最值问题解题思路奥数.docx
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最值问题解题思路奥数
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马到成功奥数专题:
离散最值
引言:
在国内外数学竞赛中,常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题,我们
称之为离散最值问题。
解决这类非常规问题,尚无统一的方法,对不同的题目要用不同的策
略和方法,就具体的题目而言,大致可从以下几个方面着手:
1.着眼于极端情形;
2.分析推理——确定最值;
3.枚举比较——确定最值;
4.估计并构造。
离散最值问题渗透到小升初的各个奥数专题中,学好它可为解决数论,计数,应用问题等打
下扎实的基础。
一、从极端情形入手
从极端情形入手,着眼于极端情形,是求解最值问题的有效手段。
题目1.10个,这些小球的大小均相同,红色一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各
小球上标有数字“4”,黄色小球上标有数字“5”,绿色小球上标有数字“6”。
小明从袋
8个球,它们的数字和是39,其中最多可能有多少个球是红色的?
中摸出
解:
假设摸出的8个球全是红球,则数字之和为(4×8=)32,与实际的和39相差7,这是
因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。
6-4=)2,用一个黄球换一个红球,数字和可增加用一个绿球换一个红球,数字和可增加(
7÷2=3,,1,因此可用(5-4=)1。
为了使红球尽可能地多,应该多用绿球换红球,现在3
839。
所以要使个8个球的数字之和正好等于个绿球换红球,再用一个黄球换红球,这样
8-3-1=)4个是红球。
球的数字之和为39,其中最多可能有(
有题目2.13个不同正整数,它们的和是100。
问其中偶数最多有多少个?
最少有多少个?
100是偶数,所以只能少解:
①2+4+6+8+10+12+14+16=72还要有5个奇数,但和是奇数,
一个偶数,2+4+6+8+10+12+14=56100-56=4242=1+3+5+7+9+17,最多有7个偶数。
②1+3+5+7+9+11+13+15=64还要5个偶数,100-64=3636=2+4+6+8+16最少有5个偶数。
题目3.一种小型天平称备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码。
为了能称出1克到
91克的任意一种整数克重量,如果只允许在天平的一端放砝码,那么最少需要准备砝码多少个。
解:
要能称出1克到91克的任意一种整数克重量,要有9个9克、1个5克、1个3克、2
个1克,它们的和是91,这样即可。
需要9+1+1+2=13个。
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4.7”和“0”以及加法键尚能使用,因此一台计算器大部分按键失灵,只有数字“题目
77,7077和0的数,并且进行加法运算。
为了显示出222222,最这样只含数字可以输入
”键多少次?
少要按“7
222222-70000*3=122227个713个12222-7000*1=5222按下了按下了
5222-700*7=322322-70*4=4267个77个442-7*6=0按下了按下了按下了
3+1+7+4+6=21。
个7次
二、枚举法与逐步调整
当我们在有限数中求最大(或最小)值时,枚举法是常用基本方法之一。
这种方法的大
意是:
将问题所涉及的对象一一列出,逐一比较从中找出最值;或者将与问题相关的各种
情况逐一考察,最后归纳出需要的结论。
题目5.将6,7,8,9,10按任意次序写在一个圆周上,每相邻两数相乘,并将所得得5
个乘积相加,那么所得和数的最小值是多少?
10,旁边添6和7,这样积小一些。
于是有解:
要使乘积最小,就要每个数尽可能小。
对于
两种添法:
----------------------------------------------
题目6.某公共汽车从起点开往终点站,中途共有13个停车站。
如果这辆公共汽车从起点
站开出,除终点站外,每一站上车的乘客中,正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站,
那么为了使每位乘客都有座位,这辆公共汽车至少应有多少个座位?
解法1:
只需求车上最多有多少人。
依题意列表如下:
由上表可见,车上最多有56人,这就是说至少应有56个座位。
说明:
本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的,座位最少有多少,取决于什么时候车上人数最多,要保证乘客中每人都有座位,应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。
所以,
我们不能只看表面现象,误认为有了“至少”就是求最小数,而应该把题意分析清楚后再作判断。
解法2:
因为车从某一站开出时,以前各站都有同样多的人数到以后各站(每站1人),
这一人数也和本站上车的人数一样多,因此
车开出时人数=(以前的站数+1)×以后站数
=站号×(15-站号)。
因此只要比较下列数的大小:
1×14,2×13,3×12,4×11,5×10,
6×9,7×8,8×7,9×6,10×5,
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,×2×4,1311。
×112×3,14
56人,所以是最大值,也就是车上乘客最多时的人数是×7×8和87由这些数,得知
个座位。
它应有56
说明:
此题的两种解法都是采用的枚举法,枚举法是求解离散最值问题的基本方法。
这种方法的大意是:
将问题所涉及的对象一一列出,逐一比较从中找出最值;或者将与问题相关的各种情况逐一考察,最后归纳出需要的结论。
题目7.
18-2所示得2*8方格表中,第一行得8个方格内依次写着1、2、3、4、5、6、7、8。
在如图
88按适当得顺序分别填入第二行的个方格内,使得每列51、2、3、4、、6、7、如果再把
两数的个差数两两不同,那么第二行所显示的八位数最大可能值是多少?
8
个差分别是0,1,2,3,4,5,6,7,和为28,分成两组,每组14。
8和7必然解:
这8
填在1,2两个方格内。
前两列的差是和5,第3个如果填6,那么7+5+3超过14,所以7
4,填6就会有重复。
数字5,此时3个差为7、5、2,和为14,第4个格子只能填只能填
6只能填在第7格,再凑一凑即可得出87541362。
三、从简单情形入手
解决复杂问题可以从简单问题入手,经过分析得出规律,也就找到了解决复杂问题的方法。
题目8.从1234567891011,99100中划去100个数字,其他数字顺序不变,求剩下数中的
最大数和与最大数位数相同的最小数。
将此题简化为从12345678910中划去9个数字.利用枚举法不难得出剩下的两分析与解
10,也就是在求最大数时,高位上的数字尽可能取大数字;求位数最大数为91,最小数为
;从912345678910中划去10个数字剩下最小数时,高位上尽可能取小数字。
本题中从
111213,484950中划去76个数字剩下4个9;再从51525354555657585960中划去14个数
785960,从而得到所求的最大数9999978596061,99100。
求最小值字剩下尽可能大的数是
时,从12345678910中划去9个数字剩下10,从11121314,484950中划去76个数字剩下4
个0,再从51525354555657585960中划去15个数字剩下尽可能小的数12340,从而得到所
。
求最小数100000123406162,99100
将1,2,3,题目9.,,49,5010组,每组5个数。
在每一组中,数值居中的任意分成
10个中位数之和的最大值与最小值。
那个数称为“中位数”。
求这
解:
{1,2,3,49,50}{4,5,6,47,48},,{2829,30,31,32},
(最小值)3+6+,,+30=165
{1,2,48,49,50}{3,4,45,46,47},,{1920,21,22,23},
(最大值)48+45+,,+21=345
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四、和一定问题
1+9=10→1×9=910的两个自然数,它们的积的最大值是什么?
我们知例如,和为
2+8=10→2×8=165个不同道和为10的自然数共有5对,每对自然数乘积后又得到
3+7=10→3×7=21的数,如下表:
4+6=10→4×6=24
5+5=10→5×5=25
由此我们得到,当这两个自然数都取5时积有最大值25。
成立。
也就是和一定时差最小乘积越大。
题目10.
有3条线段a,b,c,线段a长2.12米,线段b场2.71米,线段c长3.53米。
如图18-1,
以它们作为上底、下底和高,可以作出3个相同的梯形。
问第几号梯形的面积最大?
解:
由于梯形体积=(上底+下底)*高/2在和一定的情况下,要使乘积最大,让两个数越接近。
可见a+b与c十分接近,所以③的面积最大。
题目11.如果将进货单价为40元的商品按50元售出,那么每个的利润是10元,但只能卖出
500个。
当这种商品每个涨价1元时,其销售量就减少10个。
为了赚得最多的利润,售价应定为多少?
解:
设每个商品售价为(50+x)元,则销量为(500-10X)个。
总共可以获利
(50+x-40)×(500-10x)
=10×(10+X)×(50-X)(元)。
因(10+x)+(50-x)=60为一定值,故当10+X=50-X即X=20时,它们的积最大。
此时,每个的销售价为50+20=70(元)
题目12.用3,4,5,6,7,8六个数字排成三个两位数相乘,要求它们的乘积最大。
应该
怎样排列?
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【分析与解】十位数字分别是8、7、6,8>7>6,个位数字分别是5,4,3,5>4>3,依据“接
近原则”,大小搭配可得83×74×65,三个数最接近因而它们的乘积最大。
综上数例,可以归纳出这样的规律:
较大数后配较小的数,较小的数后配较大的数,这样才能使
数之间更为接近,从而保证乘积最大。
简单地说就是:
数越接近,乘积越大。
........
这样才较小的数后配较大的数,较大数后配较小的数,能:
综上数例,可以归纳出这样的规律
数越接近,乘积越大。
使数之间更为接近,从而保证乘积最大。
简单地说就是:
..
五、积一定的问题
两个变化着的量,如果在变化的过程中,它们的乘积始终保持不变,那么它们的差与和
之间有什么关系呢?
观察下面的表:
我们不难得出如下的规律:
两个变化着的量,如果在变化的过程中,乘积始终保持不变,那么它们的差越小,和就越小。
若它们能够相等,则当它们相等时,和最小。
2144cm,当它的长和宽分别为多少时,它的周长最短?
题目13.长方形的面积为
xcm和ycm,则有解:
设长方形的长和宽分别为
xy=144。
x=y=12时,x+y2(x+y)也有最小值。
有最小值,从而长方形周长故当
题目14.农场计划挖一个面积为432m的长方形养鱼池,鱼池周围两侧分别有3m4m的2
和堤堰如下图所示,要想占地总面积最小,水池的长和宽应为多少?
解:
如图所示,设水池的长和宽分别为xm和ym,则有
xy=432。
占地总面积为S=(x+6)(y+8)cm。
于是2
S=Xy+6y+8X+48=6y+8X+480。
6y×8X=48×4326y=8X时,S最小,此时有6y=8X=144,故为一定值,故当我们知道
。
y=24,x=18
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六、从整体入手
从整体抓住数据的本质特征进行分析,较易突破难点。
题目15.在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加
号或一个减号,组成一个算式。
要求:
(1)算式的结果等于37;
(2)这个算式中的所有
减数(前面添了减号的数)的乘积尽可能地大。
那么,这些减数的最大乘积是多少?
题目16.在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1这10个数的每相邻两个数之间都添上一
个加号或一个减号,组成一个算式。
要求:
(1)算式的结果等于37;
(2)这个算式中的
所有减数(前面添了减号的数)的乘积尽可能地大。
那么,这些减数的最大乘积是多少?
解:
把10个数都添上加号,它们的和是55,如果把其中一个数的前面的加号换成减号,
使这个数成为减数,那么和数将要减少这个数的2倍。
18÷2=9。
对于大于2的数来说,因为55-37=18,所以我们变成减数的这些数之和是
两数之和总是比两数乘积小,(不包括为了使这些减数的乘积尽可能大,减数越多越好)。
1
9最多可拆成三数之和2+32×3×4=24,添上加、减+4=9,因此这些减数的最大乘积是
号的算式是
75-4-3-2+1=37。
8++9++610+
七、抓不等关系
题目17.某校决定出版“作文集”,费用是30册以内为80元,超过30册的每册增加1.20
元。
当印刷多少册以上时,每册费用在1.50元以内?
解:
显然印刷的册数应该大于30。
设印刷了(30+x)册,于是总用费为(80+1.2x)元。
故有
80+1.2x≤1.530+x),×(
答案:
117+30=147以内。
3袋的总和都超过60块。
那么这418.有4袋糖块,其中任意袋糖块的总和最少有多题目
少块?
解:
要使其中任意3袋的总和都超过61,先在每袋中放20个糖块,块,那么至少也是60
但任意3袋中至少一个21,否则就无法超过3袋中至少一个21,这4个袋子。
要使任意60
的糖块分别是20,20,21,21。
和为20+20+21+21=82
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八、抓相等关系
米的,他们的平均身高是米。
其中有一些低于1.519.10位小学生的平均身高是1.5题目
1.5米。
那么最多有多少位同学的身高恰好是1.5米的平均身高是1.71.2米;另一些高于
米?
米的人越少,设高于米,就要使低于和高于1.5:
要最多有多少位同学的身高恰好是1.5解
那么最多有至少是5人和低于的人分别为a,b。
可得:
1.2a+1.7b=1.5(a+b)2b=3a
米。
1.510-5=5位同学的身高恰好是----------------------------------------------
个是偶数,而且个奇数、个不同的真分数的分子都是22题目20.4,它们的分母只有12
个分母是偶数的分数之和相等。
个分母是奇数的分数之和与2小明这样的奇数和偶数很多,
希望这样的偶数尽量地小,那么这个和的最小可能值是多少?
)/+偶偶/奇=(偶偶1/解:
奇+1/奇=1/偶+1/×偶偶
8,**奇(偶+偶)=偶*偶偶。
因为偶*偶*偶是8的倍数所以偶+偶是8的倍数若是只能
1/6+1/10=1/5+1/1516若是,有;1/2+1/6=1/3+1/3则和6为2因因为奇相等不符合题意,
。
16此本题答案是
九、位值展开式
21.题目一个两位数被它的各位数字之和去除,问余数最大是多少?
表示十位数字,ab解:
设两位数位(a表示个位数字)b
ab=(10a+b)/(a+b)=(9a)/(a+b)+1
9]最大是18,此时余数为a+b
b=913余数为若余数为4a=9,若当a+b=17a=9122.个非零数字15b=9此时余数最大。
3由若a+b=16当,若余数为题目余数为
的最大值是多少?
K是整数,那么K个数字之和的商记为3。
如果K组成的三位数与这
表示百位数字,abc(a表示个位数字)c表示十位数字,b解:
设这个数为
尽可能大,=Ka+b+cabc/()a(100a+10b+c)/(a+b+c)=K那么就要让要使这个算式最大,
b,c)711/7+1+1(=81,,1(811/8+1+1)=82,,9)(911/试一下:
尽可能的小。
9+1+1,,
最大是=79K,所以。
79
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23.DE,再用ABC和一个两位,,40,23,5,7,9这5个数组成一个三位数用1,题目
数ABC×DE—FGH×IJ。
求算式FGH和一个两位IJ个数组成一个三位数6,8这5的计算结果
数的最大值。
ABC*DE-FGH*IJ这个算式最大就要使ABC*DE最大,FGH*IJ最小。
那么前面最大是解:
要使
751*93-468*20=60483。
那么算式的最小值是。
后面最小是468*20751*93
十、“估计+构造”
“估计+构造”是解离散最值问题的一种常用方法,要求某个离散最值,先估计该量的上界或下界,然后构造出一个实例说明此上界或下界能够达到,这样便求出了这个量的最大值或最小值。
题目24.把1,2,3,,,12填在左下图的12个圆圈里,然后将任意两个相邻的数相
加,
得到一些和,要使这些和都不超过整数n,n至少是多少?
为什么?
并请你设计一种填法,满足你的结论。
解:
因为1+2+3+,+12=78,78×2÷12=13,所以n≥13。
又考虑到与12相邻的数最小是
1和2,所以n至少是14。
右上图是一种满足要求的填法。
十一、转化与对称思想
.在转化思想是数学思想之一,把复杂问题转化成简单问题,从而达到解决问题的目的
.在平面上有两个点A、B,把A、B用线连结起来有许多种方法,可用线段、弧线、折线等
AB的长叫A、B两点间的距离。
这无穷多种连结方法中,线段最短,因而我们也称线段
N点放上食品,在长方体侧面我们可以做一个有趣的实验:
在一个长方体的上面ABCD
4),我们AD点放一只蚂蚁(如图3),蚂蚁从侧面经过棱到N有无穷多种走法(如图上M
关心的问题是蚂蚁怎样走路程最短?
MN则不经过棱AD,与条件不符.为在这个立体图形中找出答案是很困难的,直接连结
MN交AD于P.由公理,两点之间线段最了使问题简化,我们将长方体展成平面图形,连结
短,可知蚂蚁从M点沿直线MP爬到P后,再由P点沿直线PN爬到N时走过的路程最短。
题目25.如图11某次划船比赛规定从A点出发,先到左岸然后到右岸然后再到B点,时间
.少者取胜.请你设计一条航线,使船走的路程最短
由于两点间的距离线段最短,我们想办法把问题转化为求两点距离问题。
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如图,找到A点关于左岸的轴对称点,B点关于右岸的轴对称点,连结A′B′,与左
岸、右岸分别有交点C、D,沿折线ACDB航行就是最短航线。
十二、学写说理题
题目26.23个不同的自然数的和是4845。
问:
这23个数的最大公约数可能达到的最大的
值是多少?
写出你的结论,并说明理由。
.17。
解:
设这23个彼此不同的自然数为
a1,a2,,,a22,a23,
并且它们的最大公约数是d,则
a1=db1,a2=db2,,,a22=db22,a23=db23。
依题意,有
4845=a1+a2+,+a22+a23
=d(b1+b2+,+b22+b23)。
因为b1,b2,,,b22,b23也是彼此不等的自然数,所以
b1+b2+,+b23≥1+2+,+23=276。
因为4845=d(b1+b2+,+b22+b23)≥276×d,所以
又因为4845=19×17×15,因此d的最大值可能是17。
当a1=17,a2=17×2,a3=17×3,,,a21=17×21,a22=17×22,a23=17×32时,得
a1+a2+,+a22+a23
=17×(1+2+,+22)+17×32
=17×253+17×32=17×285=4845。
而(a1,a2,,,a22,a23)=17。
所以d的最大值等于17。
解题在于实践:
题目27.设a,a,a,a,a,a是1到9中任意6个不同的正整数,并且a<a<a<335141262a<a<a。
试用这6个数分别组成2个三位数,使它们的乘积最大。
645
分析与解:
由于a1,,,a6具体大小不清楚,因此先取特殊数1,2,3,4,5,6这6
个不同的数考虑。
要使2个三位数的乘积最大,必须使这2个数的百位数最大,应分别是6,
2,1。
5;而十位数次大,应分别为4,3,个位数最小,应分别为
因为当2个数之和一定时,这2个数之差越小,它们的乘积越大,所以这2个数是631
。
和542
---
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题目28.8个互不相同的正整数的总和是56,如果去掉最大的数及最小的数,那么剩下的
数的总和是44。
问:
剩下的数中,最小的数是多少?
解:
因为最大数与最小数的和是56-44=12,所以最大数不会超过