第5章实验四Lagrange插值多项式.docx

1、第5章实验四Lagrange插值多项式第5章 实验四Lagrange插值多项式实验目的：理解Lagrange插值多项式的基本概念，熟悉Lagrange插值多项较好的对称性。公式具有两大优点：(1)求插值多项式，不需要求解线性方程组, 当已知数据点较多时，此公式更能显示出优越性。(2)函数值可以用符号形式表 示，数据点未确定的纵坐标可用多项式表示。5.2 Lagrange插值多项式源代码I%功能：对一组数据做Lagrange插值% 调用格式：yi=Lagran_(x,y,xi)% x,y数组形式的数据表% xi:待计算y值的横坐标数组% yi用Lagrange插值算出的y值数组function

2、fi=Lagra n_(x,f,xi)fi=zeros(size(xi);n p1=le ngth(f);for i=1: np1z=on es(size(xi);for j=1: np1if i =j,z=z.*(xi-x(j)/(x(i)-x(j);e ndend fi=fi+z*f(i);end return例5.1 已知4对数据(1.6 ,3.3 ), (2.7, 1.22 ), (3.9 , 5.61 ), (5.6 ,2.94 )。写出这4个数据点的Lagrange插值公式，并计算出横坐标xi=2.101,4.234 时对应的纵坐标。解：4个数据点的Lagrange插值公式为:L3

3、(x)33* (x-2.7)* (x-3.9)* (x-5.6)(1.6 - 2.7)* (1.6 - 3.9)* (1.6 - 5.6)(x -1.6)*(x-3.9)*(x-5.6)(2.7 -1.6)* (2.7 - 3.9) *(2.7 - 5.6)(x-1.6)*(x-2.7)*(x-5.6)(3.9-1.6)* (3.9 -2.7)* (3.9-5.6)(x-1.6)(x-2.7)*(x-3.9)(5.6 -1.6) * (5.6 - 2.7)* (1.6 - 3.9)清单5.1clear x=1.6, 2.7, 3.9, 5.6; y=3.3, 1.22, 5.61,2.94 x

4、i=2.101,4.234; yi=Lagran_(x,y,xi);xx=1.5:0.05:6.5;yy=Lagra n_(x,y,xx);plot(xx,yy,x,y, o)其结果为：yi =1.0596 6.6457图5.1插值多项式曲线图5.3 Lagrange 插值多项式源代码 II% 输入： x 是插值节点横坐标向量； y 是插值节点对应纵坐标向量。% 输出： C 是拉格朗日插值多项式的系数矩阵； L 是插值基函数系数矩阵。 function C,L=lagran(x,y) w=length(x);n=w-1;L=zeros(w,w);for k=1:n+1V=1;for j=1:n

5、+1if k=jV=conv(V,poly(x(j)/(x(k)-x(j);endendL(k,:)=V;endC=y*L程序中使用了命令poly和conv。poly命令创建一个向量，其项为以多项式 的系数，该多项式具有给定的根。conv命令生成一个向量，其项为多项式系数， 该多项式是另外两个多项式的乘积。例如：找出两个一次多项式 p(x)和q(x)的乘积，它们的根为 3和 5。 p=poly(3)p=1 -3 q=poly(5)q=1 -5 conv(p,q)ans=1 -8 15例5.2用Lagrange插值多项式源代码II，对4对数据(1.6 , 3.3 ),(2.7 , 4.22 ),

6、( 3.9 , 5.61 ) ,( 5.6 , 2.94 )，写出这 4个数据点的Lagrange插值公式，并计算出横坐标组xi=2.ioi,4.234时对应的纵坐标值。解：4个数据点的Lagrange插值公式为：L3(x)=3.3*(x2.7)*(x-3.9)*(x-5.6)(1.6 - 2.7)* (1.6 - 3.9)* (1.6 - 5.6) 422* (x-1.6)*(x-3.9)*(x-5.6)(2.7 -1.6)* (2.7 - 3.9) *(2.7 - 5.6)39* (x-1.6)* (x-2.7)* (x-5.6) +(3.9-1.6) * (3.9 - 2.7) * (3

7、.9 - 5.6)294* (x-1.6)(x-2.7)*(x-3.9)(5.6-1.6)*(5.6-2.7)*(1.6-3.9) 清单5.2clearx=1.6, 2.7, 3.9, 5.6; y=3.3, 1.22, 5.61,2.94 xi=2.101,4.234; C,L=lagra n(x,y);xx=1.5:0.05:6.5; yy= polyval(C,xx);plot(xx,yy, x,y, o)数据清单见图5.2，插值曲线图见图5.3。J- UJUAPM IM!珀 w： Ent jki.“ UE/j HralaUil f. WnTaHvaa-S-UaN 14ZHD4-I2 D

8、 U 31rifamK nr8怦J*l皿D m* mtErrvat h FTi-ei !iUrL*0rtl rafcflo吁佥Q 3t卜IH I F* lrf I LbTHTiMMriHJ-1. MH 1i.Nl -HUE ，富耐-i.an ii. SrSi -仏HPH M.Qbjn wn口札5閑帕R|bRl込晦-a miiAH124LE13IaL. ZZEi -r. iwE.LLB -.-llfli-4LOaF9-CM.riS-DKIL DM55. IMSl . MBS. 11blkuD K 3JZ E F;3 1 I)ccdiCcm E3iHl I! 3;S & F;3 X I)If! 3

9、;l 21MwlnHUk H| T . 4 Ll wrLnH 歸 wrlnH 画 cLild 1聆 込無 II+鉉 T-iiii3 * iHH:*上刊金-*图5.2 输出插值多项式的系数、插值基函数系数矩阵及 yy值-5-10图5.3插值多项式曲线图形例5.3将区间-5,5等分5份、10份，求函数y = %+x2）的拉格朗日插值 多项式，作出函数y = %+x2）的原图像，观察龙格现象得出什么结果？20.2 datal data2 data3图5.4 5等份插值图形图5.5 10等份插值图形通过观察图形可以得出：(1)并不是插值节点越多，插值多项式逼近函数效果就越好。(2)误差较大地方，是在插值区间两端点附近出现。练习题1 设f(xx 2/ x , ( 1)用基于点&勺必=2和x2 =2.5的二次拉格朗日多项式，求f(1.5)和f(1.2)的近似值。(2)用基于点X。=0.5 ,花=1 , X2 =3和X3 =5的三次拉格朗日多项式，求f(1.5)和f(1.2)的近似值。2用等距插值节点计算区间0辽x乞二/2上函数xsinx的四次拉格朗日多项式。每隔二/16计算一次插值误差，并画出图形。