高中数学圆锥曲线的综合问题复习教案.docx

1、高中数学圆锥曲线的综合问题复习教案高中数学圆锥曲线的综合问题复习教案9.8圆锥曲线的综合问题知识梳理1.直线与圆锥曲线C的位置关系：将直线 的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x（或y）的方程ax2bxc0.(1)交点个数：当 a0或a0，0 时,曲线和直线只有一个交点；当 a0,0时,曲线和直线有两个交点； 当0）曲线上两点的中点在对称直线上。3.求动点轨迹方程：轨迹类型已确定的,一般用待定系数法；动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法；一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法。重难点突破重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式

2、；掌握弦中点轨迹的求法； 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的相关范围与最值难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的相关范围与最值问题重难点：综合使用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能求弦长时用韦达定理设而不求;弦中点问题用“点差法”设而不求.2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中使用问题1：已知点 为椭圆 的左焦点，点 ，动点 在椭圆上，则 的最小值为 .点拨：设 为椭圆的右焦点，利用定义将 转化为 ，结合图形， ，当 共线时最小，最小值为 热点考点题型探析考点1直线与圆锥曲线的位置关系题型1

3、：交点个数问题例1 设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A ， B2，2 C1，1 D4，4【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法解析 易知抛物线 的准线 与x轴的交点为Q (2 , 0)，于是，可设过点Q (2 , 0)的直线 的方程为 ，联立 其判别式为 ，可解得 ，应选C.【名师指引】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法（2）直线与圆锥曲线有交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）（3）联立方程组、消元后得到一元二次方

4、程，不但要对 实行讨论，还要对二次项系数是否为0实行讨论【新题导练】1. （09摸底）已知将圆 上的每一点的纵坐标压缩到原来的 ,对应的横坐标不变,得到曲线C；设 ，平行于OM的直线 在y轴上的截距为m(m0),直线 与曲线C交于A、B两个不同点.(1)求曲线 的方程；(2)求m的取值范围.解析（1）设圆上的动点为 压缩后对应的点为 ，则 ，代入圆的方程得曲线C的方程： （2）直线 平行于OM，且在y轴上的截距为m,又 ,直线 的方程为 . 由 , 得 直线 与椭圆交于A、B两个不同点， 解得 .m的取值范围是 .题型2：与弦中点相关的问题例2（08韶关调研）已知点A、B的坐标分别是 ， .直

5、线 相交于点M，且它们的斜率之积为2. ()求动点M的轨迹方程;()若过点 的直线 交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点，求直线 的方程.【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解解析 ()设 ，因为 ,所以 化简得： () 设 当直线 x轴时, 的方程为 ,则 ,它的中点不是N,不合题意设直线 的方程为 将 代入 得(1) (2) (1)(2)整理得： 直线 的方程为 即所求直线 的方程为 解法二： 当直线 x轴时,直线 的方程为 ,则 ,其中点不是N,不合题意.故设直线 的方程为 ,将其代入 化简得 由韦达定理得 ,又由已知N为线段CD的中点,得 ,解得

6、 ,将 代入(1)式中可知满足条件.此时直线 的方程为 ,即所求直线 的方程为 【名师指引】通过将C、D的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁【新题导练】2.椭圆 的弦被点 所平分，求此弦所在直线的方程。解析设弦所在直线与椭圆交于 两点，则， ，两式相减得： ，化简得 ，把 代入得 故所求的直线方程为 ，即 3.已知直线yx1与椭圆 相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x2y0上，求此椭圆的离心率解析

7、 设 ，AB的中点为 ,代入椭圆方程得 ， ,两式相减,得 .AB的中点为 在直线 上， ，而 题型3：与弦长相关的问题例3(山东泰州市联考)已知直线 被抛物线 截得的弦长 为20， 为坐标原点（1）求实数 的值；（2）问点 位于抛物线弧 上何处时， 面积？【解题思路】用“韦达定理”求弦长；考虑 面积的值取得的条件解析（1）将 代入 得 ，由 可知 ，弦长AB ，解得 ；（2）当 时，直线为 ，要使得内接ABC面积，则只须使得 ，即 ，即 位于（4，4）点处【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围【新题导练】4. (山东省济南市高三统一考试)已知椭圆 与直线 相交于两点 （1）当椭圆

8、的半焦距 ，且 成等差数列时，求椭圆的方程；（2）在（1）的条件下，求弦 的长度 ；解析（1）由已知得： ， 所以椭圆方程为： （2） ，由 ，得 （文）已知点 和 ，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线 交于D、E两点，求线段DE的长（文）解：根据双曲线的定义，可知C的轨迹方程为 设 ， ，联立 得 则 所以 故线段DE的长为 考点2：对称问题题型：对称的几何性质及对称问题的求法（以点的对称为主线，轨迹法为基本方法） 【新题导练】例4 若直线l过圆x2y24x2y0的圆心M交椭圆 1于A、B两点，若A、B关于点M对称，求直线l的方程解析 ，设 ，则 又 ， ，两式相减得

9、： ，化简得 ，把 代入得 故所求的直线方程为 ，即 所以直线l的方程为 ：8x9y250.5.已知抛物线y22px上有一内接正AOB，O为坐标原点.求证：点A、B关于x轴对称；解析设 ， ， ，即 ， ， ，故点A、B关于x轴对称6.在抛物线y24x上恒有两点关于直线ykx3对称，求k的取值范围.解析 （1）当 时，曲线上不存相关于直线对称的两点（2）当k0时，设抛物线y24x上关于直线对称的两点 ，AB的中点为 ，则直线 直线的斜率为直线 ，可设 代入y24x得 ， 在直线ykx3上， ，代入 得即 ,又 恒成立，所以1k0综合（1）（2），k的取值范围是（1，0）考点3 圆锥曲线中的范围

10、、最值问题题型：求某些变量的范围或最值例5已知椭圆 与直线 相交于两点 当椭圆的离心率 满足 ，且 （ 为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围【解题思路】通过“韦达定理”沟通a与e的关系解析由 ，得 由 ，得 此时 由 ，得 ， 即 ，故 由 ，得 由 得 ， 所以椭圆长轴长的取值范围为 【名师指引】求范围和最值的方法：几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值【新题导练】7. 已知P是椭圆C： 的动点，点 关于原点O的对称点是B，若|PB|的最小值为 ，求点P的横坐标的取值范围。解析由 ，设 ， ，解得 或 又 或 8. 定长为3的

11、线段AB的两个端点在抛物线 上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标 解析 设 ， ，因AB与x轴不平行，故可设AB的方程为 ，将它代入 得 由 得 即 ， 将 代入得 当且仅当 即 时取等号，此时， 所以，点M 为 或 时，到y轴的最短距离最小，最小值为 9.直线m：ykx1和双曲线x2y21的左支交于A，B两点，直线 过点P（2，0）和线段AB的中点M，求 在y轴上的截距b的取值范围 解析 由 消去y得： 解得 设M（x0，y0）则 三点共线 令 上为减函数.10.已知椭圆 ，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求 的最小值

12、；（2）求|PA|PB|的最小值和值解析（1）最小值为 （2）值为10|BC| ；最小值为10|BC| 考点4 定点，定值的问题题型：论证曲线过定点及图形（点）在变化过程中存有不变量例6 已知P、Q是椭圆C： 上的两个动点， 是椭圆上一定点， 是其左焦点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系证明：设 知同理 当 ，从而有 设PQ的中点为 ，得线段PQ的中垂线方程为 当 线段PQ的中垂线是x轴，也过点 【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法：（1）从特殊入手，求

13、出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关;（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）【新题导练】11.已知抛物线C的方程为yx22m2x(2m21) (mR)，则抛物线C恒过定点 解析(1,0) 令x1得y012.试证明双曲线 1（a0，b0）上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数.解析 双曲线上任意一点为 ，它到两渐近线的距离之积 考点6 曲线与方程题型：用几种基本方法求轨迹方程例7已知抛物线C： y24x，若椭圆左焦点及相对应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；【解题思路】探求动点满足的几何关系，在转化为方

14、程解析由抛物线y24x,得焦点F(1,0),准线 x1 (1)设P(x,y)，则B(2x1,2y),椭圆中心O,则|FO|BF|e,又设点B到l的距离为d,则|BF|de,|FO|BF|BF|d,即(2x2)2(2y)22x(2x2),化简得P点轨迹方程为y2x1(x1)名师指引 求曲线方程的方法主要有：直接法、定义法、代入法、参数法，本题用到直接法，但题目条件需要转化【新题导练】13.点P为双曲线 上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，则点M的轨迹方程是 .解析 相关点法14.过双曲线C： 的右焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点， ,求点M的轨迹方程解析右焦点（2，0），设 得 ，

15、，直线l的斜率 又 , ,两式相减得 ,把 ， ， 代入上式得 15.已知动点 与双曲线 的两个焦点 、 的距离之和为定值，且 的最小值为 求动点 的轨迹方程； 解析（1）由条件知，动点 的轨迹为椭圆，其中半焦距为 ，点P在y轴上时 ，由余弦定理得 ，动点 的轨迹方程 16. (广东实验中学)已知圆C： .(1)直线 过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若 ，求直线 的方程；(2)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量 ，求动点 的轨迹方程.(3) 若点R(1,0)，在（2）的条件下，求 的最小值.解析（1）当直线 垂直于 轴时，则此时直线方程为 ， 与圆的两

16、个交点坐标为 和 ，其距离为 ，满足题意 1分若直线 不垂直于 轴，设其方程为 ，即 2分设圆心到此直线的距离为 ，则 ，得 ， ，4分故所求直线方程为3x4y50综上所述，所求直线为3x4y50或x1 5分(2)设点M的坐标为(x0,y0)，Q点坐标为(x,y)则N点坐标是(x0, 0) ， 即 ， 7分又 ， 9分直线m /y轴，所以， , 点的轨迹方程是 ( )10分（3）设Q坐标为(x,y)， ， ，11分又 ( )可得： .13分14分课后训练基础巩固训练1. 已知 是三角形的一个内角，且 ，则方程 表示 （A）焦点在x轴上的椭圆 （B）焦点在y轴上的椭圆 （C）焦点在x 轴上的双曲

17、线 （D）焦点在y 轴上的双曲线1.解析 B. 由 知 ，2. 已知点M（3，4）在一椭圆上，则以点M为顶点的椭圆的内接矩形的面积是（ ）（A）12 （B）24 （C）48 （D）与椭圆相关2. 解析 C 由椭圆的对称性可知; 3. 已知点F（ ，直线 ，点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是 （ ）A双曲线 B椭圆 C圆 D抛物线3.解析D. MBMF4. 过双曲线 的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且 ，则这样的直线有_条.4.解析 3； 垂直于实轴的弦长为4,实轴长为2.5. 是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上运动，则 的值是 5.解析

18、; 6. 若双曲线 与圆 有公共点，则实数 的取值范围为 . 6. 解析 综合提升训练7. 已知抛物线 的弦AB经过点P（4，2）且OAOB（O为坐标原点），弦AB所在直线的方程为 7.解析 12x 23y20 记住结论： 8.已知椭圆 ，直线l到原点的距离为 求证：直线l与椭圆必有两上交点.8.解析 证明：当直线l垂直x轴时，由题意知： 不妨取 代入曲线E的方程得： 即G（ ， ），H（ ， ）有两个不同的交点，当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为： 由题意知： 由 直线l与椭圆E交于两点, 综上，直线l必与椭圆E交于两点9. 求过椭圆 内一点A（1，1）的弦PQ的中点M的轨迹方程9.解析

19、解：设动弦PQ的方程为 ，设P（ ），Q（ ），M（ ），则： 得： 当 时， 由题意知 ，即 式与 联立消去k，得 当 时，k不存有，此时， ，也满足故弦PQ的中点M的轨迹方程为： 10 .已知抛物线 过动点M（ ，0）且斜率为1的直线 与该抛物线交于不同的两点A、B若 ,求a的取值范围10 .解析直线 的方程为 ，将 ，得： 设直线 与抛物线的两个不同交点的坐标为 、 ，则 又 ， ， 解得 11. 过抛物线 的焦点作一条斜率为k(k0)的弦，此弦满足：弦长不超过8；弦所在的直线与椭圆3x2 2y2 2相交，求k的取值范围11. 解析：抛物线 的焦点为(1，0)，设弦所在直线方程为 由 得 2分 故 由 ，解得k1由 得 8分由 ，解得k2 |AB|，从而P点的轨迹T是中心在原点，以A、B为两个焦点，长轴在x轴上的椭圆，其中，2a6，2c4，椭圆方程为