完整版三角函数的图像和性质题型归纳总结可编辑修改word版.docx

1、完整版三角函数的图像和性质题型归纳总结可编辑修改word版三角函数的图像与性质题型归纳总结题型归纳及思路提示题型 1 已知函数解析式确定函数性质【思路提示】一般所给函数为 yA sin( x)或 yA cos( x)，A0,0,要根据ysin x，ycos x 的整体性质求解。一、函数的奇偶性例 1 f(x)sin (x + ) （0 0，则f (x)是偶函数的充要条件是（ ）A. f (0) = 1B f (0) = 0C f (0) = 1D f (0) = 0例2.设f (x) = sin(2x - R)，则f (x)是( )2A.最小正周期为 的奇函数B.最小正周期为 的偶函数pC.最

2、小正周期为 的奇函数2 最小正周期为 的偶函数2变式1. 若f (x) = sin2 x -1(x R)，则f (x)是( )A. 最小正周期为 的奇函数 B 最小正周期为 的偶函数C 最小正周期为2 的奇函数 D 最小正周期为2 的偶函数变式2.下列函数中，既在 递增，又是以 为周期的偶函数的是( )A.y = cos 2x(0, )2B.y =| sin 2x |C.y =| cos 2x |D.y =| sin x |二、函数的周期性例3.函数y = sin(2x + p)的最小正周期为( )A.p2B.p46 6C.2 D.p【评注】关于三角函数周期的几个重要结论：( 1) 函数y =

3、 Asin( x + ) + b, y = A cos( x + ) + b, y = A tan( x + ) + b的周期分别为 2 , 2 , .| | | | | | ( 2) 函数y =| Asin( x + ) |, y =| A cos( x + ) |, y =| A tan( x + ) |的周期均为 .| | ( 3) 函数y =| Asin( x + ) + b | (b 0), y =| A cos( x + ) + b | (b 0)的周期均为 2 .| |变式1.函数y = sin(2x + + cos(2x + 的最小正周期和最大值分别为( )A. ,1B ,)

4、)6 3C 2 ,1D 2 ,变式2. 若f (x) = sin x(sin x - cos x),则f (x)的最小正周期是 .变式3. 若f (x) = sin 3x+ | sin 3x | 则f (x)是( )A. 2 最小正周期为 的周期函数3C 最小正周期为2 的周期函数B 最小正周期为D 非周期函数的周期函数3三、函数的单调性例4.函数y = sin( - 2x)(x 0, )的递增区间是( )A.p6 7 5 5 0, 3B , 12 12C , 3 6D , 6【评注】求三角函数的单调区间：若函数y = Asin( x + )( A 0, 0)则 ( 1) 函数的递增区间由2k

5、 - x + 2k + Z )决定；2 2 ( 2) 函数的递减区间由2k + x + 2k + 3 Z )决定；2 2(3)若函数y = Asin( x + )中A 0, 0)在 ) 上单调递增，则 的取值范围是（ ）1 5A. , 2 41 3 , 2 44 21(0, 2D (0, 2变式3.已知函数f (x) =3 sin x + cos( x + + cos( x - 0) )(3 3(1)求f (x)的值域；(2)若f (x)的最小正周期为 0, ，f (x)的单调递减区间.2 2四、函数的对称性（对称轴、对称中心）例5.函数y = sin(2x + 图象的对称轴方程可能是( )A

6、.x = - 63B.x = - 12C.x = 6D.x = 12【评注】关于三角函数对称性的几个重要结论： ( 1) 函数y = sin x的对称轴为x = k + Z ), 对称中心(k , 0)(k Z );2 ( 2) 函数y = cos x的对称轴为x = k (k Z ), 对称中心(k + Z );2 ( 3) 函数y = tan x无对称轴，对称中心( k Z );2 k + - ( 4) 函数y = Asin( x + ) + b的对称轴的求法：令 x + = k +(k Z ), 得x= 2 (k Z ); 2 对称中心的求法: 令 x + = k (k Z )得x= k

7、 - Z ), 对称中心为( k - Z )； (k , b)(k( 5) 函数y = A cos( x + ) + b的对称轴的求法：令 x + = k (k Z ), 得x= k - Z ); k + - (kk + - 对称中心的求法: 令 x + = k +(k Z )得x= 2 (k Z ), 对称中心为( 2 , b)(k Z )2 变式1.已知函数y = sin( x + 0)的最小正周期为 ，则f (x)的图象( )(3A. 关于点 对称3C 关于点 对称B 关于直线x = 4D 关于直线x = ( , 0) 对称4 3变式2.函数y = sin(x - 的图象的一个对称中心是

8、( )A. (- , 0)4B (- 3 43 , 0)4 D ( , 0) 2变式3.函数f (x) = sin 2x + cos 2x 的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是 .5 5变式4.若函数y = sin x -a的最小值是( )3 cos x的图象向右平移a个单位（a 0）后的图象关于y轴对称，则A.7 6B.p2C.p6D.p3五、三角函数性质的综合【思路提示】三角函数的性质（奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，对称性尤为重要；（1）对称性 奇偶性：若函数f (x)的图象关于y轴对称，则f (x)是偶函数； 若函数f (x)的图象关于原点对称，则f (x)是奇函数；(2)对称性T

9、 T周期性：相邻两条对称轴之间的距离为 ；相邻两个对称中心的距离为2 2T相邻的对称中心与对称轴之间的距离为 ；4(3)对称性 单调性：在相邻的对称轴之间，函数f (x)单调；特殊的，若f (x) = Asin( x), A 0， 0函数f (x)在 1 , 2 上单调，且0 1 , 2 设 = max| |, ，则T 。1 2 4例6.设f (x) = a sin 2x + b cos 2x, ab 0, 若f (x) f ( ) 6对任x R成立,则11 (1) f ( ) = 0;(2)12f ( 7 10 f ( ) ; (3) f (x)不具奇偶性；5( 4) f (x)的单调递增区

10、间是k + + 2 Z )；, k (k6 3(5)存在经过点(a, b)的直线与函数f (x)的图象不相交.以上结论中正确的是 .例7.已知函数f (x) = 4 cos( x - x - cos(2 x + )( 0)6 (1)求f (x)的值域；(2)若f (x)在区间- 3 为增函数，求 的最大值.2 2变式1.已知函数f (x) = 2 sin x( 0), 若f (x)在- 2 上递增，求 的取值范围., 4 3例8.若f (x) = sin( x + = 且在 上有最小值无最大值，则 = .3 6 3 6 3题型 2 根据条件确定解析式方向一：“知图求式”，即已知三角函数的部分图

11、象，求函数解析式。【思路提示】由图象求得yA sin( x) (A0，0)的解析式一般不唯一，只有限定 的取值范围，才能得到唯一解。依据五点法原理，点的序号与式子的关系是：第一点（即图象上升时与横轴的交点）为 x + = 0 ，第二点（即图象最高点）为 x + = ，第三点（即图象下降时2与横轴的交点）为 x + = ，第四点（即图象最低点）为 x + = 3 ，第五点（即图2象上升时与横轴的交点）为 x + = 2 . 。例9.函数f (x) = Asin(2x + )( A, R)部分图象如下图所示，则f (0) =（ ）A.- 12B.-1C.- 3 D2变式1.函数f (x) = As

12、in( x + )( A 0, 0)部分图象如下图所示，则f (0) = .变式2.f (x) = A cos( x + )部分图象如下图所示， = - 2 , 则f (0) = .f ( ) 2 3例10.已知函数f (x) = Asin( x + )( A 0, 0,| | 0, 0 0, 0 图象的相邻两条对称轴的距离为 2 3且经过点( 0, 2) ，求函数f (x)的解析式。题型 3：函数的值域（最值）【思路提示】求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理：(1)y = a sin x + b = at + b, sin x = t -

13、1,1;(2)y = a sin x + b cos x + c =sin(x + ) + c, tan = b ;a(3)y = a sin2 x + b sin x + c = at 2 + bt + c, sin x = t -1,1;y = a cos2 x + b sin x + c = -at 2 + bt + (a + c), sin x = t -1,1;y = a cos 2x + b sin x + c = -2at 2 + bt + (a + c), sin x = t -1,1;t 2 -1(4)y = a cos x sin x + b(sin x + cos x)

14、+ c = a21- t 2+bt + (a + c), sin x + cos x = t -2, 2;y = a cos x sin x + b(sin x - cos x) + c = a2+bt + (a + c), sin x - cos x = t -2, 2;(5)y = a sin x + b 与y = a sin x + b 根据正、余弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可 csin x + d ccos x + d用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值，但都必须要注意sin x、cos x的范围。例12.函数f (x) = sin x cos x的最小值是( )A. -

15、1 B. - 1 C. 1 D.12 2变式1.函数f (x) = sin x - cos(x + 的值域为（ ）A.-2, 2B.-3, 33C.-1,1D.-3 , 3 2 2变式2.函数f (x) = sin2 x +3 sin x cos x在区间- 上的最大值为（ ） A.1B.1+ 3C. 3, 4 2D.1+2 2例13.函数f (x) = 4 sin(x + + - x)的最大值为（ ）) 3sin(3 6A.7B.2 + 3 2C.5D.4变式1.求函数f (x) = cos(x + 2 + 2 cos2 x 的值域.3 2变式2.求函数f (x) = cos(2x - +

16、2 sin(x + - - 的值域.3 4 4 12 2例14.求函数f (x) = 2 cos 2x + sin2 x - 4 cos x的最值.变式1.求函数f (x) = cos2 x + sin x(| x | 的最小值.4变式2.求函数f (x) = sin2 x + a cos x + 5 a - 3 (0 x 的最大值.8 2 2变式3.若sin2 x + cos x + a = 0有实数解，试确定a的取值范围.变式4.若关于x的方程cos2 x - sin x + a = 0在(0, 上有解，则a的取值范围是（ ）2A.(-, - 5 B.(-1,1 C.-1,1 D.(- 5

17、1, 4 4变式5.若关于x的不等式cos2 x - sin x + a 0在(0, 上恒成立，求a的取值范围.2例15.对于函数f (x) = sin x +1 (0 x )，下列结论中正确的是( )sin xA.有最大值无最小值B.有最小值无最大值C.有最大值和最小值D.无最值变式1.求函数y =3 cos x 的值域.2 + sin x变式2.若 x 0)的图象.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)x变为原来的1y = sin x 向左平移 个单位 y = sin(x + ) y = sin( x + ) y变为原来的A倍y = Asin( x + ) 向上平移b个单位 y = As

18、in( x + ) + b；途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。x变为原来的1 y = sin x sin x 向左平移个单位 y = sin( x + ) y变为原来的A倍y = Asin( x + ) 向上平移b个单位 y = Asin( x + ) + b.平移口诀：左加右减，上加下减（不要管 、 、b的正负, 注意先弄清楚由谁平移到谁）。例 16.把函数 ycos2x1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图像是（ ）变式1.为得到函数y = cos(2x + 的图象，只需将函数y = sin

19、2x的图象（ ）A.向左平移5 3B.向右平移5 12 12C.向左平移5 D.向右平移5 6 6变式2.已知f (x) = sin(x + = cos(x - 则f (x)的图象（ ）2 2A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y轴对称C.是由g(x)的图象向左平移 2D.是由g(x)的图象向右平移 2例17.函数f (x) = 1 sin 2x sin + cos2 x cos - 1 + )(0 0) ，函数 f ( x) =m n 的最大值 为 6，（1）求 A（2）将函数 y=f ( x) 的图像向左平移 个单位，再将所得图像上各点的横121 5 坐标缩短为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g ( x) 的图像，求 g ( x) 在 0, 24 上的值域.