最值问题解题思路奥数.docx

1、最值问题解题思路奥数- 马到成功奥数专题 : 离散最值 引言：在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们 称之为离散最值问题。 解决这类非常规问题， 尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策 略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手： 1. 着眼于极端情形； 2. 分析推理确定最值； 3. 枚举比较确定最值； 4. 估计并构造。 离散最值问题渗透到小升初的各个奥数专题中，学好它可为解决数论，计数， 应用问题等打 下扎实的基础。 一、从极端情形入手 从极端情形入手，着眼于极端情形，是求解最值问题的有效手段。 题目 1.10 个，这些小球的大小均相同，红色一个

2、布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各 小球上标有数字“ 4”，黄色小球上标有数字“ 5”，绿色小球上标有数字“ 6”。小明从袋 8 个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？中摸出 解：假设摸出的 8 个球全是红球，则数字之和为（48=） 32，与实际的和 39 相差 7，这是 因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。 6 4=）2，用一个黄球换一个红球，数字和可增加用一个绿球换一个红球，数字和可增加（ 72=3,1 ，因此可用（5-4= ）1。为了使红球尽可能地多，应该多用绿球换红球，现在3 8 39。所以要使个8 个球的数字之和正好等于个绿球换红球，再用一个黄球换红球，这样

3、 8-3-1= ）4 个是红球。球的数字之和为 39，其中最多可能有（ 有题目 2. 13 个不同正整数， 它们的和是 100。问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？ 100 是偶数，所以只能少解： 2+4+6+8+10+12+14+16=72还要有 5 个奇数，但和是奇数， 一个偶数， 2+4+6+8+10+12+14=56 100-56=42 42=1+3+5+7+9+17，最多有 7 个偶数。 1+3+5+7+9+11+13+15=64 还要 5 个偶数， 100-64=36 36=2+4+6+8+16最少有 5 个偶数。 题目 3.一种小型天平称备有1 克、 3 克、 5 克、 7 克

4、、 9 克 5 种砝码。为了能称出 1 克到 91 克的任意一种整数克重量，如果只允许在天平的一端放砝码，那么最少需要准备砝码多少个。 解：要能称出 1 克到 91 克的任意一种整数克重量，要有9 个 9 克、 1 个 5 克、 1 个 3 克、 2 个 1 克，它们的和是 91，这样即可。需要9+1+1+2=13 个。 - - 4.7”和“ 0”以及加法键尚能使用，因此一台计算器大部分按键失灵，只有数字“题目 77， 7077 和0 的数，并且进行加法运算。为了显示出222222，最这样只含数字可以输入 ”键多少次？少要按“ 7 222222-70000*3=122227个 71 3 个12

5、222-7000*1=5222按下了按下了 5222-700*7=322322-70*4=4267个7 7个4 42-7*6=0按下了按下了按下了 3+1+7+4+6=21。个 7次 二、枚举法与逐步调整 当我们在有限数中求最大（或最小）值时，枚举法是常用基本方法之一。这种方法的大 意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种 情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。 题目 5.将 6，7，8， 9， 10 按任意次序写在一个圆周上，每相邻两数相乘，并将所得得5 个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？ 10，旁边添 6 和 7，这样积小一些。于是有解：要使乘积最

6、小，就要每个数尽可能小。对于 两种添法： - 题目 6.某公共汽车从起点开往终点站，中途共有13 个停车站。 如果这辆公共汽车从起点 站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站， 那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？ 解法 1：只需求车上最多有多少人。依题意列表如下： 由上表可见，车上最多有56 人，这就是说至少应有56 个座位。 说明：本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的， 座位最少有多少， 取决于什么时候车上人数最多， 要保证乘客中每人都有座位， 应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。所以， 我们不能只看表面现象， 误认为

7、有了“至少”就是求最小数，而应该把题意分析清楚后再作判断。 解法 2：因为车从某一站开出时，以前各站都有同样多的人数到以后各站（每站 1 人）， 这一人数也和本站上车的人数一样多，因此 车开出时人数 =（以前的站数+1）以后站数 =站号（ 15- 站号）。 因此只要比较下列数的大小： 114， 213， 312， 411，510， 69， 78， 87， 96，105， - - ，24，1311。1123，14 56 人，所以是最大值，也就是车上乘客最多时的人数是78和 87由这些数，得知 个座位。它应有 56 说明：此题的两种解法都是采用的枚举法， 枚举法是求解离散最值问题的基本方法。 这种

8、方法的大意是： 将问题所涉及的对象一一列出， 逐一比较从中找出最值； 或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。 题目 7. 18-2 所示得 2*8 方格表中， 第一行得 8 个方格内依次写着1、2、3、4、5、6、7、8。在如图 8 8 按适当得顺序分别填入第二行的个方格内，使得每列 51、 2、 3、4、 6、 7、如果再把 两数的个差数两两不同，那么第二行所显示的八位数最大可能值是多少？8 个差分别是 0， 1， 2， 3， 4，5， 6， 7，和为 28，分成两组，每组 14。 8 和 7 必然解：这8 填在 1， 2 两个方格内。前两列的差是和 5，第 3 个如果填

9、 6，那么 7+5+3 超过 14，所以7 4，填 6 就会有重复。数字5，此时 3 个差为 7、5、 2，和为14，第 4 个格子只能填只能填 6 只能填在第 7 格，再凑一凑即可得出87541362。 三、从简单情形入手 解决复杂问题可以从简单问题入手，经过分析得出规律，也就找到了解决复杂问题的方法。 题目 8.从 1234567891011,99100中划去 100 个数字， 其他数字顺序不变， 求剩下数中的 最大数和与最大数位数相同的最小数。 将此题简化为从 12345678910中划去 9 个数字 . 利用枚举法不难得出剩下的两分析与解 10，也就是在求最大数时，高位上的数字尽可能取

10、大数字；求位数最大数为 91，最小数为 ；从 912345678910 中划去 10个数字剩下最小数时，高位上尽可能取小数字。本题中从 111213,484950 中划去 76个数字剩下 4 个 9；再从 51525354555657585960 中划去 14 个数 785960，从而得到所求的最大数9999978596061,99100。求最小值字剩下尽可能大的数是 时，从 12345678910 中划去9 个数字剩下 10，从 11121314,484950 中划去 76 个数字剩下 4 个 0，再从 51525354555657585960中划去 15 个数字剩下尽可能小的数12340，

11、从而得到所 。求最小数 100000123406162,99100 将 1，2，3，题目 9., ，49，5010 组，每组 5 个数。在每一组中，数值居中的任意分成 10 个中位数之和的最大值与最小值。那个数称为“中位数”。求这 解： 1 ， 2， 3， 49，50 4，5， 6， 47，48 , 2829， 30， 31， 32， （最小值）3+6+,+30=165 1 ， 2， 48， 49， 50 3， 4，45， 46，47 , 1920， 21， 22， 23， （最大值）48+45+,+21=345 - - 四、和一定问题 1 910 19 9 10 的两个自然数，它们的积的最大

12、值是什么？我们知例如，和为 2+8=10 28=16 5 个不同道和为 10的自然数共有 5 对，每对自然数乘积后又得到 37=10 37=21 的数，如下表： 4+6=10 46=24 5+510 55=25 由此我们得到，当这两个自然数都取5 时积有最大值25 。 成立。也就是和一定时差最小乘积越大。 题目 10. 有 3 条线段 a,b,c ，线段 a 长 2.12 米，线段 b 场 2.71 米，线段 c 长 3.53 米。如图18-1 ， 以它们作为上底、下底和高，可以作出3 个相同的梯形。问第几号梯形的面积最大？ 解：由于梯形体积 =（上底 +下底） * 高/2 在和一定的情况下，

13、要使乘积最大，让两个数越接近。可见 a+b 与 c 十分接近，所以的面积最大。 题目 11.如果将进货单价为 40 元的商品按 50 元售出，那么每个的利润是 10 元，但只能卖出 500 个。当这种商品每个涨价 1 元时，其销售量就减少 10 个。为了赚得最多的利润，售价应定为多少？ 解：设每个商品售价为（50+x）元，则销量为（500-10X ）个。总共可以获利 （ 50x-40 ）（ 500-10x ） =10（ 10+X）（ 50-X ）（元）。 因（ 10+x） +（ 50 x） =60 为一定值，故当10+X=50 X 即 X=20 时，它们的积最大。 此时，每个的销售价为50 2

14、0=70（元） 题目 12.用 3， 4， 5，6，7，8 六个数字排成三个两位数相乘，要求它们的乘积最大。应该 怎样排列？ - - 【分析与解】 十位数字分别是 8、7、6，876, 个位数字分别是 5，4，3，543，依据“接 近原则”，大小搭配可得837465，三个数最接近因而它们的乘积最大。 综上数例， 可以归纳出这样的规律: 较大数后配较小的数， 较小的数后配较大的数， 这样才能使 数之间更为接近，从而保证乘积最大。简单地说就是：数越接近，乘积越大。 这样才较小的数后配较大的数，较大数后配较小的数，能: 综上数例， 可以归纳出这样的规律 数越接近 ，乘积越大 。 使数之间更为接近，从

15、而保证乘积最大。简单地说就是： 五、积一定的问题 两个变化着的量， 如果在变化的过程中， 它们的乘积始终保持不变，那么它们的差与和 之间有什么关系呢？ 观察下面的表： 我们不难得出如下的规律： 两个变化着的量， 如果在变化的过程中， 乘积始终保持不变， 那么它们的差越小， 和就越小。 若它们能够相等，则当它们相等时，和最小。 2144 cm ，当它的长和宽分别为多少时，它的周长最短？题目 13.长方形的面积为 xcm和 ycm，则有解：设长方形的长和宽分别为 xy 144。 x=y=12时， x+y2（x y）也有最小值。有最小值，从而长方形周长故当 题目 14.农场计划挖一个面积为432 m

16、 的长方形养鱼池，鱼池周围两侧分别有3m4m的 2 和 堤堰如下图所示，要想占地总面积最小，水池的长和宽应为多少？ 解：如图所示，设水池的长和宽分别为xm和 ym，则有 xy 432。 占地总面积为S=（ x 6）（ y 8） cm。于是2 S=Xy+6y+8X 48 6y+8X+480。 6y8X=484326y=8X 时， S 最小，此时有6y=8X=144，故为一定值，故当我们知道 。y=24， x=18 - - 六、从整体入手 从整体抓住数据的本质特征进行分析，较易突破难点。 题目 15.在 10，9， 8，7，6， 5， 4，3，2， 1 这 10 个数的每相邻两个数之间都添上一个加

17、 号或一个减号，组成一个算式。要求：（1）算式的结果等于37；（ 2）这个算式中的所有 减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？ 题目 16.在 10，9， 8， 7， 6， 5，4， 3， 2，1 这 10 个数的每相邻两个数之间都添上一 个加号或一个减号，组成一个算式。要求：（1）算式的结果等于37；（ 2）这个算式中的 所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？ 解：把 10 个数都添上加号， 它们的和是55，如果把其中一个数的前面的加号换成减号， 使这个数成为减数，那么和数将要减少这个数的2 倍。 182=9。对于大

18、于 2 的数来说，因为 55-37 18，所以我们变成减数的这些数之和是 两数之和总是比两数乘积小，（不包括为了使这些减数的乘积尽可能大，减数越多越好 ）。1 9 最多可拆成三数之和 2 3234 24，添上加、减4=9，因此这些减数的最大乘积是 号的算式是 75-4-3-21 37。8 9 6 10 七、抓不等关系 题目 17.某校决定出版“作文集”， 费用是 30 册以内为80 元，超过 30 册的每册增加1.20 元。当印刷多少册以上时，每册费用在1.50 元以内？ 解：显然印刷的册数应该大于30。设印刷了（ 30 x）册，于是总用费为（ 80+1.2x ）元。 故有 80+1.2x 1

19、.530+x），（ 答案 :117+30=147 以内。 3 袋的总和都超过60 块。那么这4 18.有 4 袋糖块，其中任意袋糖块的总和最少有多题目 少块？ 解：要使其中任意3 袋的总和都超过61，先在每袋中放 20 个糖块，块，那么至少也是60 但任意 3 袋中至少一个 21，否则就无法超过3 袋中至少一个 21，这 4 个袋子。要使任意60 的糖块分别是20， 20， 21， 21。和为 20+20+21+21=82 - - 八、抓相等关系 米的，他们的平均身高是米。其中有一些低于1.5 19. 10 位小学生的平均身高是1.5题目 1.5米。那么最多有多少位同学的身高恰好是 1.5 米

20、的平均身高是1.7 1.2 米；另一些高于 米？ 米的人越少，设高于米，就要使低于和高于1.5 : 要最多有多少位同学的身高恰好是1.5 解 那么最多有 至少是 5 人和低于的人分别为a,b 。可得： 1.2a+1.7b=1.5(a+b)2b=3a 米。 1.5 10-5=5 位同学的身高恰好是 - 个是偶数，而且个奇数、个不同的真分数的分子都是2 2 题目 20. 4 ，它们的分母只有12 个分母是偶数的分数之和相等。个分母是奇数的分数之和与2 小明 这样的奇数和偶数很多， 希望这样的偶数尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少？ )/ +偶偶/ 奇 =（偶偶 1/ 解：奇 +1/ 奇 =1/

21、 偶+1/ 偶 偶 8， * * 奇（偶 +偶） =偶 * 偶偶。因为偶 * 偶 * 偶是 8 的倍数所以偶+偶是 8 的倍数若是只能 1/6+1/10=1/5+1/1516若是，有; 1/2+1/6=1/3+1/3则和6 为 2 因 因为奇相等不符合题意， 。16此本题答案是 九、位值展开式 21.题目一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？ 表示十位数字，ab解：设两位数位（a 表示个位数字）b ab=(10a+b)/(a+b)=(9a)/(a+b)+1 9最大是 18，此时余数为a+b b=9 13 余数为若余数为 4 a=9 ，若当 a+b=17 a=9122.个非零数字1

22、5 b=9此时余数最大。3 由若 a+b=16当，若余数为题目余数为 的最大值是多少？K 是整数，那么K个数字之和的商记为3 。如果K 组成的三位数与这 表示百位数字，abc（ a 表示个位数字）c 表示十位数字，b 解：设这个数为 尽可能大，=K a+b+cabc/（）a (100a+10b+c)/(a+b+c)=K那么就要让要使这个算式最大， b,c）711/ 7+1+1（=81,1（811/ 8+1+1）=82,9）（ 911/试一下：尽可能的小。 9+1+1， 最大是=79K ，所以。79 - - 23.DE，再用ABC和一个两位，40，23，5，7，9 这5 个数组成一个三位数用 1

23、，题目 数 ABCDEFGHIJ。求算式FGH和一个两位IJ 个数组成一个三位数6，8 这 5 的计算结果 数 的最大值。 ABC*DE-FGH*IJ 这个算式最大就要使ABC*DE最大， FGH*IJ 最小。那么前面最大是解：要使 751*93-468*20=60483。那么算式的最小值是。后面最小是468*20 751*93 十、“估计 +构造” “估计 +构造”是解离散最值问题的一种常用方法，要求某个离散最值，先估计该量的上界或下界，然后构造出一个实例说明此上界或下界能够达到，这样便求出了这个量的最大值或最小值。 题目 24.把 1 ， 2， 3，, ，12 填在左下图的 12 个圆圈里

24、，然后将任意两个相邻的数相 加， 得到一些和，要使这些和都不超过整数 n， n 至少是多少？为什么？并请你设计一种填法，满足你的结论。 解：因为 1+2 3, 12=78， 78212 13，所以 n13。又考虑到与 12 相邻的数最小是 1 和 2，所以 n 至少是 14。右上图是一种满足要求的填法。 十一、转化与对称思想 . 在转化思想是数学思想之一，把复杂问题转化成简单问题，从而达到解决问题的目的 . 在平面上有两个点 A、B，把 A、B 用线连结起来有许多种方法，可用线段、弧线、折线等 AB 的长叫 A、B 两点间的距离。这无穷多种连结方法中，线段最短，因而我们也称线段 N点放上食品，

25、在长方体侧面我们可以做一个有趣的实验：在一个长方体的上面ABCD 4），我们AD点放一只蚂蚁（如图 3），蚂蚁从侧面经过棱到 N 有无穷多种走法（如图上 M 关心的问题是蚂蚁怎样走路程最短？ MN则不经过棱 AD，与条件不符 . 为在这个立体图形中找出答案是很困难的，直接连结 MN交 AD于 P. 由公理，两点之间线段最了使问题简化，我们将长方体展成平面图形，连结 短，可知蚂蚁从 M点沿直线 MP爬到 P 后，再由 P 点沿直线 PN爬到 N 时走过的路程最短。 题目 25. 如图 11 某次划船比赛规定从 A 点出发，先到左岸然后到右岸然后再到B 点，时间 .少者取胜 . 请你设计一条航线，

26、使船走的路程最短 由于两点间的距离线段最短，我们想办法把问题转化为求两点距离问题。 - - 如图，找到 A点关于左岸的轴对称点， B 点关于右岸的轴对称点，连结AB，与左 岸、右岸分别有交点C、 D，沿折线ACDB航行就是最短航线。 十二、学写说理题 题目 26. 23 个不同的自然数的和是4845。问：这 23 个数的最大公约数可能达到的最大的 值是多少？写出你的结论，并说明理由。 .17 。 解：设这 23 个彼此不同的自然数为 a1，a2，, ， a22， a23， 并且它们的最大公约数是d，则 a1=db1， a2=db2，, ， a22=db22， a23=db23。 依题意，有 4

27、845=a1+a2+,+a22+a23 =d（b1+b2+,+b22+b23）。 因为 b1， b2，, ， b22， b23 也是彼此不等的自然数，所以 b1+b2+,+b231+2+,+23=276。 因为 4845=d （b1+b2+,+b22+b23） 276d，所以 又因为 4845=191715，因此 d 的最大值可能是17。 当 a1=17，a2=172，a3=173，, ，a21=1721，a22=1722，a23=1732 时，得 a1+a2+,+a22+a23 =17（ 1+2+,+22）+1732 =17253+1732=17285= 4845。 而（ a1， a2，,

28、， a22， a23） =17。所以 d 的最大值等于 17。 解题在于实践： 题目 27.设 a， a， a， a，a， a 是 1 到 9 中任意 6 个不同的正整数，并且 a aa 335141262a a a。试用这 6 个数分别组成 2 个三位数，使它们的乘积最大。 645 分析与解：由于a1，, ， a6 具体大小不清楚，因此先取特殊数1， 2， 3， 4，5， 6 这 6 个不同的数考虑。 要使 2 个三位数的乘积最大，必须使这2 个数的百位数最大， 应分别是 6， 2， 1。5；而十位数次大，应分别为4， 3，个位数最小，应分别为 因为当 2 个数之和一定时，这2 个数之差越小，它们的乘积越大，所以这2 个数是 631 。和 542 - - 题目 28. 8 个互不相同的正整数的总和是56，如果去掉最大的数及最小的数，那么剩下的 数的总和是 44。问：剩下的数中，最小的数是多少？ 解：因为最大数与最小数的和是56 44=12，所以最大数不会超过