动态规划矩阵连乘算法.docx

1、动态规划矩阵连乘算法问题描述：给定n个矩阵:Ai, A2,. ., An,其中A与Ai+i是可乘的,i二1 , 2,n-1。确 定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数 最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模， 输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。问题解析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不 同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。 若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以 依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：(1)单个矩阵是完全加

2、括号的；(2)矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括 号的矩阵 连乘积B和C的乘积并加括号，即A= (BC)例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：(Ai (A2 (A3A4) ) ) , (Ai ( (A2A3) Al) ) , (AiA2)(A3A4) , (Ai(A2A3) A4),(A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算 次序，这 决定着作乘积所需要的计算量。看下面一个例子，计算三个矩阵连乘A1, AS A3；维数分别为10*100 ,100*5,5*50按此顺序计算需要的次数所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算

3、量达到最小化。算法思路：例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6,其中各矩阵的维数分别是：A1: 30*35; A： 35*15; A： 15*5; A4: 5*10; A5:10*20; A6: 20*25递推关系：设计算1 i j,弓所需要的最少数乘次数贝V原问题的最 优值为ml, no当 i=j 时，Ai： j二Ai,因此,二0 , i二 1,2,n当ij时，若Ai: j的最优次序在Ak和Ak+1之间断开9 i=kj,则:mi j二mi k+mk+l j+p /pkpjo由于在计算是并不知道断开点 k的位置，所以k还未定。不过k的位置只有j-i个可能。因此，k是这j-i个 位置使

4、计 算量达到最小的那个位置。综上，有递推关系如下:护幺丿二卜甲门删丄幻+觀比+lj+p 口屍卩 /using n amespace std;const int L = 7;int RecurMatrixChai n(int i, i nt j, i nt *s, i nt *p) ;/ 递归求最优解void Traceback(i nt i, i nt j, i nt *s) ;/ 构造最优解int mai n()int pL二30, 35, 15, 5, 10, 20, 25;int = new int *L;for(i nt i二0;iL;i+)si = new in tL;coutvv

5、矩阵的最少计算次数为: /zvvRecurMatrixChain(1, 6, s, p)endl;coutvv矩阵最优计算次序为：endl;Traceback(l, 6, s);return 0;int RecurMatrixChai n(int i, i nt j, i nt *s,i nt *p)if (i=j) return 0;int u = RecurMatrixChain(i, i, s, p)+RecurHatrixChdin(i+l, j, s, p)+piT*pi*pj; sij = i ;for (int k二i+1; kvj; k+)int t = RecurMatrix

6、Chai n( i, k, s, p) + RecurMatrixChai n(k+l, j, s, p) + piT*pk*pj;if(tvu)u二 t;si j=k;)return u;void Traceback(i nt i, i nt j, i nt *s)if(i=j) return;Traceback(i, si j, s);Traceback(si j+l, j, s);coutvv/zMultiply Avvivv, vvsi j;coutvv and Avv(sij+l)vv, vvjvve ndl;1.用算法RecurMatrixChain(1, 4, s, p)计算al

7、:4的计算递归树女口 下图所示：3.4.从上图可以看出很多子问题被重复运算。可以证明，该算法的计算时间T(n)有指数下界。设算法中判断语句和赋值语句为常数时间，则由算法的递归部分可得关于 T(n)的递归不等式:RecurMatrixChain的计算时间也随n指数增长。3、备忘录递归算法录项存入一个特殊的值，表示该子问题尚未求解。在求解 的过程中，对每个带求的子问题，首先查看其相应的记录项。若记录项中存储的是初始化时存入的特殊值，则表示该问题是第一次遇 至此时计算出该子问题的解，并将其保存在相应的记录项中，以备以 后查看。若记录项中存储的已不是初始化时存入的特殊值，贝y表示该子 问题已被计算过，

8、相应的记录项中存储的是该子问题的解答。此时从记 录项中取出该子问题的解 答即可，而不必重新计算。 3dl-2矩阵连乘备忘录递归实现/A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25 p0-6 = 30, 35, 15, 5, 10, 20, 25#i nclude stdafx. h#in elude using n amespace std;const int L = 7;int LookupCha in (i nt i,i nt j, i nt *m, i nt *s,i nt *p);int MemoizedMatrixChai n(

9、int n, i nt *m, i nt *s, i nt *p);void Traceback(i nt i, i nt j, i nt *s); 构造最优解int mai n()in t pL = 30, 35, 15, 5, 10, 20, 25;int *s = new int * L ; int *m 二 new int *L; for (i nt i=0; iL; i+) si = new in tL ; m_i二 new in t L;cout，z矩阵的最少计算次数为： MemoizedMat:rixChain(6, m, s, p) endl;cout矩阵最优计算次序为：z/e

10、ndl;Traceback(l, 6, s);:return 0;int MemoizedMatrixChain(int n,int *m, int *s,int *p)ford nt i=l; i二 n; i+)for(int j二1; j0)return mijj; if (i=j)return 0;int u 二 LookupChain(i, i, m, s, p) + LookupChain(i+1, j, m, s, p)+piT*pi*pj ; sij=i; for (int k=i+l; kj; k+)int t = LookupChain(i, k, m, s, p) + Lo

11、okupChain(k+1, j, m, s, p) + pi一 1*pk*pj; if (tu)u=t;si j = k;mi j = u;return u;void Traceback(int i, int j, int *s)if (i=j) teturn;Traceback(i, si j, s);Traceback(si j+l, j, s);cout，zMultiply A，i/, j;cout，? and A，z (s i j +1) z，, /z j0,则表不其中存 储的是所耍求子问题0(n八3),将直接递归算法的计算时间从 2怙降至0(n八3)。3、动态规划迭代实现用动态规划

12、迭代方式解决此问题，可依据其递归式自底向上的方式进行计算。在计算过程中，保存已解决的子问题的答案。每个子问题只计算一次，而在 后面需要时只需简单检查一下，从而避免了大量的重复计算，最终得到多项式时 间的算法。 3dl-2矩阵连乘动态规划迭代实现/A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25 p 0-6 = 30, 35, 15, 5, 10, 20, 25include stdafx. h#in elude using n amespace std;const int L 二 7;int MatrixChai n(int n,i nt

13、*m， i nt *s,i nt *p);void Traceback(i nt i, i nt j, i nt *s); 构造最优解int mai n()int pL二30, 35, 15, 5, 10, 20, 25;int *s = new int *L;int *m 二 new int *L;for(int i二0;iL;i+)sij 二 new intL;mi = new int L;cout，z 矩阵的最少计算次数为:，zMatrixChain(6, m, s, p) endl;cout矩阵最优计算次序为：Traceback(l, 6, s);return 0;int Matrix

14、Chain(int n,int *m, int *s,int *p)for (int i=l; i=n; i+)mij Li = 0;for (int r=2; r=n; r+) /r为当前计算的链长(子问题规模)for(int i=l; i=n-r+l; i+)/nr+l 为最后一个 r 链的前边界int j = i+r-1;/计算前边界为r ,链长为r的链的后边界mi j = mi+l j + piT*pi*pj ;/ 将链 ij 划分为 A(i)sij = i；for(int k=i+l; kj; k+)将链 ij 划分为(Ai:k )* (Ak+l:j)int t = mi k + m

15、k+l j + piT*pk*pj;if (tmi j)mi j二 t;sij = k;return ml LT;void Traceback(i nt i, i nt j, i nt *s)if(i=j) return;Traceback(i, s i Lj, s);Traceback(si j+l, j, s);cout，zMultiply A，i/, j;cout，z and (s i j+1)jendl;上述迭代算法的运行过程如下图所示：Al A2 A3 A4 A5 42R曲员如图所示:当R二2时，先迭代计算出：ml:2=ml:l+m2:2+p0*pl*p2;m2:3=m2:2+m3:

16、3+pl*p2*p3;m3:4=m3:3+m44+p2*p3*p4;m4:5二m4:4+m5 5+p3*p4*p5;m5:6 =m5 5 +m6 +p4*p5*p6的值；当R=3时,迭代计算出：ml:3=mi n( ml: l+m2:3+p0*pl*p3, ml :2+m3:3+p0*p2 *p3)；m2:4=mi n(m2:2+m3:4+pl*p2*p4, m2:3+m4:4+pl*p3*p4)；m4:6二mi n( m4:4+m5:6+p3*p4*p6, m4:5+m6:6+p3*p5 *p);依次类推，根据之前计算的Hl值，迭代计算最优解。与备忘录方法 相比，此方法会将每个子问题计算一遍，而备忘录方法则更灵活，当子问题中的部分子问题不必求解释，用备忘录方法较有利，因为从控制结 构可以看出，该方法只解那