小专题一 构造全等三角形的方法技巧.docx

1、小专题一 构造全等三角形的方法技巧小专题(一)构造全等三角形的方法技巧方法1利用“角平分线”构造全等三角形因角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形：(1)在角的两边截取两条相等的线段；(2)过角平分线上一点作角两边的垂线1如图，ABCD，BE平分ABC，CE平分BCD，点E在AD上，求证：BCABCD.证明：在BC上截取BFAB，连结EF.ABC，BCD的平分线交AD于点E，ABEFBE，BCEDCE.在ABE和FBE中，ABEFBE(SAS)BAEBFE.ABCD，BAECDE180.BFECDE180.BFEC

2、FE180，CFECDE.在FCE和DCE中，FCEDCE(AAS)CFCD.BCBFCFABCD.2如图，已知AOB90，OM是AOB的平分线，三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，求证：PCPD.证明：过点P作PEOA于点E，PFOB于点F.PECPFD90.OM是AOB的平分线PEPF.AOB90，CPD90，PCEPDO3609090180.PDOPDF180，PCEPDF.在PCE和PDF中，PCEPDF(AAS)PCPD.方法2利用“截长补短法”构造全等三角形截长补短法的具体做法：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与

3、特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种方法适用于证明线段的和、差、倍、分等题目3如图，在ABC中，A60，BD，CE分别平分ABC和ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明解：BCBECD.证明：在BC上截取BFBE，连结OF.BD平分ABC，EBOFBO.又BOBO，EBOFBO(SAS)EOBFOB.A60，BD，CE分别平分ABC和ACB，BOC180OBCOCB180ABCACB180(180A)120.EOBDOC60.BOF60，FOCDOC60.CE平分DCB，DCOFCO.又COCO，DCOFCO(ASA)CDCF.BCBFCFBE

4、CD.4(德州中考)问题背景：如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90.点E，F分别是BC，CD上的点且EAF60.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DGBE，连结AG.先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是EFBEDF；(2)如图2，若在四边形ABCD中，ABAD，BD180.E，F分别是BC，CD上的点，且EAFBAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由解：EFBEDF仍然成立证明：延长FD到G，使DGBE，连结AG，BADC180，ADCADG180，BADG.在ABE和ADG中，

5、 ABEADG(SAS)AEAG，BAEDAG.EAFBAD，GAFDAGDAFBAEDAFBADEAFEAF.EAFGAF.在AEF和AGF中，AEFAGF(SAS)EFFG.FGDGDFBEDF，EFBEDF.方法3利用“倍长中线法”构造全等三角形将中点处的线段延长一倍，然后利用SAS证三角形全等5已知：如图，AD，AE分别是ABC和ABD的中线，且BABD.求证：AEAC.证明：延长AE至F，使EFAE，连结DF.AE是ABD的中线，BEDE.又AEBFED，ABEFDE(SAS)BBDF，ABDF.BABD，BADBDA，BDDF.ADFBDABDF，ADCBADB，ADFADC.AD

6、是ABC的中线，BDCD.DFCD.又ADAD，ADFADC(SAS)ACAF2AE，即AEAC.6如图，ABAE，ABAE，ADAC，ADAC，点M为BC的中点，求证：DE2AM.证明：延长AM至点N，使MNAM，连结BN，M为BC中点，BMCM.又AMMN，AMCNMB，AMCNMB(SAS)ACBN，CNBM.ABNABCNBMABCC180BACEAD.ADAC，ACBN，ADBN.又ABAE，ABNEAD(SAS)DENA.又AMMN，DE2AM.方法4巧用“三垂直”构造全等三角形如图，若ABAC，ABAC，则可过斜边的两端点B，C向过A点的直线作垂线构造ABDCAE.在坐标系中，过

7、顶点A的直线常为x轴或y轴7如图，在ABC中，ABBC，ABBC，B(0，2)，C(2，2)，求点A的坐标解：作CMy轴于M，B(0，2)，C(2，2)，CMBO2.ABBC，ABC90.ABOCBO90.又CMBO，CBOBCM90.ABOBCM.ABOBCM(ASA)AOBM4.A(4，0)小专题(二)等腰三角形中的分类讨论类型1针对腰长和底边长进行分类1已知等腰三角形一边长等于5，另一边长等于9，则它的周长是(D)A14 B23 C19 D19或232若实数x，y满足|x5|0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为253已知等腰三角形ABC中，一腰AC上的中线BD将三角形的周长分成9

8、 cm和12 cm两部分，则这个三角形的腰长和底边长分别为6cm和9cm或8cm和5cm类型2针对顶角和底角进行分类4若等腰三角形中有一个角等于70，则这个等腰三角形的顶角的度数是(C)A70 B40 C70或40 D70或555已知一个等腰三角形两内角的度数之比为14，则这个等腰三角形顶角的度数为120或206如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，则该等腰三角形各内角的度数为45，45，90或36，72，727等腰三角形有一个角为52，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？解：若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(18052)264，故一腰上的高与底边的夹角为26；若已知的这个角为底

9、角，则一腰上的高与底边的夹角为38.故所求的一腰上的高与底边的夹角为26或38.类型3针对锐角、直角和钝角三角形进行分类8在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40，则底角B等于(C)A20 B60或20 C65或25 D609已知在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，AEB70，那么BAC等于(A)A55或125 B65 C55 D12510已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36，求这个等腰三角形的底角的度数解：分两种情况讨论：若A90，如图1所示BDAC，AABD90.ABD36A903654.ABAC，ABCC(1805

10、4)63.若A90，如图2所示同可得DAB903654，BAC18054126.ABAC，ABCC(180126)27.综上所述：等腰三角形底角的度数为63或27.类型4确定等腰三角形的数目11(武汉中考)平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)若在坐标轴上取点C，使ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(A)A5 B6 C7 D812如图，在RtABC中，ACB90，AB2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有(B)A7个 B6个 C5个 D4个类型5运动过程中等腰三角形中的分类讨论13(杭州下城区期中)在RtABC中，C90，BC8 c

11、m，AC6 cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以2厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A，D，B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为或5或8秒解析：当ADBD时，在RtACD中，根据勾股定理，得AD2AC2CD2，即BD2(8BD)262，解得BD cm.则t(秒)；当ABBD时，在RtABC中，根据勾股定理，得AB2AC2BC26282100(cm2)，AB10 cm.则t5(秒)；当ADAB时，BD2BC16 cm，则t8(秒)综上所述，t的值可以是：，5，8.14(杭州期中改编)如图，已知ABC中，B90，AB8 cm，BC6 cm，P，Q是ABC边上的两个动点，其

12、中点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1 cm，点Q从点B开始沿BC方向运动，且速度为每秒2 cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒(1)当t2秒时，求PQ2的长；(2)求出发时间为几秒时，PQB是等腰三角形？(3)若Q沿BCA方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使BCQ成为等腰三角形的运动时间解：(1)BQ224(cm)，BPABAP8216(cm)，B90，PQ2BQ2BP2426252(cm2)(2)根据题意，得BQBP，即2t8t，解得t.出发时间为秒时，PQB是等腰三角形(3)分三种情况：当CQBQ时，如图1所示，则CCBQ，ABC90，CBQABQ90，AC90.AABQ

13、.BQAQ.CQAQ5 cm.BCCQ11 cm.t1125.5(秒)当CQBC时，如图2所示，则BCCQ12 cm.t1226(秒)当BCBQ时，如图3所示，过B点作BEAC于点E，则BE4.8(cm)CE2BC2BE2624.823.62(cm2)CE3.6 cm.CQ2CE7.2 cm.BCCQ13.2 cm.t13.226.6(秒)由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，BCQ为等腰三角形小专题(三)利用勾股定理解决折叠与展开问题类型1利用勾股定理解决平面图形的折叠问题1如图所示，有一张直角三角形纸片，C90，AC4 cm，BC3 cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线

14、上的点E处，折痕为AD，则CE的长为(A)A1 cm B1.5 cm C2 cm D3 cm2如图，长方形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB6，ABF的面积是24，则FC等于(B)A1 B2 C3 D43如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC5 cm，BC10 cm，将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为(D)A. cm B. cm C. cm D. cm4(铜仁中考)如图，在长方形ABCD中，BC6，CD3，将BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C处，BC交AD于点E，则线段DE的长为(B)A3 B. C5 D.5(上城区期末)在长方形纸片AB

15、CD中，AB3，AD5，如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A处，折痕为PQ，当点A在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动，若限定点P，Q分别在线段AB，AD边上移动，则点A在BC边上可移动的最大距离为(B)A1 B2 C3 D4解析：如图1，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得ADAD5.在RtACD中，AD2AC2CD2，即52(5AB)232，解得AB1.如图2，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得ABAB3.312，点A在BC边上可移动的最大距离为2.故选B.6如图所示，在ABC中，B90，AB3，AC5，将ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则ABE的周长为77如

16、图，在RtABC中，C90，BC6 cm，AC8 cm，按图中所示方法将BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C点，那么ADC的面积是6cm28如图，在长方形ABCD中，CD6，BC8，E为CD边上一点，将长方形沿直线BE折叠，使点C落在线段BD上C处，求DE的长解：在长方形ABCD中，C90，DC6，BC8，BD26282102.BD10.由折叠可得BCBC8，ECEC，BCEC90，CD2，DCE90.设DEx，则CECE6x.在RtCDE中，x2(6x)222，解得x.DE的长为.类型2利用勾股定理解决立体图形的最短路径问题9如图是一个封闭的正方体纸盒，E是CD中点，F是CE中点，一只蚂蚁

17、从一个顶点A爬到另一个顶点G，那么这只蚂蚁爬行的最短路线是(C)AABCGBACGCAEGDAFG10如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是2.60m.(精确到0.01 m)11(凉山中考)如图，圆柱形玻璃杯，高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为20cm.12一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒长方体高6 cm，底

18、面是边长为4 cm的正方形，从顶点A到顶点C如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？解：把长方体的面DCCD沿棱CD展开至面ABCD上，如图构成矩形ABCD，则A到C的最短距离为AC的长度，连结AC交DC于点O，易证AODCOC.ODOC，即O为DC的中点由勾股定理得AC2AD2DC28262100，AC10 cm.即从顶点A沿直线到DC中点O(或AB中点O)，再沿直线到顶点C，贴的彩带最短，最短长度为10 cm.13如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB4，BC

19、4，CC15时，求蚂蚁爬过的最短路径的长解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC1D1和ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC1和AC1两种(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1，爬过的路径的长l42(45)297，l1；蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长l(44)25289，l2.l1l2，最短路径的长是.小专题(四)构造等腰三角形的常用方法类型1利用平行线构造等腰三角形利用“角平分线平行线”构造等腰三角形若12，ACOB，则OAC为等腰三角形作腰的平行线构造等腰三角形若ABAC，DEAC，则BDE为等腰三角形作底边的平行线构造等腰三角形若

20、ABAC，DEBC，则ADE为等腰三角形1如图，在ABC中，ABAC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BDCE，DE交BC于点F，求证：DFEF.证明：过点D作DMAC交BC于点M，DMBACB，FDME.ABAC，BACB.BDMB.BDMD.BDCE，MDCE.在DMF和ECF中，DMFECF(AAS)DFEF.2已知ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BDDE.(1)如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；(2)如图2，若点D在AC的延长线上，(1)中的结论是否成立，请说明理由解：(1)ADCE.理由：过点D作DPBC，

21、交AB于点P，ABC是等边三角形，APD也是等边三角形APPDAD，APDABCACBPDA60.DBDE，DBCDEC.DPBC，PDBCBD.PDBDEC.又BPDAADP120，DCEAABC120，即BPDDCE.在BPD和DCE中，BPDDCE(AAS)PDCE.ADCE.(2)ADCE成立理由：过点D作DPBC，交AB的延长线于点P，ABC是等边三角形，APD也是等边三角形APPDAD，APDABCACBPDC60.DBDE，DBCDEC.DPBC，PDBCBD.PDBDEC.在BPD和DCE中，BPDDCE(AAS)PDCE.ADCE.类型2运用倍角关系构造等腰三角形已知在ABC

22、中，ACBABC.如图1，作ABC的平分线BD，则可构造等腰BDC；如图2，BCE2ACB，交BA的延长线于E，则可构造等腰BCE；如图3，延长CB至D，使BDAB，则可构造两个等腰三角形，如ABD，ADC；如图4，作BCEACB，交AB的延长线于E，则可构造等腰BCE.3如图，在ABC中，AD平分BAC交BC于点D，且ABC2C，求证：ABBDAC.解：证法1：在边AC上截取APAB，连结PD.AD是ABC的角平分线，BADPAD.在ABD和APD中，ABDAPD(SAS)APDB，PDBD.B2C，PDCC.PDPC.ABBDAC.证法2：延长AB至E，使BEBD，连结DE，证AED全等于

23、ACD即可证法3：延长CB至E，使BEAB，连结AE，则ECEAB，易证EADEDA，ACEAEDEBBDABBD.类型3截长补短构造等腰三角形4如图，在ABC中，BAC120，ADBC于D，且ABBDDC，求C的度数(用截长法与补短法两种方法解答)解：方法1：(截长法)在CD上取点E，使DEBD，连结AE，则CEABAE.BAEDCCAE2C.BAC120，C20.方法2：(补短法)延长DB至点F，使BFAB，则ABBDDFCD.AFAC，CFABC.BAC120，C20.5如图，在ABC中，BAC108，ABAC，BD平分ABC，交AC于D，求证：BCCDAB.(用两种方法)解：方法1：(

24、截长法)在BC上取点E，使BEBA，连结DE，BD平分ABC，ABDEBD.在ABD和EBD中，ABDEBD(SAS)BACBED108，ABEB.DEC72.ABAC，CABC36.CDE72.CDECED72.CDCE.则BCBEECABCD.方法2：(补短法)延长BA至E，使BEBC，连结DE，BD平分ABC，CBDEBD.在EBD和CBD中，EBDCBD(SAS)DEDC，EC36.EAD72，EDAEAD72.EAED.CDDEAE.则BCBEABAEABCD.小专题(五)一元一次不等式(组)的解法1解下列不等式(组)：(1)(金华金东区期末)5x33(2x)；解：去括号，得5x363x.移项，得5x3x63.合并同类项，得2x3.系数化为1，得x.(2)(黄冈中考)3(x1)4；解：去分母，得x16(x1)8.去括号，得x16x68.移项，得x6x681.合并同类项，得5x15.两边都除以5，得x3.(3)解：由，得x1.由，得x1.所以，不等式组的解集为x1.(4)(莆田中考)解：由，得x1.由，得x4.所以，不等式组的解集为x1.(5)(金华金东区期末)解：解不等式，得x.解不等式，得x4.故不等式组的解集为x4.2(苏州中