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1、知识梳理与训练第九章 平面解析几何 第7节 抛物线第7节抛物线最新考纲1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知 识 梳 理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：M|MF|d(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y22px (p0)y2px(p0)x22py(p0)x2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y0x0焦点F

2、FFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下微点提醒1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0，也称为抛物线的焦半径.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物

3、线一定相切.()(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.()解析(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程yax2(a0)可化为x2y，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是y.(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.(4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(选修21P72A1改编)顶点在原点，且过点P(2，3)的抛物线的标准方程是_.解析设抛物线的标准方程是y2kx或x2my，代入点

4、P(2，3)，解得k，m，所以y2x或x2y.答案y2x或x2y3. (选修21P67A3改编)抛物线y28x上到其焦点F距离为5的点的个数为_.解析设P(x1，y1)，则|PF|x125，得x13，y12.故满足条件的点的个数为2.答案24.(2018黄冈联考)已知方程y24x表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线xm的距离为4，则m的值为()A.5 B.3或5 C.2或6 D.6解析抛物线y24x的焦点为F(1，0)，它与直线xm的距离为d|m1|4，m3或5.答案B5.(2019福州调研)设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4 B.6 C.8 D.1

5、2解析如图所示，抛物线的准线l的方程为x2，F是抛物线的焦点，过点P作PAy轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|426，所以点P到焦点的距离|PF|PB|6.故选B.答案B6.(2019昆明诊断)已知抛物线方程为y28x，若过点Q(2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_.解析设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，当k0时，显然满足题意；当k0时，(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k0或0k1，因此k的取值范围是1，1.答案1，1考点一

6、抛物线的定义及应用【例1】 (1)(2019厦门外国语模拟)已知抛物线x22y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|BF|2，则y1xy2x()A.4 B.6 C.8 D.10(2)(2019豫南九校联考)若抛物线y24x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x4y70的距离之和的最小值是()A.2 B. C. D.3解析(1)由抛物线定义知|AF|y1，|BF|y2，|AF|BF|y1y22，又知x2y1，x2y2，xx2(y1y2)4，y1xy2x(y1y2)(xx)246.(2)由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距

7、离，由抛物线y24x及直线方程3x4y70可得直线与抛物线相离，点P到准线l的距离与点P到直线3x4y70的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x4y70的距离，即2.答案(1)B(2)A规律方法应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0|或|PF|y0|.【训练1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_.(2)(2017全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.解析

8、(1)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.(2)如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知，F(2，0)，|FO|AO|2.点M为FN的中点，PMOF，|MP|FO|1.又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.答案(1)y24x(2)6考点二抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)抛物线C：y24x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当时，

9、AMF的面积为()A.1 B. C.2 D.2(2)已知圆C1：x2(y2)24，抛物线C2：y22px(p0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|，则抛物线C2的方程为()A.y2x B.y2xC.y2x D.y2x解析(1)过M作MP垂直于准线，垂足为P，则，则cos AMP，又0MAF0)，圆心C1(0，2)到直线AB的距离d，解得k2，由得或把代入抛物线方程，得2p，解得p，所以抛物线C2的方程为y2x.答案(1)C(2)C规律方法1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以

10、确定抛物线的标准方程.2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练2】 (1)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为_.(2)已知点A(3，0)，过抛物线y24x上一点P的直线与直线x1垂直相交于点B，若|PB|PA|，则P的横坐标为()A.1 B. C.2 D.解析(1)设A，B在准线上的射影分别为A1，B1，由于|BC|2|BF|2|BB1|，则直线的斜率为，故|AC|2|AA1|6，从而|BF|1，|AB

11、|4，故，即p，从而抛物线的方程为y23x.(2)由抛物线定义知：|PB|PF|，又|PB|PA|，所以|PA|PF|，所以xP2(PFA为等腰三角形).答案(1)y23x(2)C考点三直线与抛物线的位置关系多维探究角度1直线与抛物线的公共点(交点)问题【例31】 (2016全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.解(1)如图，由已知得M(0，t)，P，又N为M关于点P的对称点，故N，故直线ON的方程为yx，将其代入y

12、22px整理得px22t2x0，解得x10，x2，因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt).代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点.角度2与抛物线弦长有关的问题【例32】 (2019武汉调研)已知抛物线C：x22py(p0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.解(1)可设AB：yk

13、x1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入抛物线C，得x22pkx2p0，显然方程有两不等实根，则x1x22pk，x1x22p.又x22py得y，则A，B处的切线斜率乘积为1，则有p2.(2)设切线AN为yxb，又切点A在抛物线y上，y1，b，切线AN的方程为yANx，同理切线BN的方程为yBNx.又N在yAN和yBN上，解得N.N(pk，1).|AB|x2x1|，点N到直线AB的距离d，SABN|AB|d2，24，p2，故抛物线C的方程为x24y.规律方法1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.2.有关直线与抛物线的弦长问题，要

14、注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】 (2017全国卷)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A.16 B.14 C.12 D.10解析抛物线C：y24x的焦点为F(1，0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k

15、，则l2直线的斜率为，故l1：yk(x1)，l2：y(x1).由消去y得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x22，由抛物线定义可知，|AB|x1x224.同理得|DE|44k2，|AB|DE|84k28216.当且仅当k2，即k1时取等号.故|AB|DE|的最小值为16.答案A思维升华1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).2.明确p的几何意义焦点F到准线距离，简称焦准距，抛物线y22px(p0)上的点常设为，便于简化计算.3.重视抛物线的定义在解题中的应

16、用(1)凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理.(2)若P(x0，y0)为抛物线y22px(p0)上一点，由定义易得|PF|x0；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|x1x2p，x1x2可由根与系数的关系整体求出，若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似的得到.易错防范1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分yax2(a0)与y22px(p0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0).2.直线与抛物线结合的问题，不要忘

17、记验证判别式.数学抽象活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题.本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结论即为具体表现之一.2.设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2.(2)y1y2p2.(3)|AB|x1x2p(是直线AB的倾斜角).(4)为定值(F是抛物线的焦点).【例1】 过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|2|BF|，则|AB|等于()A.4 B. C.5 D.6一般解法易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为

18、yk(x1).由得k2x2(2k24)xk20，得xAxB1，因为|AF|2|BF|，由抛物线的定义得xA12(xB1)，即xA2xB1，由解得xA2，xB，所以|AB|AF|BF|xAxBp.应用结论法一由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BEAD于E，设|BF|m，直线l的倾斜角为，则|AB|3m，由抛物线的定义知|AD|AF|2m，|BC|BF|m，所以cos ，所以tan 2.则sin28cos2，sin2.又y24x，知2p4，故利用弦长公式|AB|.法二因为|AF|2|BF|，1，解得|BF|，|AF|3，故|AB|AF|BF|.答案B【例2】

19、 设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.一般解法由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y，即4x4y30.与抛物线方程联立，化简得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|6.应用结论由2p3，及|AB|得|AB|12.原点到直线AB的距离d|OF|sin 30，故SAOB|AB|d12.答案D【例3】 (2019益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|4，则线段AB的长为()A.5 B.

20、6C. D.一般解法如图，设l与x轴交于点M，过点A作ADl交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由F是AC的中点，知|AD|2|MF|2p，所以2p4，解得p2，所以抛物线的方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1x114，所以x13，可得y12，所以A(3，2)，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k，所以直线AF的方程为y(x1)，代入抛物线方程y24x得3x210x30，所以x1x2，|AB|x1x2p.故选C.应用结论法一设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1x114，所以x13，又x1x21，所以x2，所以|AB|x1x2p32.法

21、二因为，|AF|4，所以|BF|，所以|AB|AF|BF|4.答案C基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019吴忠模拟)抛物线y4x2的焦点到准线的距离为()A.2 B.1 C. D.解析由y4x2得x2y，所以2p，p，则抛物线的焦点到准线的距离为.答案D2.(2018抚顺模拟)已知点F是抛物线y22x的焦点，M，N是该抛物线上的两点，若|MF|NF|4，则线段MN的中点的横坐标为()A. B.2 C. D.3解析点F是抛物线y22x的焦点，F，准线方程为x，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，|MF|NF|x1x24，x1x23，线段MN中点的横坐标为.答案A3.设抛物线

22、C：y23x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|3，则直线FA的倾斜角为()A. B.C.或 D.或解析如图，作AHl于H，则|AH|FA|3，作FEAH于E，则|AE|3，在RtAEF中，cosEAF，EAF，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为.答案C4.已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若12，则抛物线C的方程为()A.x28y B.x24yC.y28x D.y24x解析由题意，设抛物线方程为y22px(p0)，直线方程为xmy，联立消去x得y22pmyp20，显然方程有两个不等实根.设A(x1，y1)

23、，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y2p2，得x1x2y1y2y1y2m2y1y2(y1y2)y1y2p212，得p4(舍负)，即抛物线C的方程为y28x.答案C5.(2019河南中原联考)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，且l过点(2，3)，M在抛物线C上，若点N(1，2)，则|MN|MF|的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.5解析由题意知2，即p4.过点N作准线l的垂线，垂足为N，交抛物线于点M，则|MN|MF|，则有|MN|MF|MN|MT|MN|MN|NN|1(2)3.答案B二、填空题6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水

24、位下降1米后，水面宽_米.解析建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0).由题意将点A(2，2)代入x22py，得p1，故x22y.设B(x，3)，代入x22y中，得x，故水面宽为2米.答案27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y26x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足.若直线AF的斜率k，则线段PF的长为_.解析由抛物线方程为y26x，所以焦点坐标F，准线方程为x，因为直线AF的斜率为，所以直线AF的方程为y，当x时，y3，所以A，因为PAl，A为垂足，所以点P的纵坐标为3，可得点P的坐标为，根据抛物线的定义可知|PF|PA|6.答案68.已知双曲线C1：

25、1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为_.解析因为双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，所以2，所以，所以渐近线方程为xy0，因为抛物线C2：x22py(p0)的焦点为F，所以F到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以p8，所以抛物线C2的方程为x216y.答案x216y三、解答题9.已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，即m1时，x1，222.从而|AB|x1x2|4.由题设知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7.所以直线AB的方程为xy70.能力提升题组(