排列组合典型例题.docx

1、排列组合典型例题典型例题一例1用O到9这10个数字可组成多少个没有重复数字的四位偶数解法仁 当个位数上排“0”吋，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3 个来排列，故有个;当个位上在“2. 4、6. 8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一 个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排.按乘法原理有AI (个)没有重复数字的四位偶数有Aj+A:& = 504 + 1792 = 2296 个.典型例题二例2三个女生和五个男生排成一排(1)如果女生必须全排在一超，可有多少种不同的排法(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同

2、的排法(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法解：(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一担，所以可以先把她们看成一个整体，这 样同五个男生合一是共有六个元素，然成一排有种不同排法.对于其中的每一种排法， 三个女生之间又都有对种不同的排法，因此共有-Al= 4320种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出 一个空档.这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三 个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都 不相邻由于五个另生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六

3、个位 置中选出三个来让三个女生插入都有A；种方法，因此共有AI-AI= 14400种不同的排法.(3)解法1:(位置分析法)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2 个，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有Af种排法，所以共有14400种不同的排法.(4)解法1:因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受 条件限制了，这样可有AI-A种不同的排法；如果首位排女生，有种排法，这时末位就 只能排男生，有&种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有种不同的排法， 这样可有思A：种不同排法.因此共有+A；現= 36000种不同的排法.解法2:3个女生

4、和5个畀生排成一排有A；种排法,从中扣去两端都是女生排法A；AI 种，就能得到两端不都是女生的排法种数.因此共有A-AA =36000种不同的排法.典型例题三例3排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种解：(1)先排歌唱节目有种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放 入舞蹈节目，共有人：中方法.所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：AI At =43200.(2)先排舞蹈节目有中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5 个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：At AI

5、 =2880种方法。典型例题四例4菜一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第 一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法.分析与解法仁6六门课总的排法是A爲 其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有种排法如图中I ;数学排在最后一节有 种排法如图中II；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中III, 这种情况有种排法，因此符合条件的排法应是:&一 2A；+A：=5O4 (种)典型例题五例5 现有3辆公交车、3位司机和3位傳票员，毎辆车上需配1位司机和1位傍票员问 车辆、司机、傳票员搭配方案一共有多少种分析：可以把3辆车看成

6、排了顺序的三个空：Tl然后把3名司机和3名隹票员分 别填入因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题.解：分两步完成.第一步，把3名司机安排到3辆车中.有=6种安排方法；第二步把3名隹票员安排到3辆车中，有Af=G种安排方法.故搭配方案共有A； A； =36 种.典型例题六例6 下是表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有4所重点院校.每所院校有3个 专业是你较为满意的选择.若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的 话，你将有多少种不同的填表方法学 校112212312解：填表过程可分两步第一步，确定填报学校及其顺序，则在4所学校中选出3所并 加排列，共有种不同的排法；第二

7、步，从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其 顺序，其中又包含三小步，因此总的排列数有盃种.综合以上两步，由分步计数 原理得不同的填表方法有：Aj-Aj A;-A; =5184种.典型例题七)例5 7名同学排队照相.(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多 少种不同的排法(3)若排成一排照，甲、乙.丙三人必须相邻，有多少种不同的排法(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排 法解：(1) A： = A； =5040 种.(2)第一步安排甲，有种排法；第二步安排乙

8、，有A：种排法；第三步余下的5人排 在剩下的5个位置上，有&种排法，由分步计数原理得，符合要求的排法共有 左=1440种.(3)第一步，將甲、乙、丙视为一个元素，有其余4个元素排成一排，即看成5个元素 的全排列问题，有种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有种排法.由分步 计数原理得，共有左A=720种排法.(4)第一步.4名男生全排列，有种排法：第二步，女生插空，即将3名女生插入4 名男生之间的5个空位，这样可保证女生不相邻，易知有种插入方法.由分步计数原理 得，符合条件的排法共有：农=1440种典型例题八例8 从2、3、4、5、6五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数

9、 的和.的数共有眉个，当这些数相加时，由“2”产生的和是盃2;形如国亟1的数也有Af个，当这些数相加时，由“2”产生的和是A;-2-10；形如 的数也有盂 个，当这些数相加时，由“2”产生的和应是眉2100这样在所有三位数的和中，由“2” 产生的和是加2111同理由3、4、5、6产生的和分别是3lll , A； 4111 , 4：5111, A；-6111 ,因此所有三位数的和是A；-111 -(2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 26640典型例题九例9计算下列各题:(1)4Ll AfI-m屁； (2) A：: (3)弋严； 1422T+ -解：(1) Aj5 = 15 14 = 21

10、0 : (2) = 6 != 65432 1 = 720 ；(3)原式=WzlU(n-)!-一!一=U! 一2)!一!一 n 一 1 -(m-1)! (/7 -1)! (/? 一Irl)! (Il-1)!原式= (2!-l) + (3!-2!)(4!-3!) + -+(n + l)!-n!=(n + l)!-l:+口2! 3! 4! nIlllll=+ + + 1! 2! 2! 3! 3! 4!本題计算中灵活地用到下列各式：H! = 7-1)!; /?/?! = (z + l)!-/! : = 一!一一丄；使问题解得简单.快捷 n ! (/2-1)! U !典型例题十例10 Gf六人排一列纵队

11、.限定“要排在的前面(与b可以相邻，也可以不相邻)，求共有几种排法.对这个題目，A、B、C . D四位同学各自给出了一 种算式：A的算式是丄：的算式是(A1,+A*+A*+A + )A; C的算式是忠：2D的算式是C：A：上面四个算式是否正确，正确的加以解释，不正确的说明理由.解：A中很显然，“ d在前的六人纵队”的排队数目与“b在G祈的六人纵队”排队 数目相等，而“六人纵队”的排法数目应是这二者数目之和.这表明：A的算式正确.3中把六人排队这件事划分为占位，b占位，其他四人占位这样三个阶投，然后用乘 法求出总数，注意到“占位的状况决定了方占位的方法数，第一阶段，当占据第一个位置 时，b占位方

12、法数是；当“占据第2个位置时，Z?占位的方法数是A；：当“占据第5个位置时，b占位的方法数是A：,当，b占位后，再排其他四人，他们有A：种排法， 可见B的算式是正确的.IC中/可理解为从6个位置中选4个位置让c 9d9e,f占据，这时，剩下的两个位置依前后顺序应是 9方的.因此C的算式也正确.D中把6个位置先團定两个位置的方法数C：,这两个位置让，Z?占据，显然，a.b占 据这两个圈定的位置的方法只有一种(要在b的前面)，这时，再排其余四人，又有种 排法，可见D的算式是对的.说明：下一节组合学完后，可回过头来学习D的解法.典型例题十一例11八个人分两排坐，每排四人.限定甲必须坐在前排，乙、丙必

13、须坐在同一排， 共有多少种安排办法解法仁 可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙.丙在后排，甲坐 在笳排的八人坐法两类情况.应当使用加法原理，在每类情况下，划分“乙丙坐下”、“甲 坐下”：“其他五人坐下”三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法：A： A； + Aj A： = 8 640 （种）解法2：采取“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法.把“甲坐在第一排的八 人坐法数”看成“总方法数”，这个数目是A-A .在这种前提下，不合题意的方法是甲 坐第一排，且乙、丙坐两排的八人坐法”这个数目是4；C；A：&其中第一个因数 表示甲坐在第一排的方法数，C；表示从乙、丙中任

14、选出一人的办法数，表示把选出 的这个人安排在第一排的方法数.下一个4；则表示乙、丙中沿未安排的那个人坐在第二排 的方法数，就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为A：.A_A：.C；.A； A：.&=8 640 （种）.说明：解法2可在学完组合后回过头来学习.典型例题十二例12计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画.4幅油画.5幅国画，排成 一行陈列，要求同一品种的画必须连在一是，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有（ ）.A. B. 念 C. D. AAAI解：将同一品种的画“捆在一是注意到水彩画不放在两端，共有Aj种排列但4 幅油画、5幅国画本身还有排列顺序要求.所以共有种陈列方

15、式.应选D.说明：关于“若干个元素相邻的排列问题，一般使用“捆绑”法，也就是将相邻的若 千个元素“捆绑”在一起，看作一个大元素，与其他的元素进行全排列；然后，再“松绑”, 将被“捆绑”的若干元素，内部进行全排列.本例题就是一个典型的用“捆绑”法来解答的 问题.典型例题十三例13由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（ ）.A. 210 B. 300 C. 464 D. 600解法1:（直接法）：分别用1,2,3,4,5作十万位的排列数，共有5&种，所以其中 个位数字小于十位数字的这样的六位数有丄5A? =300个.2廿解法2：（间接法）：取O,l

16、,5个数字排列有而O作为十万位的排列有所 以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有*（一&） = 300（个）.应选B.说明：（1）直接法、间接法是解决有关排列应用题的两种基本方法，何时使用直接法或 间接法要视问题而定，有的问題如果使用直接法解决比较困难或者比较麻烦，这时应考虑能 否用间接法来解.（2） “个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字具有对称性，这两类的六 位数个数一样多，即各占全部六位数的一半，同类问题还有6个人排队照像时，甲必须站在 乙的左侧，共有多少种排法.典型例题十四例14用1,2,3,4,5,这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）.A. 24 个

17、 B. 30 个 C. 40 个 D. 60 个分析：本題是带有附加条件的排列问题，可以有多种思考方法，可分类，可分步，可利 用槪率，也可利用本题所提供的选择项分析判斷.解法仁分类计算.将符合条件的偶数分为两类.一类是2作个位数，共有个，另一类是4作个位数，也有Aj个.因此符合条件的偶数共有A+A4 =24个.解法2:分步计算.先排个位数字，有种排法，再排十位和百位数字，有Aj种排法，根据分步计数原理,三位偶数应有A*=24个.解法3:按槪率算.用1一5这5个数字可以纽成没有重复数字的三位数共有A；= 60个，其中偶点其中的2 2二.因此三位偶数共有60- = 24个.5 5解法4：利用选择项

18、判断.用15这5个数字可以纽成没有重复数字的三位数共有A；=60个.其中偶数少于奇数，因此偶数的个数应少于30个，四个选择项所提供的答案中.只有A符合条件.应选A.典型例题十五W 15 (1)i+l,+2A7+3A3 + + 8A；(2)求 S” =l! + 2! + 3! + ”！ 510)的个位数字.分析：本題如果直接用排列数公式计算，在运算上比较困难，现在我们可以从和式中项 的特点以及排列数公式的特点两方面考虑.在(1)中，项可抽象为 nA,l,t =(n + - )A,l,l = (/ +1)4； - nA： = - A； , (2) 中， 项 为n !=(n 1)(m-2)-321

19、,当n5时，乘积中出现5和2,积的个位数为0,在加法运 算中可不考虑.解：由 nA =(n + l) !-n !原式= 2!-l! + 3!-2! + -9!-8! = 9!-l ! = 362879.(2)当 ? 5 时，H ! = n(n -1)(? - 2) -3 2 1 的个位数为 0,. Sn=l! + 2! + 3! + - + n!(z10)的个位数字与 l! + 2! + 3! + 4!的个位数字相 同.而l! + 2! + 3! + 4! = 33. S和的个位数字为3.说明：对排列数公式特点的分析是我们解决此类问題的关键，比如：求证： + + + + 一-一 = I-一)一

20、,我们首先可讯等式右边的 2! 3! 4! (/7 +1)! (h + 1)!n _ /7 +1 -1 _ + l 1 _ 1 1 (/? +1)! (H +1)! (M +1)! ( + l)! iT (/? +1)!,典型例题十六例16用0、1、2、3、4.5共六个数字纽成无莹复数字的自然数，(1)可以组成多少 个无重复数字的3位偶数（2）可以组成多少个无磴复数字且被3整除的三位数分析：3位偶数要求个位是偶数且首位数字不能是O ,由于个位用或者不用数字O ,对 确定首位数字有影响，所以需要就个位数字用O或者用2、4进行分类.一个自然数能被3整 除的条件是所有数字之和是3的倍数，本题可以先确

21、定用哪三个数字，然后进行排列，但要 注意就用与不用数字O进行分类.解：（1）就个位用O还是用2、4分成两类，个位用0,其它两位从1.2、3、4中任取两 数排列，共有A;= 12 （个），个位用2或4,再确定首位，置后确定十位，共有 24x4 = 32（个），所有3位偶数的总数为：12+32 = 44（个）.（2）从0、1、2、3、4、5中取出和为3的倍数的三个数，分别有下列取法：（0 12）、（0 1 5） （0 2 4）、（0 4 5）. （1 2 3）、（1 3 5）、（2 3 4）、（3 4 5）,前四组中有0, 后四组中没有0.用它们排成三位数，如果用祈4组，共有4 2A7 = 16

22、（）,如果用后 四纽，共有4A = 24 （个），所有被3整除的三位数的总数为16+24 = 40（个）.典型例题十七例17 条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空 位与2个相邻空位不相邻，共有几种坐法分析：对于空位，我们可以当成特殊元素对待，设空座梯形依次编号为 1、2、3、4、5、6、7先选定两个空位.可以在1、2号位，也可以在2、3号位共有六种 可能，再安排另一空位，此时需看到，如果空位在1、2号，则另一空位可以在4、5、6、7号 位，有4种可能，相邻空位在6、7号位，亦如此如果相邻空位在2、3号位，另一空位可 以在5、6、7号位，只有3种可能，相邻空位在3

23、、4号，4、5号，5、6号亦如此，所以必 须就两相邻空位的位置进行分类.本題的另一考虑是，对于两相邻空位可以用合并法看成一 个元素与另一空位插入已坐人的4个座位之间，用插空法处理它们的不相邻解答一：就两相邻空位的位置分类：若两相邻空位在1、2或6、7,共有2x4xA：=192 （种）坐法.若两相邻空位在2、3, 3、4, 4、5或5、6,共有4x3xA =288 （种）不同坐法，所 以所有坐法总数为192+288 = 480 （种）.解答二：先排好4个人，然后把两空位与另一空位插入坐好的4人之间，共有 眉.Ar=480 （种）不同坐法.解答三：本题还可采用间接法，逆向考虑在所有坐法中去掉3个空位全不相邻或全部相 邻的情况，4个人任意坐到7个座位上，共有A；种坐法，三个空位全相邻可以用合并法， 直接将三个空位看成一个元素与其它座位一起排列，共有种不同方法.三个空位全不相邻仍用插空法，但三个空位不须排列，直接插入4个人的5个间隔中，有10种不同方 法,所以，所有满足条件的不同坐法种数为A；-A-IO=480 （种）