完整版三角函数的图像和性质题型归纳总结可编辑修改word版.docx
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完整版三角函数的图像和性质题型归纳总结可编辑修改word版
三角函数的图像与性质题型归纳总结
题型归纳及思路提示
题型1已知函数解析式确定函数性质
【思路提示】一般所给函数为y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ），A>0,ω>0,要根据y＝sinx，y＝cosx的整体性质求解。
一、函数的奇偶性
例1f（x）＝sin（x+）（0≤<）是R上的偶函数，则等于（）
A.0B．
4
C．
2
D．
【评注】由y=sinx是奇函数，y=cosx是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要
结论：
（1）若y=Asin（x+）是奇函数，则=k（k∈Z）;
（2）若y=Asin（x+）是偶函数，则=k
∈Z）;
+（k
2
（3）若y=Acos（x+）是奇函数，则=k+
∈Z）;
2
（4）若y=Acos（x+）是偶函数，则=k（k∈Z）;
（5）若y=Atan（x+）是奇函数，则=k∈Z）.
2
变式1.已知a∈R，函数f（x）=sinx-|a|为奇函数，则a等于（）
A.0B．1C．-1D．±1
变式2.设∈R，则“
=0”是“
f（x）=cos（x+）（x∈R）为偶函数”的（）
A充分不必要条件B．必要不充分条C．充要条件D．无关条件
变式3.设f（x）=sin（x+），其中>0，则f（x）是偶函数的充要条件是（）
A.f（0）=1
B．f（0）=0
C．f'（0）=1
D．f'（0）=0
例2.设f（x）=sin（2x-∈R），则f（x）是（）
2
A.最小正周期为的奇函数
B.最小正周期为的偶函数
p
C.最小正周期为的奇函数
2
最小正周期为的偶函数
2
变式1.若f（x）=sin2x-1（x∈R），则f（x）是（）
A.最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为2的奇函数D．最小正周期为2的偶函数
变式2.下列函数中，既在
递增，又是以为周期的偶函数的是（）
A.y=cos2x
（0,）
2
B.y=|sin2x|
C.y=|cos2x|
D.y=|sinx|
二、函数的周期性
例3.函数y=sin（2x+
p
）的最小正周期为（）
A.p
2
B.
p
4
66
C.2
D.p
【评注】关于三角函数周期的几个重要结论：
（1）函数y=Asin（x+）+b,y=Acos（x+）+b,y=Atan（x+）+b
的周期分别为2,2,.
||||||
（2）函数y=|Asin（x+）|,y=|Acos（x+）|,y=|Atan（x+）|的周期均为.
||
（3）函数y=|Asin（x+）+b|（b≠0）,y=|Acos（x+）+b|（b≠0）的周期均为2.
||
变式1.函数y=sin（2x++cos（2x+的最小正周期和最大值分别为（）
A.,1
B．,
））
63
C．2,1
D．2,
变式2.若f（x）=sinx（sinx-cosx）,则f（x）的最小正周期是.
变式3.若f（x）=sin3x+|sin3x|则f（x）是（）
A.2
最小正周期为的周期函数
3
C．最小正周期为2的周期函数
B．最小正周期为
D．非周期函数
的周期函数
3
三、函数的单调性
例4.函数y=
sin（-2x）（x∈[0,]）的递增区间是（）
A.p
6
7
55
[0,]
3
B．[,]
1212
C．[,]
36
D．[,]
6
【评注】求三角函数的单调区间：
若函数y=Asin（x+）（A>0,>0）则
（1）函数的递增区间由2k-≤x+≤2k+
∈Z）决定；
22
（2）函数的递减区间由2k+≤x+≤2k+3∈Z）决定；
22
（3）若函数y=Asin（x+）中A>0,<0，可将函数变为y=-Asin（-x-）则y=Asin（-x-）的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间（4）对于函数y=Acos（x+）和y=Atan（x+）单调性的讨论同上。
变式1.函数y=sinx+f（x）在[-3
44
内单调递增，则f（x）可以是（）
A.1
B.
cosx
C.
sinx
D.
-cosx
变式2.若f（x）=sin（x+>0）在）上单调递增，则的取值范围是（）
15
A.[,]
24
13
[,]
24
42
1
（0,]
2
D．（0,2]
变式3.已知函数f（x）=
3sinx+cos（x++cos（x->0）
））（
33
（1）
求f（x）的值域；
（2）若f（x）的最小正周期为∈[0,，f（x）的单调递减区间.
]
22
四、函数的对称性（对称轴、对称中心）
例5.函数y=sin（2x+图象的对称轴方程可能是（）
A.x=-
6
3
B.x=-
12
C.
x=
6
D.
x=
12
【评注】关于三角函数对称性的几个重要结论：
（1）函数y=sinx的对称轴为x=k+∈Z）,对称中心（k,0）（k∈Z）;
2
（2）函数y=cosx的对称轴为x=k（k∈Z）,对称中心（k+
∈Z）;
2
（3）函数y=tanx无对称轴，对称中心（k∈Z）;
2
k+-
（4）函数y=Asin（x+）+b的对称轴的求法：
令x+=k+
（k∈Z）,得x=2（k∈Z）;2
对称中心的求法:
令x+=k（k∈Z）得x=k-∈Z）,对称中心为（k-
∈Z）；
（k,b）（k
（5）函数y=Acos（x+）+b的对称轴的求法：
令x+=k（k∈Z）,得x=k-
∈Z）;
k+-
（k
k+-
对称中心的求法:
令x+=k+
（k∈Z）得x=2（k∈Z）,对称中心为（2,b）（k∈Z）
2
变式1.已知函数y=sin（x+>0）的最小正周期为，则f（x）的图象（）
）（
3
A.关于点对称
3
C．关于点对称
B．关于直线x=
4
D．关于直线x=
（,0）对称
43
变式2.函数y=sin（x-的图象的一个对称中心是（）
A.（-,0）
4
B．（-3
4
3
0）
4
D．（,0）2
变式3.函数f（x）=sin2x+cos2x的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是.
55
变式4.若函数y=sinx-
a的最小值是（）
3cosx的图象向右平移a个单位（a>0）后的图象关于y轴对称，则
A.76
B.
p
2
C.
p
6
D.
p
3
五、三角函数性质的综合
【思路提示】三角函数的性质（奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，对称性尤为重要；
（1）对称性⇒奇偶性：
若函数f（x）的图象关于y轴对称，则f（x）是偶函数；若函数f（x）的图象关于原点对称，则f（x）是奇函数；
（2）对称性⇒
TT
周期性：
相邻两条对称轴之间的距离为；相邻两个对称中心的距离为
22
T
相邻的对称中心与对称轴之间的距离为；
4
（3）对称性⇒单调性：
在相邻的对称轴之间，函数f（x）单调；
特殊的，若f（x）=Asin（x）,A>0，>0函数f（x）在[1,2]上单调，且0∈[1,2]
设=max{||,}，则T≥。
124
例6.设f（x）=asin2x+bcos2x,ab≠0,若f（x）≤
f（）6
对任x∈R成立,则
11
（1）f（）=0;
（2）
12
f（710
f（）;（3）f（x）不具奇偶性；
5
（4）f（x）的单调递增区间是[k+
+2
∈Z）；
k]（k
63
（5）存在经过点（a,b）的直线与函数f（x）的图象不相交.
以上结论中正确的是.
例7.已知函数f（x）=4cos（x-x-cos（2x+）（>0）
6
（1）求f（x）的值域；
（2）若f（x）在区间[-3为增函数，求的最大值.
22
变式1.已知函数f（x）=2sinx（>0）,若f（x）在[-2上递增，求的取值范围.
]
43
例8.若f（x）=sin（x+>=且在上有最小值无最大值，则=.
36363
题型2根据条件确定解析式
方向一：
“知图求式”，即已知三角函数的部分图象，求函数解析式。
【思路提示】
由图象求得y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得到唯一解。
依据五点法原理，点的序号与式子的关系是：
第一点（即图象上升时与横轴的交点）为x+=0，第二点（即图象最高点）为x+=，第三点（即图象下降时
2
与横轴的交点）为x+=，第四点（即图象最低点）为x+=3，第五点（即图
2
象上升时与横轴的交点）为x+=2.。
例9.函数f（x）=Asin（2x+）（A,∈R）部分图象如下图所示，则f（0）=（）
A.
-1
2
B.
-1
C.
-3D．
2
变式1.函数f（x）=Asin（x+）（A>0,>0）部分图象如下图所示，则f（0）=.
变式2.f（x）=Acos（x+）部分图象如下图所示，=-2,则f（0）=.
f（）
23
例10.已知函数f（x）=Asin（x+）（A>0,>0,||<）部分图象如下图所示，求f（x）的解析式。
变式1.已知f（x）=cos2（x+）（，为常数），如果存在正整数和实数使得函数
f（x）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），求的值.
方向二：
知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值）求函数解析式。
例11.已知函数f（x）=sin（x+）（>0,0≤<）为R上的偶函数，点（3
是其一对称中心，
4
且函数在[0,上单调，求函数f（x）的解析式。
2
变式1.已知函数f（x）=4sin（x+）（>0,0<<图象的相邻两条对称轴的距离为
23
且经过点（0,2），求函数f（x）的解析式。
题型3：
函数的值域（最值）
【思路提示】求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理：
（1）y=asinx+b=at+b,sinx=t∈[-1,1];
（2）
y=asinx+bcosx+c=
sin（x+）+c,tan=b;
a
（3）y=asin2x+bsinx+c=at2+bt+c,sinx=t∈[-1,1];
y=acos2x+bsinx+c=-at2+bt+（a+c）,sinx=t∈[-1,1];
y=acos2x+bsinx+c=-2at2+bt+（a+c）,sinx=t∈[-1,1];
t2-1
（4）
y=acosxsinx+b（sinx+cosx）+c=a
2
1-t2
+
bt+（a+c）,sinx+cosx=t∈[-
2,2];
y=acosxsinx+b（sinx-cosx）+c=a
2
+
bt+（a+c）,sinx-cosx=t∈[-
2,2];
（5）
y=asinx+b与y=asinx+b根据正、余弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可
csinx+dccosx+d
用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值，但都必须要注意sinx、cosx的范围。
例12.函数f（x）=sinxcosx的最小值是（）
A.-1B.-1C.1D.1
22
变式1.函数f（x）=sinx-cos（x+的值域为（）
A.[-2,2]
B.[-
3,3]
3
C.[-1,1]
D.[-
3,3]
22
变式2.函数f（x）=sin2x+
3sinxcosx在区间[-上的最大值为（）
A.1
B.1+3
C.3
]
42
D.1+
22
例13.函数f（x）=4sin（x++-x）的最大值为（）
）3sin（
36
A.7
B.2+32
C.5
D.4
变式1.求函数f（x）=cos（x+2+2cos2x的值域.
32
变式2.求函数f（x）=cos（2x-+2sin（x+-∈[-
的值域.
344122
例14.求函数f（x）=2cos2x+sin2x-4cosx的最值.
变式1.求函数f（x）=cos2x+sinx（|x|≤
的最小值.
4
变式2.求函数f（x）=sin2x+acosx+5a-3（0≤x≤
的最大值.
822
变式3.若sin2x+cosx+a=0有实数解，试确定a的取值范围.
变式4.若关于x的方程cos2x-sinx+a=0在（0,
上有解，则a的取值范围是（）
2
A.（-∞,-5]B.（-1,1]C.[-1,1]D.（-5
1,]
44
变式5.若关于x的不等式cos2x-sinx+a≥0在（0,
上恒成立，求a的取值范围.
2
例15.对于函数f（x）=sinx+1（0sinx
A.有最大值无最小值
B.
有最小值无最大值
C.
有最大值和最小值
D.
无最值
变式1.求函数y=
3cosx的值域.
2+sinx
变式2.若y=tan2xtan3x的最大值.
42
题型4：
三角函数图象变换
【思路提示】
由函数y=sinx的图象变换为函数y=Asin（x+）+b（A,>0）的图象.
途径一：
先平移变换再周期变换（伸缩变换）
x变为原来的1
y=sinx−向−左平−移−个单−位−→y=sin（x+）−−−−−→y=sin（x+）−y−变为−原来−的A−倍→
y=Asin（x+）−向−上平−移−b个单−位−→y=Asin（x+）+b；
途径二：
先周期变换（伸缩变换）再平移变换。
x变为原来的1
y=sinx−−−−−→sinx−向−左平−移−个−单位−→y=sin（x+）−y−变为−原来−的A−倍→
y=Asin（x+）−向−上平−移−b个单−位−→y=Asin（x+）+b.
平移口诀：
左加右减，上加下减（不要管、、b的正负,注意先弄清楚由谁平移到谁）。
例16.把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是（）
变式1.为得到函数y=cos（2x+
的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）
A.
向左平移5
3
B.向右平移5
1212
C.
向左平移5D.向右平移5
66
变式2.已知f（x）=sin（x+=cos（x-
则f（x）的图象（）
22
A.与g（x）的图象相同
B.与g（x）的图象关于y轴对称
C.
是由g（x）的图象向左平移
2
D.
是由g（x）的图象向右平移
2
例17.函数f（x）=1sin2xsin+cos2xcos-1+）（0<<1
（1）求的值;
（2）将f（x）
22262
1
y=g（x）的图象，
的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数
2
求函数g（x）在上的最大值和最小值.
[0,]
4
变式1.已知向量⎛A⎫
m=（sinx,1）,n=ç3Acosx,2cos2x⎪（A>0），函数f（x）=mn的最大值
⎝⎭
为6，
（1）求A
（2）将函数y=f（x）的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横
12
1⎡5⎤
坐标缩短为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图像，求g（x）在⎢⎣0,24⎥⎦上的值域.
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