高中数学圆锥曲线的综合问题复习教案.docx
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高中数学圆锥曲线的综合问题复习教案
高中数学圆锥曲线的综合问题复习教案
9.8圆锥曲线的综合问题
★知识梳理★
1.直线与圆锥曲线C的位置关系:
将直线的方程代入曲线C的方程,消去y或者消去x,得到一个关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0.
(1)交点个数:
①当a=0或a≠0,⊿=0时,曲线和直线只有一个交点;②当a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点;③当⊿0)③曲线上两点的中点在对称直线上。
3.求动点轨迹方程:
①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法;②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法;③一动点随另一动点的变化而变化,一般用代入转移法。
★重难点突破★
重点:
掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式;掌握弦中点轨迹的求法;理解和掌握求曲线方程的方法与步骤,能利用方程求圆锥曲线的相关范围与最值
难点:
轨迹方程的求法及圆锥曲线的相关范围与最值问题
重难点:
综合使用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题
1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能
①求弦长时用韦达定理设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求.
2.体会数学思想方法(以方程思想、转化思想、数形结合思想为主)在解题中使用
问题1:
已知点为椭圆的左焦点,点,动点在椭圆上,则的最小值为.
点拨:
设为椭圆的右焦点,利用定义将转化为,结合图形,,当共线时最小,最小值为
★热点考点题型探析★
考点1直线与圆锥曲线的位置关系
题型1:
交点个数问题
[例1]设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
A.[-,]B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]
【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法
[解析] 易知抛物线的准线与x轴的交点为Q(-2,0),
于是,可设过点Q(-2,0)的直线的方程为,
联立
其判别式为,可解得,应选C.
【名师指引】
(1)解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法:
一是判别式法;二是几何法
(2)直线与圆锥曲线有交点,不等价于直线与圆锥曲线相切,还有一种情况是平行于对称轴(抛物线)或平行于渐近线(双曲线)
(3)联立方程组、消元后得到一元二次方程,不但要对实行讨论,还要对二次项系数是否为0实行讨论
【新题导练】
1.(09摸底)已知将圆上的每一点的纵坐标压缩到原来的,对应的横坐标不变,得到曲线C;设,平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m≠0),直线与曲线C交于A、B两个不同点.
(1)求曲线的方程;
(2)求m的取值范围.
[解析]
(1)设圆上的动点为压缩后对应的点为,则,
代入圆的方程得曲线C的方程:
(2)∵直线平行于OM,且在y轴上的截距为m,又,
∴直线的方程为.由,得
∵直线与椭圆交于A、B两个不同点,∴
解得.∴m的取值范围是.
题型2:
与弦中点相关的问题
[例2](08韶关调研)已知点A、B的坐标分别是,.直线相交于点M,且它们的斜率之积为-2.(Ⅰ)求动点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点,且N为线段CD的中点,求直线的方程.
【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组,利用韦达定理求解
[解析](Ⅰ)设,
因为,所以化简得:
(Ⅱ)设
当直线⊥x轴时,的方程为,则,它的中点不是N,不合题意
设直线的方程为将代入得
…………
(1)…………
(2)
(1)-
(2)整理得:
直线的方程为即所求直线的方程为
解法二:
当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,
其中点不是N,不合题意.故设直线的方程为,
将其代入化简得
由韦达定理得,
又由已知N为线段CD的中点,得,解得,
将代入
(1)式中可知满足条件.
此时直线的方程为,即所求直线的方程为
【名师指引】通过将C、D的坐标代入曲线方程,再将两式相减的过程,称为代点相减.这里,代点相减后,适当变形,出现弦PQ的斜率和中点坐标,是实现设而不求(即点差法)的关键.两种解法都要用到“设而不求”,它对简化运算的作用明显,用“点差法”解决弦中点问题更简洁
【新题导练】
2.椭圆的弦被点所平分,求此弦所在直线的方程。
[解析]设弦所在直线与椭圆交于两点,则
,,两式相减得:
,
化简得,
把代入得
故所求的直线方程为,即
3.已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:
x-2y=0上,求此椭圆的离心率
[解析]设,AB的中点为,
代入椭圆方程得,,两式相减,得.
AB的中点为在直线上,,
,而
题型3:
与弦长相关的问题
[例3](山东泰州市联考)已知直线被抛物线截得的弦长为20,为坐标原点.
(1)求实数的值;
(2)问点位于抛物线弧上何处时,△面积?
【解题思路】用“韦达定理”求弦长;考虑△面积的值取得的条件
[解析]
(1)将代入得,
由△可知,弦长AB,解得;
(2)当时,直线为,要使得内接△ABC面积,
则只须使得,即,即位于(4,4)点处.
【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围
【新题导练】
4.(山东省济南市高三统一考试)
已知椭圆与直线相交于两点.
(1)当椭圆的半焦距,且成等差数列时,求椭圆的方程;
(2)在
(1)的条件下,求弦的长度;
[解析]
(1)由已知得:
,∴
所以椭圆方程为:
(2),由,得
∴∴
(文)已知点和,动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2,点C的轨迹与直线交于D、E两点,求线段DE的长.
(文)解:
根据双曲线的定义,可知C的轨迹方程为.设,,
联立得.则.
所以.
故线段DE的长为.
考点2:
对称问题
题型:
对称的几何性质及对称问题的求法(以点的对称为主线,轨迹法为基本方法)
【新题导练】
[例4]若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆=1于A、B两点,若A、B关于点M对称,求直线l的方程.
[解析],设,则
又,,两式相减得:
,
化简得,
把代入得
故所求的直线方程为,即
所以直线l的方程为:
8x-9y+25=0.
5.已知抛物线y2=2px上有一内接正△AOB,O为坐标原点.
求证:
点A、B关于x轴对称;
[解析]设,,,
,即,
,,,故点A、B关于x轴对称
6.在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称,求k的取值范围.
[解析]
(1)当时,曲线上不存相关于直线对称的两点.
(2)当k≠0时,设抛物线y2=4x上关于直线对称的两点,AB的中点为,则直线直线的斜率为直线,可设
代入y2=4x得
,
在直线y=kx+3上,,
代入得即,又恒成立,所以-1<k<0.
综合
(1)
(2),k的取值范围是(-1,0)
考点3圆锥曲线中的范围、最值问题
题型:
求某些变量的范围或最值
[例5]已知椭圆与直线相交于两点.当椭圆的离心率满足,且(为坐标原点)时,求椭圆长轴长的取值范围.
【解题思路】通过“韦达定理”沟通a与e的关系
[解析]由,得
由,得此时
由,得,∴
即,故由,得
∴由得,∴
所以椭圆长轴长的取值范围为
【名师指引】求范围和最值的方法:
几何方法:
充分利用图形的几何特征及意义,考虑几何性质解决问题
代数方法:
建立目标函数,再求目标函数的最值.
【新题导练】
7.已知P是椭圆C:
的动点,点关于原点O的对称点是B,若|PB|的最小值为,求点P的横坐标的取值范围。
[解析]由,设
,
,,解得或
又或
8.定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.
[解析]设,,
因AB与x轴不平行,故可设AB的方程为,
将它代入得
由得即
,
将代入得
当且仅当即时取等号,此时,
所以,点M为或时,到y轴的最短距离最小,最小值为.
9.直线m:
y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A,B两点,直线过点P(-2,0)和线段AB的中点M,求在y轴上的截距b的取值范围.
[解析]由消去y得:
解得
设M(x0,y0)则
三点共线
令上为减函数.
10.已知椭圆,A(4,0),B(2,2)是椭圆内的两点,P是椭圆上任一点,求:
(1)求的最小值;
(2)求|PA|+|PB|的最小值和值.
[解析]
(1)最小值为
(2)值为10+|BC|=;最小值为10-|BC|=.
考点4定点,定值的问题
题型:
论证曲线过定点及图形(点)在变化过程中存有不变量
[例6]已知P、Q是椭圆C:
上的两个动点,是椭圆上一定点,是其左焦点,且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。
求证:
线段PQ的垂直平分线经过一个定点A;
【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系
证明:
设知
同理
①当,
从而有设PQ的中点为,
得线段PQ的中垂线方程为
②当
线段PQ的中垂线是x轴,也过点
【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法:
(1)从特殊入手,求出定点和定值,再证明这个点(值)与变量无关;
(2)直接推理、计算,并在计算过程中消去变量,从而得到定点(定值).
【新题导练】
11.已知抛物线C的方程为y=x2-2m2x-(2m2+1)(m∈R),则抛物线C恒过定点
[解析](-1,0)[令x=-1得y=0]
12.试证明双曲线-=1(a>0,b>0)上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数.
[解析]双曲线上任意一点为,
它到两渐近线的距离之积
考点6曲线与方程
题型:
用几种基本方法求轨迹方程
[例7]已知抛物线C:
y2=4x,若椭圆左焦点及相对应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合,试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程;
【解题思路】探求动点满足的几何关系,在转化为方程
[解析]由抛物线y2=4x,得焦点F(1,0),准线x=-1
(1)设P(x,y),则B(2x-1,2y), 椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|=e,
又设点B到l的距离为d,则|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,
即(2x-2)2+(2y)2=2x(2x-2),化简得P点轨迹方程为y2=x-1(x>1)
[名师指引]求曲线方程的方法主要有:
直接法、定义法、代入法、参数法,本题用到直接法,但题目条件需要转化
【新题导练】
13.点P为双曲线上一动点,O为坐标原点,M为线段OP中点,则点M的轨迹方程是.
[解析][相关点法]
14.过双曲线C:
的右焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点,,求点M的轨迹方程.
[解析]右焦点(2,0),设
得,,直线l的斜率
又,,两式相减得,
把,,代入上式得
15.已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值,且的最小值为.求动点的轨迹方程;
[解析]
(1)由条件知,动点的轨迹为椭圆,其中半焦距为,
点P在y轴上时,由余弦定理得,动点的轨迹方程.
16.(广东实验中学)已知圆C:
.
(1)直线过点P(1,2),且与圆C交于A、B两点,若,求直线的方程;
(2)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m,设m与x轴的交点为N,若向量,求动点的轨迹方程.
(3)若点R(1,0),在
(2)的条件下,求的最小值.
解析
(1)①当直线垂直于轴时,则此时直线方程为,与圆的两个交点坐标为和,其距离为,满足题意……1分
②若直线不垂直于轴,设其方程为,即…2分
设圆心到此直线的距离为,则,得
∴,,………4分 故所求直线方程为3x-4y+5=0
综上所述,所求直线为3x-4y+5=0或x=1……………5分
(2)设点M的坐标为(x0,y0),Q点坐标为(x,y)则N点坐标是(x0,0)
∵,∴即,………7分
又∵,∴…………9分
直线m//y轴,所以,,∴点的轨迹方程是()……10分
(3)设Q坐标为(x,y),,,……11分
又()可得:
.………13分
…………14分
★课后训练★
基础巩固训练
1.已知是三角形的一个内角,且,则方程表示
(A)焦点在x轴上的椭圆(B)焦点在y轴上的椭圆
(C)焦点在x轴上的双曲线(D)焦点在y轴上的双曲线
1.[解析]B.由知,
2.已知点M(3,4)在一椭圆上,则以点M为顶点的椭圆的内接矩形的面积是()
(A)12(B)24(C)48(D)与椭圆相关
2.[解析]C[由椭圆的对称性可知];
3.已知点F(,直线,点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是()
A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线
3.[解析]D.[MB=MF]
4.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点,且,则这样的直线有___________条.
4.[解析]3;垂直于实轴的弦长为4,实轴长为2.
5.是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上运动,则的值是.
5.[解析]≤;
6.若双曲线与圆有公共点,则实数的取值范围为.
6.[解析][]
综合提升训练
7.已知抛物线的弦AB经过点P(4,2)且OA⊥OB(O为坐标原点),弦AB所在直线的方程为
7.[解析]12x—23y—2=0记住结论:
8.已知椭圆,直线l到原点的距离为求证:
直线l与椭圆必有两上交点.
8.[解析]证明:
当直线l垂直x轴时,由题意知:
不妨取代入曲线E的方程得:
即G(,),H(,-)有两个不同的交点,
当直线l不垂直x轴时,设直线l的方程为:
由题意知:
由
∴直线l与椭圆E交于两点,综上,直线l必与椭圆E交于两点
9.求过椭圆内一点A(1,1)的弦PQ的中点M的轨迹方程.
9.[解析]解:
设动弦PQ的方程为,设P(),Q(),M(),则:
①②
①-②得:
当时,
由题意知,即③
③式与联立消去k,得④
当时,k不存有,此时,,也满足④.
故弦PQ的中点M的轨迹方程为:
10.已知抛物线.过动点M(,0)且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B.若,求a的取值范围.
10.[解析]直线的方程为,将,
得:
.
设直线与抛物线的两个不同交点的坐标为、,
则又,
∴.
∵,∴.
解得.
11.过抛物线的焦点作一条斜率为k(k≠0)的弦,此弦满足:
①弦长不超过8;②弦所在的直线与椭圆3x2+2y2=2相交,求k的取值范围.
11.解析:
抛物线的焦点为(1,0),设弦所在直线方程为
由 得 2分
∴故
由,解得k≥1
由 得 8分
由,解得k2|AB|,从而P点的轨迹T是中心在原点,以A、B为两个焦点,长轴在x轴上的椭圆,其中,2a=6,2c=4,∴椭圆方程为