知识点归纳总结等差数列.docx

1、知识点归纳总结等差数列知识点归纳总结1.等差数列通项公式a* =a0=递增数列；d cOn递减数列.最值性：Sn=na, + d=n2+佝一)n，Sn表示二次函数，有最值2 2 2当d 0且a, vO， Sn有最小值，若a 0时， 当d 0且ai0, Sn有最大值，若ak卅0时,Sk Sk卅为最小.Q Q 斗戸.亠Sk Sk十为最人2.等比数列通项公式nJ n -m / 亠介an F q =am q (q 式0)求和公式 g (q = 1)Sn =匕(1-qn) -anqr(1)若 m,n, p,q w N*,且m +n = p + q 则 a. % =ap 利,2特别地，当p=q时，an 0

2、m=ap，此时ap是am,an的等比中项 等比数列an的任意连续m项的和构成的数列 Sm,S2m - SmSsm - Szm基本性质仍为等比数列公比为qm.【例题精讲】【1】在等差数列an中，已知a4 a8 =16，则该列前11项和S二（ ）A. 58 B.88 C.143 D.176答案：B【2】已知an为等差数列，若a1 as a ，则cos（a2 a8）的值为（ ）1A.2J3B. 21C. _2、3D.2答案：B【3】已知等差数列an的前n项和为Sn，S4 1 S8且c ，则 =(）3 S161113A.-B.c.D.83910答案：C【4】已知等差数列an的前n项和为Sn ，且S11

3、 = 22 ,则3a1 a21等于（ ）A. 2 B.4 C.8 D.16答案：C【5】已知等差数列an中，a2 = 2, a4 = 8，若abn = 3n -1，则b2013等于（ ） 答案：D【6】已知an为等差数列，a1 a3 a5 = 105,a2 - a4 a 99，以Sn表示an的前n 项和，则使得Sn达到最大值的门是（ ）A. 21 B. 20 C.19 D.18答案：B【7】已知 an为等差数列，若岂：:：-1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn 0的na6的最大值为 答案：11【8】设Sn是公差为d（d=0）的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是（ ）A.若d

4、: 0，则数列Sn有最大项B.若数列Sn有最大项，则d ：0C.若数列Sn是递增数列，则对任意 n N*，均有Sn 0D.若对任意nN*，均有Sn0,则有数列Sn是递增数列答案：C【10】公比为q的等比数列an的各项为正数，且a?a12 = 16,log q a = 7，则公比q =_答案：2【11】设等比数列an的前 n项和为 Sn，若 a2013S2012 - 2010,a2012 =3S2011 2010， 则公比q =（ ）A. 4 B.1 或4 C.2 D.1 或2答案：A1【12】在等比数列an中，已知a4,- a6,24成等比数列且a3吐=64，则a.的前8项 和为 :答案：25

5、5或85【13】设等比数列 匕的前n项和为Sn，若=3，则色二（）S3 S6答案：B【14】已知laj是首项为1的等比数列，Sn是%的前项和，且9S3 = ，则数列丄 的前5项和为（ ）【15】公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn,且- 3a1,-a2,a3成等差数列，若1 ,则 S4 二（ ）A. -20答案：A【16】各项都是正数的等比数列an，若a2a3,a1成等差数列，则包的值是（2 a4 + a5答案：B 1 1【17】已知正项等比数列an满足a2013 = a2012 2a2on,且.am an - 4a1，则6（）的m n最小值为 .答案：4递推数列：数列an的任一项an与它

6、前一项an-1 （或它的前几项）间关系用一个公式表示.解题规律an的求法两类：（1）利用递推关系求出前 n项，然后归纳猜想数列的通项公式（2）利用递推关系的变形，转化为一些特殊数列（等差、等比数列） ，在利用公式求解Sn的求法递推法：常用求和公式：12 +22 +32 + n2 = n(n 1)(2n 1)62 2 -3 小3 小3 3 n (n+1)1 +2 +3 + n = 4裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间项可以相互抵消，从而求得其和1 1 1 1 11 1常见的拆项公式有：（1） 一 （ 2） 一 （一 ）n（n + 1） n n+1 n（n + k） k n n +

7、 k1 1 1 1（3） 1 J 1 1 ）（2n -1）（2 n+1） 2 2n-1 2n +1A（4） l _jn +1Jn +7 n+1（5） n n! = （n +1）! n!（6） log2 -log2 aH -log2 anan错位相减法：适用于由一个等差数列和一个等比数列构成对应项之积构成的数列求和女口：求和 Sn =1 21 +2 22 +3 23 + +n 2n步骤：（1）式子两边同时乘以等比数列公比 2，得到2Sn = 1 22 +2 23 +3 24 +（n1）2n + n 2n +（2）两式相减（等号右边要错一位相减） ，得到-Sn =2 +22 +23 +2n n 十

8、=（1-2）-n2n2 n，2何1-2即 Sn =n 2诃2n +2倒序相加法：如果一个数列an，与首末位置等“距离”的两项和相等，那么这个数列可以采用倒序 来求和一般使用于组合数列与等差数列求和 女口：求和 Sn =C： +C： +2C； +3C； + （n 1）C：+ nC：反序 Sn =n +（n 12匸+ （n 2）C + （n 3）C严 +C1+C0相加得 2& = n（C0 +C： +C； + +C；） = n -2n，即 S n ”2n分组转化法：适用于可以将数列拆开，转化为几个可求和的数列女口：求数列(-1) n+n 的前2n项和Sn =(_1 +12)+(2 +22)+(-3

9、 + 32)+(-(2 n1) + (2 n1)2) + (2 n+(2 n)2)2 2 2 =(_1+2_3十4_十2n)+(1 +2 十十(2n)3 22n(2n +1)(4n+1) 8n +6n 十4nn十 一6 3专题：数列通项公式及求和常规数列的通项与求和方法：定义法（利用等差数列、等比数列的通项与求和公式来求）1.等差数列：通项公式：an= a|+(n - 1)d =am +(n -m)d, n,m N求和公式：Sn 二n(d +an) +n(n 1).二 =n ai 十 d2 22.等比数列：通项公式：ann 4 n _m .=印 q =am q ,q 式08 (q=1)求和公式

10、：Sn=*qn)(q*1)1 -q3. 一些常见的数列求和公式k232川川W 1n(n 1) 2-2nk3 =13 23 33 川 n3k 1【例1】已知等差数列an满足a4 心6 =10 (1)求数列an的通项公式；(2)3=7,求 Tn.设等比数列bn各项均为正数，其前 n项和Tn，若a b2【例2】已知an是等比数列，a2,且印卍3 1,a4成等差数列(1) 求数列an的通项公式；(2)若bn = log 2 an，求数列bn的前n项和Sn .非常规数列的通项公式常用通项公式的求法有四种：求法1累加法适用于an1二an f(n)型.特点：递推公式关于相邻两项的关系且系数、幕数都相同【例3

11、】已知数列an满足an .1二an 2 3n 1，a 3，求数列an的通项公式【例4】已知数列an满足a. =1月2 =2,an2 =an an 1 ,n N(1 ) 令bn二an 1 -an，证明：bn是等比数列;(2) 求an通项公式求法2:累乘法f (n)是可求数列适用于anan f( n)型特点：递推公式是关于相邻两项商的关系，且商【例6】已知数列？an 满足a. = ， an. = an，求an.3 n +1求法3:公式法现象：题目中出现 an与Sn的关系式.解决：利用an =Sn -Snj求解.【例7】已知数列 乩？满足：Sn =1-an(n，N*)，其中Sn为数列的前n项和.求a

12、n.【同类演练】例15第一问 求法4:构造法类型1构造等比数列凡是出现关于后项和前项的一次递推形式的现象都可以构造等比现象1： an pan q,（ p,q为常数）【例8】已知数列an中，ai =1,an =2an1（n亠2），求数列:anf的通项公式【同类演练】例18第一问现象2： an pan qn（ p,q为常数）【例9】已知数列a.中，耳i =：an Q）n 1，求a.6 3 2【同类演练】例17第一问现象3： an pan f （n）, p为常数2【例10】已知数列an满足an 2an 3 n 4n 5, a1,求数列a.的通项公式现象 4： an pan 1 qan,（ p,q为常

13、数）【例11】已知数列：an匚满足6 =1月2 .2 =3an 1 -2an（n N ）.求an.类型2:构造等差数列题目中出现后项与前项分式递推形式可以构造等差 解决办法：取倒数a *【例12】已知在数列an中印=1,an1 巴 (n N ).2an+1(1)求数列an的通项公式；2 1(2)若 1R =(1 bi)(1 b3)(1 b5)|l|(1 b2nj)，求证：Pn 、2n 1.bn an三.非常规数列的求和常用的求和方法一般有四种:方法1 :裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间项可以相互抵消，从而求得其和1 1 1常见的拆项公式有：(1)n(n + 1) n n+1(

14、2)1n(n k)1 1 ( 1 (2n -1)(2n 1) 2(2n -1(4)(5) n n!二(n 1)!n!(6)logan 1an= log a. 1 - log a.【例13】(2011新课标)等比数列的各项均为正数，且 2a- 3a2 = 1,a32 = 9a2a6.(1) 求数列 的通项公式；门、(2) 设 bn = log 3 a1 log 3 a2 - log3an,求数列 的前 n 项和lbnj【例14】等差数列an中a2 =11，2a3二a2 *6-4，其前n项和为Sn.(1)求数列an的通项公式；1 3 *(2)设数列bn满足bn ，其前n项和为Tn，求证：Tn (n

15、，N ).Sn 卅1 4【例 15】已知数列an的前 n 项和 Sn,a1=1,Sn= na“ -n(n -1)(n- N ).(1)求数列an的通项公式；5 2(2)设bn ，求数列bn的前前n项和为Tn .anan4t方法2:错位相减法 适用于由一个等差数列和一个等比数列构成对应项之积构成的数列求和 即a .等差,:bn 匚等比,求 a1bi a2b d IL an bn 的和 S.解题步骤：(1)Sn a?b2 V anbn，将式子两边同时乘以bn的公比q ,得到qSn.(2)用 qSn(3)利用等比数列求和公式求解(1) 求数列an的通项公式;1 n *【例17】已知数列an满足a1

16、=2,an 昂勺-2n(N )(1)求证：数列*是等差数列；(2)求数列an的前n项和Sn.b1 = 1,bn 1 = 2bn 1.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设 c(an3)(bn 1)，求数列Cn的前 n 项和 Tn.方法3:分组求和法 适用于可以将数列适当拆开， 分为几个等差，等比或常见的数列，先分别求和，然后在合并,形如：an bn,其中an为等差数列,bn为等比数列【例19】已知数列等差数列an满足：a9,a2 a14.(1)求数列an的通项公式；(2)若b -an 2an，求数列bn的前n项和Sn.方法4：倒序相加法如果一个数列an，与首末位置等“距离”的两项和相等，那

17、么这个数列可以采用倒序来 求和.一般使用于组合数列与等差数列求和 .【例 20】已知 lg xy = a， Sn = lg xn lg xn y lg xn y2 亠 亠 lg yn ( x 0、求Sn已知递增等比数列an，公比为q，满足a2 a3 a4 = 28，且a3 2是a2,a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若 bn = an log1 an,Sn = d b2 b bn，求使 Sn n 2n 1 - 50 成立的正整数n的最小值.已知数列an为等差数列，an为正整数，其前n项和为&，数列0为等比数列，且a 3 ,d =1，数列ban是公比为64的等比数列，b2S2二64(1)求 an ,bn ；(2)求证：1 1 1 3+ + + 3 S Sn 41 n +1在数列an中，a =1,an 1=(1 -)an n 2a(1) 设bn -，求数列bn的通项公式；n(2)求数列an的前n项和Sn已知数列an的前n项和Sn =2an -3 2n 4, n =1,2,3,.(1)求数列an的通项公式;设Tn为数列Sn -4的前n项和，求Tn