下基下的矩阵:
%二号-2司+母弘二3与一三-q为二邑+地久=2%
2).求A的核与值域.
3),在A的核中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求A在此基下的矩阵.
4).在A7中选一组基扩充为V的基,并求A在此基下的矩阵
证明:
1).由基弓,同到%切1%,%的过渡矩阵为
「2
-3
3
2、
2
_4
10
10
B=X-lAX=
3
3
~3
T
8
_16
40
40
3
T
A在%7%44下的矩阵为
3
1
-7
-町
2),VawA」(0),设仪=(入三,与/)
0=Aflf=A%[%沁、%)二%,弓7%)avz47
解此齐次线性方程组得々=-2均一%
所以基础解系为(-4,-3,2,0),(-1,-2,0,1)从而
是A"(0)的一组基,即A"(0)_£(%%).
因dimA/二4-dimA"(0)二八2二2,而A/=±(A%八以八5八线),A弓的坐标列为r的列,且A的前2列线性无关,从而“J线性无关,
即A/二£(A%A》2).
线性无关,即J巧,弓,”是V的一组基,此基由A"(Q)的一组基扩充而成,其中Q为由”,火弓7q到%%%%的过渡阵.A在目品乌乌F的矩阵为
(其中后两列是0因为A"(°)中元被A作用后在任何基下的坐标均为(0,0,0,0)9
线性无关,是V的一组基,由A/的基扩充而成,由%%,弓到%,%,的过渡阵为
P,A在此基下的矩阵为
「5221、
93
1-1-2
=22
0000
1°°°°1(后两行为0因为任一向量被A作用后都在
A,中,由A子A邑线性表出).
例18设1二A,B、B,证明:
1).A与B有相同的值域当且仅当AB=B,BA=A.
2).A与B有相同的核当且仅当AB=A,BA=B.
证明:
1).“=>”:
匕BfeA匕故存在不七匕B4二A不,于是
“<=":
VeK,Af=BA^c~BV即A/qB/,同理
BrcAT,故A展B/。
2),■gw-B/nE+,即BC—B幻=0,E—BgwE-】0)=A-i(0)
故A0一Be)=。
A4-ABe=0,A4=AB。
A二AB同理B=BA
.V^GA-1(0),5=^-Af,
右.鼻-BA10,火⑼c
同理A"®c川⑼,故A"(0)=B-\0).
例19设A是有限维线性空间v的线性变换,W是V的子空间,A印表示由w中向量的像组成的子空间,证明:
dim(A城)+dim(A"(0)C犷)=dimW
分析:
定理11dim(A,)+dim(A“(°))=dimV的证明中,取八「(0)的基,扩充为V的基.
证明:
取a"(°)C犷1犷的一组基",…,与,将它扩充为w的一组基
7加卜…74H=L(进7…了J,加卜…7%)
由于A%=…==故
Aw=l(A%]AJ,AJ+i?
-,A%)=l(AJ+il[A4)
若有上丫4A%】+•••+44%二0
即A(O,1+…+4%)=a%+…+踪%WA-1(0)nW
存在与,…区使得向+i+…+鼠%上%+…+为5
故有方1二…二总二峪J=…二&=0
即Aj+1,…,A%线性无关,dimA聆m-r=dimW-dim(A“(°)C犷)
附注:
dim(A/)+dim(A"(O))=dimV是对V而言的,对子空间的值域和核也一样。
例20设A,B为n维线性空间V的线性变换,证明:
AE的秩之A的秩+B的秩-n.
分析:
chap4补10.(p209)r(AB)>r(A)+r(B)-n,设法将变换的秩与相应矩阵的秩对应.
证法一:
设A,B在基生…,%下的矩阵分别为a,b,则AB的秩二r(AB),A的秩二「(A),B的秩二r(B).由chap4.补10,r(AB)之r(A)+r(B)-n,得证.
证法二:
注意到A的秩二dimA,,可用定理11.
由定理11和补9,秩(AB)二dimAB6二dimB,-dim(A)
而A-1(0)nBFcA-1(0),dim(A」(0)nBF)Mdim姬(0)
故秩(AB)之dimB,-dimA"(0)二秩B-(n-秩A)=r(A)+r(B)-n.
例21设Ae,w是a-子空间,若A可逆,证明:
W也是a"一子空间.
注7.8.1在证A沙二w时,有人认为A可逆,从而是一一对应,故既单
(A"(0)={0},A"(0)C取={0})又满(U奴郎石”郎,A好外,从而
A取二印0A"印二W,不必考虑有限维,这是错误的:
A在/一/间一一对应,不是在印今印间对应.
反例:
V=P[x]=L(l,x,xs,x3,...),W={f(x3)x5f(x)Hx]}=l(x)x:
x3,...)
显然A可逆(因是一一对应),八%二上(/,/,/,・••)GW
但仁郎,如A-1W):
登印
另A在少♦印间单,dimW有限,因而A在乎今印间满.
例22.设V是复数域上n维线性空间,f£(门,AB=BA,证明:
1).如果%是A的一个特征值,那麽匕0是E的不变子空间;
2).至少有一个公共特征向量.
证明:
1).%是A—子空间,AB二BA,故,切丘匕。
使得
所以
2).因为v是c上的线性空间,A至少有一个特征值,设为为A的特征值,由D,%为B一子空间.令切%,则即%有特征值,设为%,则存在0=^^使
得Af=44,故f为4B的公共特征向量.
注7.8.2此题可推广到两两交换的任意个线性变换在V中有公共特征向量.
例23设
证明:
1).w是A-子空间,&W阴,则聆V;
2).⑹"嫡是A—子空间,则阴;
3).♦/是A-子空间,%+%,则跖=@或购=⑼.
1N
1
•»
*
证明:
1).由题意,A(5…©)=(%…氏)11刈
若纣w阴,w为A—子空间,有,二A&1-4号目即
2).加。
Je印,令f+…+《J.则
故=片4+…+心-品&W
又由AfiW印得«二方卢3+…+%-2J己娘
如此继续,媪二方遇+i+…+E-遇己取了=2,3...
设片,…?
心中第一个非零的为I,则晟f二屁弓金取,得J丘郎.
3).若八所:
购尸产”但"跖八修,矛盾.
例24办£°”二三可逆的丁,丁-9T为上三角阵.
分析:
A与Jordan矩阵相似,而若当形是下三角阵,考虑转置.
证明:
存在可逆丁,丁-9丁为若当形矩阵,故(7-9『)'二『NX)"是上三角阵,即A相似于一个上三角阵