第5章实验四Lagrange插值多项式.docx
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第5章实验四Lagrange插值多项式
第5章实验四Lagrange插值多项式
实验目的：
理解Lagrange插值多项式的基本概念，熟悉Lagrange插值多项
较好的对称性。
公式具有两大优点：
（1）求插值多项式，不需要求解线性方程组,当已知数据点较多时，此公式更能显示出优越性。
（2）函数值可以用符号形式表示，数据点未确定的纵坐标可用多项式表示。
5.2Lagrange插值多项式源代码I
%功能：
对一组数据做Lagrange插值
%调用格式：
yi=Lagran_（x,y,xi）
%x,y数组形式的数据表
%xi:
待计算y值的横坐标数组
%yi用Lagrange插值算出的y值数组
functionfi=Lagran_（x,f,xi）
fi=zeros（size（xi））;
np1=length（f）;
fori=1:
np1
z=ones（size（xi））;
forj=1:
np1
ifi~=j,z=z.*（xi-x（j））/（x（i）-x（j））;end
endfi=fi+z*f（i）;
endreturn
例5.1已知4对数据（1.6,3.3）,（2.7,1.22）,（3.9,5.61）,（5.6,
2.94）。
写出这4个数据点的Lagrange插值公式，并计算出横坐标xi=[2.101,4.234]时对应的纵坐标。
解：
4个数据点的Lagrange插值公式为:
L3（x）
33*（x-2.7）*（x-3.9）*（x-5.6）
（1.6-2.7）*（1.6-3.9）*（1.6-5.6）
（x-1.6）*（x-3.9）*（x-5.6）
（2.7-1.6）*（2.7-3.9）*（2.7-5.6）
（x-1.6）*（x-2.7）*（x-5.6）
（3.9-1.6）*（3.9-2.7）*（3.9-5.6）
（x-1.6）（x-2.7）*（x-3.9）
（5.6-1.6）*（5.6-2.7）*（1.6-3.9）
清单5.1
clearx=[1.6,2.7,3.9,5.6];y=[3.3,1.22,5.61,2.94]xi=[2.101,4.234];yi=Lagran_（x,y,xi）;
xx=1.5:
0.05:
6.5;
yy=Lagran_（x,y,xx）;
plot（xx,yy,x,y,'o'）
其结果为：
yi=
1.05966.6457
图5.1插值多项式曲线图
5.3Lagrange插值多项式源代码II
%输入：
x是插值节点横坐标向量；y是插值节点对应纵坐标向量。
%输出：
C是拉格朗日插值多项式的系数矩阵；L是插值基函数系数矩阵。
function[C,L]=lagran（x,y）w=length（x）;
n=w-1;
L=zeros（w,w）;
fork=1:
n+1
V=1;
forj=1:
n+1
ifk~=j
V=conv（V,poly（x（j）））/（x（k）-x（j））;
end
end
L（k,:
）=V;
end
C=y*L
程序中使用了命令poly和conv。
poly命令创建一个向量，其项为以多项式的系数，该多项式具有给定的根。
conv命令生成一个向量，其项为多项式系数，该多项式是另外两个多项式的乘积。
例如：
找出两个一次多项式p（x）和q（x）的乘
积，它们的根为3和5。
>>p=poly（3）
p=
1-3
>>q=poly（5）
q=
1-5
>>conv（p,q）
ans=
1-815
例5.2用Lagrange插值多项式源代码II，对4对数据（1.6,3.3）,
（2.7,4.22）,（3.9,5.61）,（5.6,2.94），写出这4个数
据点的Lagrange插值公式，并计算出横坐标组xi=[2.ioi,4.234]时对
应的纵坐标值。
解：
4个数据点的Lagrange插值公式为：
L3（x）=3.3*（x—2.7）*（x-3.9）*（x-5.6）
（1.6-2.7）*（1.6-3.9）*（1.6-5.6）422*（x-1.6）*（x-3.9）*（x-5.6）
（2.7-1.6）*（2.7-3.9）*（2.7-5.6）
39*（x-1.6）*（x-2.7）*（x-5.6）+
（3.9-1.6）*（3.9-2.7）*（3.9-5.6）
294*（x-1.6）（x-2.7）*（x-3.9）
（5.6-1.6）*（5.6-2.7）*（1.6-3.9）清单5.2
clear
x=[1.6,2.7,3.9,5.6];y=[3.3,1.22,5.61,2.94]xi=[2.101,4.234];[C,L]=lagran（x,y）;
xx=1.5:
0.05:
6.5;yy=polyval（C,xx）;
plot（xx,yy,x,y,'o'）
数据清单见图5.2，插值曲线图见图5.3。
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图5.2输出插值多项式的系数、插值基函数系数矩阵及yy值
-5
-10
图5.3插值多项式曲线图形
例5.3将区间［-5,5］等分5份、10份，求函数y=%+x2）的拉格朗日插值多项式，作出函数y=%+x2）的原图像，观察龙格现象得出什么结果？
2
0.2
datal
■data2
data3
图5.45等份插值图形
图5.510等份插值图形
通过观察图形可以得出：
（1）并不是插值节点越多，插值多项式逼近函数效果就越好。
（2）误差较大地方，是在插值区间两端点附近出现。
练习题
1•设f（x^x2/x,
（1）用基于点&勺必=2和x2=2.5的二次拉格朗日
多项式，求f（1.5）和f（1.2）的近似值。
（2）用基于点X。
=0.5,花=1,X2=3和X3=5的三次拉格朗日多项式，求f（1.5）和f（1.2）的近似值。
2•用等距插值节点计算区间0辽x乞二/2上函数xsinx的四次拉格朗日多项
式。
每隔二/16计算一次插值误差，并画出图形。
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