知识点归纳总结等差数列.docx
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知识点归纳总结等差数列
知识点归纳总结
1.等差数列
通项公式
a*=a
+（n_i）d=am+（n_m）d
求和公式
S_n佝+弘）_na+n（n-1）d
Dn__l心17
22
（1）若m,n,p,qwN*,且m+n=p+q则a^a^a^aq
特别地，当p=q时，a*+am=2ap，此时ap是am,a*的等差中项•
⑵等差数列｛an｝的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m-
Sm,S3m-S2m…
仍为等差数列•公差为m2d.
基本性质
⑶若等差数列的项数为2n,则S2n=n（a.+anG；
若等差数列的项数为2n+1,则S2n*=（2n+1）an*
（4）增减性：
d>0=递增数列；dcOn递减数列.
⑸最值性：
Sn=na,+——d=—n2+佝—一）n，Sn表示二次函数，有最值
222
当d>0且a,vO，Sn有最小值，若a^—0时，当d£0且ai>0,Sn有最大值，若ak卅—0时,
Sk—Sk卅为最小.
QQ斗戸.亠
Sk—Sk十为最人
2.等比数列
通项公式
nJn-m/亠介\
anFq=amq（q式0）
求和公式
'g（q=1）
Sn=匕（1-qn）-anq^r
（1）若m,n,p,qwN*,且m+n=p+q则a.%=ap利,
2
特别地，当p=q时，an0m=ap，此时ap是am,an的等比中项•
⑵等比数列｛an｝的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m-Sm’Ssm-Szm…
基本性质
仍为等比数列•公比为qm.
【例题精讲】
【1】在等差数列｛an｝中，已知a4a8=16，则该列前11项和S^二（）
A.58B.88C.143D.176
答案：
B
【2】已知｛an｝为等差数列，若a1asa^~，则cos（a2■a8）的值为（）
1
A.
2
"J3
B.•
2
1
C._
2
、3
D.——
2
答案：
B
【3】已知等差数列
｛an｝的前n项和为Sn，
S41S8
且c，则=（
）
3S16
1
1
1
3
A.-
B.—
c.—
D.—
8
3
9
10
答案：
C
【4】已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且S11=22,则3a1a21等于（）
A.2B.4C.8D.16
答案：
C
【5】已知等差数列｛an｝中，a2=2,a4=8，若abn=3n-1，则b2013等于（）答案：
D
【6】已知｛an｝为等差数列，a1a3■a5=105,a2-a4a^99，以Sn表示｛an｝的前n项和，则使得Sn达到最大值的门是（）
A.21B.20C.19D.18
答案：
B
【7】已知｛an｝为等差数列，若岂：
:
：
-1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn0的n
a6
的最大值为
答案：
11
【8】设Sn是公差为d（d=0）的无穷等差数列｛an｝的前n项和，则下列命题错误的是（）
A.若d:
:
0，则数列｛Sn｝有最大项
B.若数列｛Sn｝有最大项，则d：
0
C.若数列｛Sn｝是递增数列，则对任意n•N*，均有Sn0
D.若对任意n・N*，均有Sn・0,则有数列｛Sn｝是递增数列
答案：
C
【10】公比为q的等比数列｛an｝的各项为正数，且a?
a12=16,logqa®=7，则公比q=_
答案：
2
【11】设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若a201^3S2012-2010,a2012=3S2011•2010，则公比q=（）
A.4B.1或4C.2D.1或2
答案：
A
1
【12】在等比数列｛an｝中，已知a4,-a6,24成等比数列且a3吐=64，则｛a.｝的前8项和为:
答案：
255或85
【13】设等比数列匕的前n项和为Sn，若'=3，则色二（）
S3S6
答案：
B
【14】已知laj是首项为1的等比数列，Sn是｛%｝的前项和，且9S3=£，则数列」丄＞的
前5项和为（）
【15】公比不为1的等比数列｛an｝的前n项和为Sn,且-3a1,-a2,a3成等差数列，若1,
则S4二（）
A.-20
答案：
A
【16】各项都是正数的等比数列｛an｝，若a2」a3,a1成等差数列，则■包的值是（
2a4+a5
答案：
B
11
【17】已知正项等比数列｛an｝满足a2013=a2012'2a2on,且.am■an-4a1，则6（—'—）的
mn
最小值为.
答案：
4
递推数列：
数列｛an｝的任一项an与它前一项an-1（或它的前几项）间关系用一个
公式表示.
解题规律
an的求法
两类：
（1）利用递推关系求出前n项，然后归纳猜想数列的通项公式
（2）利用递推关系的变形，转化为一些特殊数列（等差、等比数列），在利用公
式求解•
Sn的求法
递推法：
常用求和公式：
12+22+32+…+n2=n（n1）（2n1）
6
22-3小3小33n（n+1）
1+2+3+■"+n=—
4
裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间项可以相互抵消，从而求得其和
1111111
常见的拆项公式有：
（1）一
（2）一
（一）
n（n+1）nn+1n（n+k）knn+k
1111
（3）1J11）
（2n-1）（2n+1）22n-12n+1
A
（4）l_jn+1
Jn+7n+1
（5）nn!
=（n+1）!
—n!
（6）log2-log2a^H-log2an
an
错位相减法：
适用于由一个等差数列和一个等比数列构成对应项之积构成的数列求和
女口：
求和Sn=1"21+222+3'23+…+n2n
步骤：
（1）式子两边同时乘以等比数列公比2，得到
2Sn=1・22+223+324++（n—1）・2n+n2n+
（2）两式相减（等号右边要错一位相减），得到
-Sn=2+22+23+…+2n—n^十=（1-2^）-n2n—2—n，2何
1-2
即Sn=n・2诃—2n+2
倒序相加法：
如果一个数列｛an｝，与首末位置等“距离”的两项和相等，那么这个数列可以采用倒序来求和•一般使用于组合数列与等差数列求和•
女口：
求和Sn=C：
+C：
+2C；+3C；+…（n—1）C：
」+nC：
反序Sn=n㈡+（n—12匸+（n—2）C^^+（n—3）C严+…C1+C0
相加得2&=n（C0+C：
+C；+…+C；）=n-2n，即S^n”2n」
分组转化法：
适用于可以将数列拆开，转化为几个可求和的数列
女口：
求数列｛（-1）・n+n｝的前2n项和
Sn=（_1+12）+（2+22）+（-3+32）+…+（-（2n—1）+（2n—1）2）+（2n+（2n）2）
222=（_1+2_3十4_…十2n）+（1+2十…十（2n））
32
」2n（2n+1）（4n+1）8n+6n十4n
—n十一
63
专题：
数列通项公式及求和
常规数列的通项与求和
方法：
定义法（利用等差数列、等比数列的通项与求和公式来求）
1.等差数列：
<1>通项公式：
an
=a<|+（n-1）d=am+（n-m）d,n,m^N
<2>
求和公式：
Sn二
n（d+an）+n（n—1）.
二=na^i十d
22
2.等比数列：
<1>通项公式：
an
n4n_m..
=印q=amq,q式0
8（q=1）
<2>
求和公式：
Sn
=*
"qn）（q*1）
1-^q
3.一些常见的数列求和公式
k2…32川『川W1
n（n1）2
-2
n
k3=132333•川n3
k1
【例1】已知等差数列｛an｝满足a4心6=10•
（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2）
3=7,求Tn.
设等比数列｛bn｝各项均为正数，其前n项和Tn，若a^b2
【例2】已知｛an｝是等比数列，a^2,且印卍31,a4成等差数列
（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2）若bn=log2an，求数列｛bn｝的前n项和Sn.
非常规数列的通项公式
常用通项公式的求法有四种：
求法1累加法
适用于an1二an•f（n）型.
特点：
递推公式关于相邻两项的关系且系数、幕数都相同
【例3】已知数列｛an｝满足an.1二an•23n1，a^3，求数列｛an｝的通项公式
【例4】已知数列｛an｝满足a.=1月2=2,an2=anan1,nN
（1）令bn二an1-an，证明：
｛bn｝是等比数列;
（2）求｛an｝通项公式•
求法2:
累乘法
f（n）是可求数列
适用于an^anf（n）型
特点：
递推公式是关于相邻两项商的关系，且商
【例6】已知数列？
an'满足a.=—，an.=—an，求an.
3n+1
求法3:
公式法
现象：
题目中出现an与Sn的关系式.
解决：
利用an=Sn-Snj求解.
【例7】已知数列乩？
满足：
Sn=1-an（n，N*），其中Sn为数列的前n项和.求an.
【同类演练】例15第一问求法4:
构造法
类型1构造等比数列
凡是出现关于后项和前项的一次递推形式的现象都可以构造等比
现象1：
anpanq,（p,q为常数）
【例8】已知数列｛an｝中，ai=1,an=2an」1（n亠2），求数列:
anf的通项公式•
【同类演练】例18第一问
现象2：
anpanqn（p,q为常数）
【例9】已知数列｛a.｝中，耳i=：
an•Q）n1，求a..
632
【同类演练】例17第一问
现象3：
anpanf（n）,p为常数
2
【例10】已知数列｛an｝满足an2an3n•4n•5,a^1,求数列｛a.｝的通项公式
现象4：
an^pan1qan,（p,q为常数）
【例11】已知数列：
an匚满足6=1月2.2=3an1-2an（n•N）.求an.
类型2:
构造等差数列
题目中出现后项与前项分式递推形式可以构造等差解决办法：
取倒数
a*
【例12】已知在数列｛an｝中印=1,an1巴（nN）.
2an+1
（1）求数列｛an｝的通项公式；
21
（2）若1R=（1bi）（1b3）（1b5）|l|（1b2nj），求证：
Pn、2n1.
bnan
三.非常规数列的求和
常用的求和方法一般有四种:
方法1:
裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间项可以相互抵消，从而求得其和
111
常见的拆项公式有：
（1）
n（n+1）nn+1
（2）
1
n（nk）
11（1（2n-1）（2n1）"2（2n-1
（4）
（5）nn!
二（n1）!
「n!
（6）
log
an1
an
=loga.1-loga.
【例13】（2011新课标）等比数列的各项均为正数，且2a-\3a2=1,a32=9a2a6.
（1）求数列的通项公式；
门〕、
（2）设bn=log3a1log3a2-log3an,求数列的前n项和
lbnj
【例14】等差数列｛an｝中a2=11，2a3二a2*6-4，其前n项和为Sn.
（1）求数列｛an｝的通项公式；
13*
（2）设数列｛bn｝满足bn，其前n项和为Tn，求证：
Tn（n，N）.
Sn卅—14
【例15】已知数列｛an｝的前n项和Sn,a1=1,Sn=na“-n（n-1）（n-N）.
（1）求数列｛an｝的通项公式；
52
（2）设bn，求数列｛bn｝的前前n项和为Tn.
anan4t
方法2:
错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列构成对应项之积构成的数列求和即"a.等差,:
bn匚等比,求a1bi■a2b^dILanbn的和S.
解题步骤：
（1）Sna?
b2Vanbn，将式子两边同时乘以｛bn｝的公比q,得到qSn.
（2）用qSn
（3）
利用等比数列求和公式求解
（1）求数列｛an｝的通项公式;
1n*
【例17】已知数列｛an｝满足a1=2,an昂勺-2n（N）
（1）求证：
数列｛*｝是等差数列；
（2）求数列｛an｝的前n项和Sn.
b1=1,bn1=2bn1.
（1）求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式；
（2）设c^^（an~3）（bn1），求数列｛Cn｝的前n项和Tn.
方法3:
分组求和法适用于可以将数列适当拆开，分为几个等差，等比或常见的数列，先分别求和，然后在合并,
形如：
｛anbn｝,其中｛an｝为等差数列,｛bn｝为等比数列
【例19】已知数列等差数列｛an｝满足：
a^9,a2a^14.
（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2）若b^-an2an，求数列｛bn｝的前n项和Sn.
方法4：
倒序相加法
如果一个数列｛an｝，与首末位置等“距离”的两项和相等，那么这个数列可以采用倒序来求和.一般使用于组合数列与等差数列求和.
【例20】已知lgxy=a，Sn=lgxnlgxn°ylgxn°y2亠亠lgyn（x0、
求Sn
已知递增等比数列｛an｝，公比为q，满足a2a3a4=28，且a3'2是a2,a4的等差中
项•
（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2）若bn=anlog1an,Sn=db2b^bn，求使Sn■n2n1-50成立的正整
数n的最小值.
已知数列｛an｝为等差数列，an为正整数，其前n项和为&，数列｛0｝为等比数列，且a^3,
d=1，数列
｛ban｝是公比为64的等比数列，b2S2二64
（1）求an,
bn；
（2）求证：
1113
+++<
3S^Sn4
1n+1
在数列｛an｝中，a=1,an1=（1•-）an—
n2
a
（1）设bn-，求数列｛bn｝的通项公式；
n
（2）求数列｛an｝的前n项和Sn
已知数列｛an｝的前n项和Sn=2an-32n4,n=1,2,3,….
（1）求数列｛an｝的通项公式;
⑵设Tn为数列｛Sn-4｝的前n项和，求Tn
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