初二数学第四讲相交线与平行线教案.docx

1、初二数学第四讲相交线与平行线教案第04讲相交线与平行线适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域全国-人教版课时时长（分钟）120分钟知识点1.相交线2.对顶角、邻补角3.垂线段最短4.点到直线的距离5.同位角、内错角、同旁内角6.平行线7.平行公理及推论8.平行线之间的距离9.两直线平行的判定与性质教学目标1.了解补角、余角、对顶角，知道等角（同角）的余角相等、等角（同角）的补角相等、对顶角相等；2.了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，理解点到直线的距离的意义；3.知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线；知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线；理解两条平行线之间距离的意义

2、，会度量两条平行线之间的距离;4.会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线；会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；掌握平行线的性质与判定教学重点1.利用垂直公理、平行公理及推论、平行线的性质及判定进行简单的推理2.正确理解并掌握基本概念，会写推理的过程，善于归纳总结3.平行线的性质和判定4.平行线之间的距离处处相等的应用教学难点1.识别同位角、内错角、同旁内角2.平行线的性质与判定3.利用垂线段最短的性质作图教学过程一、复习预习 同学们都看过奥运会吧，你能看出下面的图片中蕴含着哪些我们学过的知识么？ 容易看出第一行的图片让人想到垂直，而第二行的图片让人想到平行。即使我们不懂这些体

3、育运动评分的标准，我们也能从运动员身体的形态、位置获得美感。在生活中，若我们能多用数学眼光去观察，会发现数学无处不在，它处处给人带来美的享受。二、知识讲解1.邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角1与2有公共顶点1的两边与2的两边互为反向延长线对顶角相等即1=2邻补角3与4有公共顶点3与4有一条边公共，另一边互为反向延长线。3+4=1802.“三线八角”的识别： 平面内，两条直线被第三条直线所截，将平面分成了六个部分，形成八个角，其中有：4对同位角，2对内错角和2对同旁内角。 正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同要抓

4、住位于截线同旁，被截两线的同方向（“同旁”和“同向”）F型；内错角位于截线两侧，被截两线之间要抓住（“内部”和“两旁”）Z型；同旁内角要抓住位于截线同旁，被截两线之间（“内部”和“同旁”）U型.3.垂线及其性质：（1）定义：两条直线相交，夹角为90时，这两条直线的位置关系称为垂直，这两条线互为对方的“垂线”，它们的交点称为“垂足”；根据定义判断两直线是否垂直时，只需要判断其夹角是不是90。（2）垂线的性质： 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（其它的线段称为“斜线段”）。（3）距离 点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，称

5、为点到直线的距离； 平行线之间的距离：作平行线的垂线，垂线段的长度，称为平行线之间的距离。4平行线及平行线的判定、性质：（1）平行公理及其推论： 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； 平行于同一条直线的两条直线互相平行。（2）平行线的判定及性质：平行线的判定平行线的性质1、 同位角相等，两直线平行2、 内错角相等，两直线平行3、 同旁内角互补，两直线平行4、 平行于同一条直线的两直线平行5、 垂直于同一条直线的两直线平行1、两直线平行，同位角相等2、两直线平行，内错角相等3、两直线平行，同旁内角互补4、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 基本几何模型：例如，ABCD，A

6、BE=DCF，求证：BECF（1）如图1：拐角处巧添平行线（拐角+平行线）（2）如图2：寻找“中介角”, 把已知角联系起来.5平移及其性质：（1）平移的条件：平移的方向；移动的距离（2）平移的性质： 平移变换只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小； 平移变换中，连结各组对应点的线段平行（或共线）且相等。6设计作图：（1）利用垂线段最短作图；（2）利用平行线之间距离处处相等作图（等积变换作图）： 基本图形：考点/易错点1 1.对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；如果与是对顶角，那么一定有=；反之如果=，那么与不一定是对顶角。 易错点：对顶角都是成对出现的，单独的角不能构成对顶

7、角；两条直线相交构成两对对顶角；对顶角只有公共顶点、没有公共边，它们的两边互为反向延长线。 2.如果与互为邻补角，则一定有+=180；反之如果+=180，则与不一定是邻补角。 易错点：邻补角有一条公共边，另一边互为反向延长线；邻补角补角；两相交直线可以形成四对邻补角。考点/易错点2 1.同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，都是平行线特有的性质，切不可忽略前提条件：“两直线平行”。当两直线不平行时，同位角、内错角就不相等，同旁内角不互补。 2.只要两条直线被第三条直线所截，都存在同位角、内错角，但不一定相等，同旁内角不一定互补。 3.证明两直线平行时，必须弄清所用条件中的同位角、内错角、同旁内

8、角是哪两条直线被哪一条直线所截而成的，因为推出的结论是除截线外的另两条直线平行.考点/易错点3“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”的联系与区别：1.线与垂线段 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。 联系：具有垂直于已知直线的共同特征，且都是图形。(垂直的性质)2.点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。 联系：都是线段的长度，是数量；点到直线的距离是已知点与垂足间距离。3.线段与距离：距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。三、例题精析【例题1】【题干】有下列命题：两条直线

9、被第三条直线所截，同位角相等；两点之间，线段最短；相等的角是对顶角；两个锐角的和是锐角；同角或等角的补角相等正确命题的个数是（）A2个B3个C4个D5个【答案】A忽略了两条直线必须是平行线；不应忽略相等的两个角的两条边必须互为反向延长线，才是对顶角；举一反例即可证明是错的：80+60=170，170显然不是锐角，故是错的是公理故正确；根据补角定义如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角，同角的补角相等比如：A+B=180，A+C=180，则C=B等角的补角相等比如：A+B=180，D+C=180，A=D，则C=B是正确的【解析】此题考查的知识点多，用平行线

10、的性质，对顶角性质，补角的定义等来一一验证【变式1】如图所示，指出下列各组角是由哪两条直线被哪一条直线所截得的，并说出它们是什么角？1和2；2和6；6和A；3和5；3和4；4和7【答案】1和2是直线ED和直线BD被直线AB所截所产生的同位角；2和6是直线AB和直线AC被直线BD所截所产生的内错角；6和A是直线AB和直线BD被直线AC所截所产生的同位角；3和5是直线ED和直线CD被直线EC所截所产生的同旁内角；3和4是直线ED和直线BC黑直线EC所截产生的内错角；4和7是直线BE和直线BC被直线EC所截产生的同旁内角【解析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两

11、边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形【变式2】已知直线AB、CD相交于O，OEAB，垂足为O，OF平分AOC，AOF：AOD=5：26，求EOC【答案】解：OF平分AOC，AOF=COF，AOF：AOD=5：26，设AOF=5x，则AOD=26x，FOC=5x，5x+5x+26x=36x=180，解得：x=5，AOF=COF=25，EOC=EOA+AOC=90+50=140【解析】根据已知得出AOF=COF的度数是解题关键【例题2】【题干】点A

12、到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，线段AB的长度为（）A10cmB4cmC10cm或4cmD至少4cm【答案】D从点A作直线l的垂线，垂足为C点，当A、B、C三点共线时，线段AB的长为73=4cm，其它情况下大于4cm。【解析】此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短【变式1】下列四个说法：两点之间，直线最短；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；连接两点的线段，叫做两点的距离；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离其中正确的是（）ABCD【答案】D。两点之间，直线最短，说法错误，应是线段最短；直线外一点与直线上各点连接

13、的所有线段中，垂线段最短，说法正确；连接两点的线段，叫做两点的距离，说法错误，应是连接两点的线段的长度，叫做两点的距离；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，说法正确【解析】此题主要考查了点到直线的距离和两点间距离的概念【变式2】如图，ADBD，BCCD，AB=5cm，BC=3cm，则BD的长度的取值范围是（）A大于3cmB小于5cmC大于3cm或小于5cmD大于3cm且小于5cm【答案】DADBD，BCCD，AB=5cm，BC=3cm，BCBDAB，即BD的长度的取值范围是大于3cm且小于5cm【解析】此题要熟练掌握垂线段最短的性质【例题3】【题干】如图，ABCD，P为AB

14、、CD之间的一点，已知132，225，求BPC的度数.【答案】解法1：过P作射线PNAB.ABCD，PNCD，4225.PNAB，3132.BPC34322557.解法2：过P作射线PMAB.ABCD，PMCD.6180218025155.ABPM，5180118032148，BPC3605636014815557.解法3：过C作CEBP交AB的延长线于点E.1E，BPC1807.ABCD，E27180，7180121803225123，BPC180718012357.解法4：可过B作PC的平行线（请同学们自己写出证明过程，方法同解法3）.【解析】此图不是我们所学过的“三线八角”基本图，需适当

15、添加辅助线，构造成我们所熟知的基本图形解题。【变式1】如图，已知B25，BCD45，CDE30，E10，试说明ABEF的理由.【答案】解法1：如图，在BCD的内部作BCM25，在CDE的内部作EDN10.B25，E10，BBCM，EEDN. ABCM，EFDN.又BCD45，CDE30，DCM20，CDN20. DCMCDN. CMDN. ABCM，EFDN，ABEF.解法2：如图，分别向两方延长线段CD交EF于点M，交AB于点N. BCD45，NCB135. B25，CNB180NCBB20. 又CDE30，EDM150. 又E10，EMD180EDME20. CNBEMD. ABEF. 【

16、解析】本题图中找出能直接判定ABEF的角很困难，我们可以通过做辅助线入手，找到使直线平行的角，使问题转化到“三线八角”.【变式2】如图，已知ABCD，探讨下面四个图形中，APC，PAB与PCD的关系【答案】（1）图1：APC=PAB+PCD理由：过点P作PEAB，ABCD，ABPECD，1=A，2=C，APC=1+2=PAB+PCD，即APC=PAB+PCD；（2）图2：APC+PAB+PCD=360理由：过点P作PEABABCD，ABPECD，A+1=180，2+C=180，A+1+2+C=360APC+PAB+PCD=360（3）图3：APC=PCDPAB理由：延长DC交AP于点EABCD

17、，1=PAB；又PCD=1+APC，APC=PCDPAB；（4）图4：PAB=APC+PCD理由：ABCD，1=PAB；又1=APC+PCD，PAB=APC+PCD【解析】解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等定理的应用与辅助线的作法【例题4】【题干】学习平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）（4），从图中可知，小敏画平行线的依据有（）两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行ABCD【答案】C由作图过程可知，1=2，为内错

18、角相等；1=4，为同位角相等；可知小敏画平行线的依据有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行【解析】理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，故过点P所折折痕与虚线垂直【变式1】将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开，如果1=56，那么2等于（）A56B68C62D66【答案】B根据题意知：折叠所重合的两个角相等再根据两条直线平行，同旁内角互补，得：21+2=180，解得2=18021=68【解析】此类折叠题，所重合的两个角相等，根据平行线的性质得到1和2的关系【变式2】将ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A，若C=120，A=26，则ADB的度数为【答案】C=120，A=

19、26，B=180-（A+C）=34，又DEBC，ADE=B=34，根据折叠的性质可得ADE=ADE，ADE=ADE=B=34，ADB=180-ADE-ADE=112【解析】利用三角形的内角和为180求出B，从而根据平行线的性质可得ADE=B，再由折叠的性质得出ADE=ADE，利用平角的知识可求出ADB的度数。【例题5】【题干】（2013钦州）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A2B3C4D5【答案】C到直线l1的距离是1的点在与直线l1

20、平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，“距离坐标”是（1，2）的点是M1、M2、M3、M4，一共4个【解析】理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键【变式1】直线a、b、c是三条平行直线已知a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离为（）A2cmB3cmC7cmD3cm或7cm【答案】D如图，直线c在a、b外时，a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，a与c的距离为5+2=7cm，直线c在直线a、b之间时，a与b的距离为5cm，b与

21、c的距离为2cm，a与c的距离为52=3cm，综上所述，a与c的距离为3cm或7cm【解析】因为直线c的位置不明确，所以分直线c在直线a、b外，直线c在直线a、b之间两种情况讨论求解【变式2】如图，ABC，EFG，四边形ACEG的面积相等，并有AEGD，BC：EC=3：1由此可知DE：CE：BE=【答案】连接AD，AEGD，SEGD=SAGD（同底等高），SAOG=SEOD，SACD=SAEDG，SADE=SEGF，又SABC=SEFG=SACEG，C，D是三等分点，BC：EC=3：1，DE：CE：BE=2：1：4【解析】连接AD，用平行线转换，这三块面积恰好是AC、AD三等分的面积，即C、D

22、是三等分点，从而可求出比值关系。【例题6】【题干】如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，空白的部分种上各种花草（1）请利用平移的知识求出种花草的面积（2）若空白的部分种植花草共花费了4620元，则每平方米种植花草的费用是多少元？【答案】解：（1）（82）（81）=67=42（米2），答：种花草的面积为42米2（2）462042=110（元），答：每平方米种植花草的费用是110元【解析】解决此题关键是要利用平移的知识，把要求的所有道路平移到矩形的边上进行计算【变式1】如图所示，已知，BCOA，B=A=100，试回答下列问题：（1）试说明：OBAC；（2）如图，若点E、

23、F在BC上，且FOC=AOC，OE平分BOF求EOC的度数；（3）在（2）的条件下，若左右平行移动AC，如图，那么OCB：OFB的比值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；（4）在（3）的条件下，当OEB=OCA时，试求OCA的度数【答案】（1）BCOA，B+O=180，又B=A，A+O=180，OBAC；（2）B+BOA=180，B=100，BOA=80，OE平分BOF，BOE=EOF，又FOC=AOC，EOF+FOC=（BOF+FOA）=BOA=40；（3）结论：OCB：OFB的值不发生变化理由为：BCOA，FCO=COA，又FOC=AOC，FOC=FCO，OFB=F

24、OC+FCO=2OCB，OCB：OFB=1：2；（4）由（1）知：OBAC，则OCA=BOC，由（2）可以设：BOE=EOF=，FOC=COA=，则OCA=BOC=2+，OEB=EOC+ECO=+=+2，OEC=OCA，2+=+2，=，AOB=80，=20，OCA=2+=40+20=60【解析】此题考查了平行线的判定与性质，平移的性质，以及角的计算，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键【变式2】如图，将线段A1A2向右平移2个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分），在图中，将折线A1A2A3向右平移2个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分

25、）（1）在图中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移2个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示；（2）请你分别写出上述三个图形中阴影部分的面积（设长方形水平方向长均为a，竖直方向长均为b）：S1=，S2=，S3=；（3）如图，一块长方形草地，长为20米，宽为10米，草地上有一条弯曲的小路（小路任何地方的宽度都是2米），请你写出小路部分所占的面积是米2；（4）如图，若在（3）中的草地又有一条横向的弯曲小路（小路任何地方的宽度都是1米），请你写出小路部分所占的面积是米2【答案】（1）如图（2）三个图形中阴影部分的面积都可看作是以b为长，2为宽的长方形的面积，故S1=2b，S2=2b，S

26、3=2b；（3）小路部分所占的面积是210=20米2；（4）小路部分所占的面积是102+20121=38米2【解析】需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变【例题7】【题干】如图，为解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂，（1）不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小（2）另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由【答案】（1）连接AC和BD，线段AC和BD的交点H点就是水厂的位置（2）理由是：垂线段最短【解析】（1）线段AC和BD的交点即是水厂的位置（2）过点H作直线EF

27、的垂线段即可【变式1】下列各种说法（）（1）如图，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程：（2）如图，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D使CDAB，沿CD挖水沟，水沟最短；（3）如图，甲、乙两辆汽车分别沿道路AC，BC同时出发开往C城，若两车速度相同，那么甲车先到C城其中，运用“垂线段最短”这个性质的是（）AB53CD【答案】C如图，弯曲河道BCA改成直道BA，可以缩短航程是根据两点之间线段最短；）如图，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D使CDAB，沿CD挖水沟，水沟最短，根据垂线段最短；如图，甲、乙两辆汽车分别沿道路AC，BC同时出发开往C城，若两车速度相同，那么甲车先到C城，根据垂线段最短【解析】此题主要考查了垂线段的