m[i][j]二m[i][k]+m[k+l][j]+p/pkpjo由于在计算是并不知道断开点k的位
置，所以k还未定。
不过k的位置只有j-i个可能。
因此，k是这j-i个位置使计算量达到最小的那个位置。
综上，有递推关系如下:
护幺丿]二卜甲门｛删丄幻+觀比+lj]+p口屍卩｝/<;
构造最优解：
若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j],在计算岀最优值
后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。
s[i][j]中的数表明，计算矩阵链
A[i:
j]的最佳方式应在矩阵Ak和A出之间断开，即最优的加括号方式应为（A[i:
k]）（A[k+l:
j）。
因此，从s[l][n]记录的信息可知计算A[l:
n]的最优加括号方式为（A[l:
s[l][n]]）（A[s[l][n]+l:
n]）,进一步递推，A[1:
s[l][n]]的最优加括号方式为（A[l:
s[l][s[l][n]]]）（A[s[l][s[l][n]]+l:
s[l][s[l][n]]]）。
同理可以确定A[s[l][n]+l:
n]的最优加括号方式在s[s[l][n]+l][n]处断开・・・照此递推下去，最终可以确定AL1:
n]的最优完全加括号方式，及构造出
问题的一个最优解。
1、穷举法
列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。
对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P（n）o每种加括
号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题：
（Al...Ak）（Ak+1・・・An）可以
得到关于P（n）的递推式如下：
II]科二]3/3
卩何二工甲）-灼冲〉尸弘）二GQ-）
以上递推关系说明，P（n）是随n的增长呈指数增长的。
因此，穷
举法不是一个多项式时间复杂度算法。
2、重叠递归
从以上递推关系和构造最优解思路岀发，即可写岀有子问题重叠性的
递归代码实现：
〃3dl-l重叠子问题的递归最优解
//A130*35A235*15A315*5A45*10A510*20A620*25
〃p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}
#include"stdafx・h"
#ineludeviostream>
usingnamespacestd;
constintL=7;
intRecurMatrixChain（inti,intj,int**s,int*p）;//递归求最优解
voidTraceback（inti,intj,int**s）;//构造最优解
intmain（）
{
intp[L]二{30,35,15,5,10,20,25};
int=newint*[L];
for（inti二0;i〈L;i++）
s[i]=newint[L];
coutvv"矩阵的最少计算次数为:
/zvvRecurMatrixChain（1,6,s,p）«endl;
coutvv"矩阵最优计算次序为：
"《endl;
Traceback（l,6,s）;
return0;
}
intRecurMatrixChain（inti,intj,int**s,int*p）
{
if（i==j）return0;
intu=RecurMatrixChain（i,i,s,p）+RecurHatrixChdin（i+l,j,s,p）+p[iT]*p[i]*p[j[;s[i][j]=i;
for（intk二i+1;kvj;k++）
{
intt=RecurMatrixChain（i,k,s,p）+RecurMatrixChain（k+l,j,s,p）+p[iT[*p[k]*p[j];
if（tvu）
{
u二t;
s[i][j]=k;
）
}
returnu;
}
voidTraceback（inti,intj,int**s）
{
if（i==j）return;
Traceback（i,s[i][j],s）;
Traceback（s[i][j]+l,j,s）;
coutvv/zMultiplyA〃vvivv",〃vvs[i][j];
coutvv"andA〃vv（s[i][j]+l）vv","vvjvvendl;
1.用算法RecurMatrixChain（1,4,s,p）计算a[l:
4]的计算递归树女口下图所示：
3.
4.
从上图可以看出很多子问题被重复运算。
可以证明，该算
法的计算时间T（n）有指数下界。
设算法中判断语句和赋值语句
为常数时间，则由算法的递归部分可得关于T（n）的递归不等式:
RecurMatrixChain的计算时间也随n指数增长。
3、备忘录递归算法
录项存入一个特殊的值，表示该子问题尚未求解。
在求解的过程中，对
每个带求的子问题，首先查看其相应的记录项。
若记录项中存储的是初始化时存入的特殊值，则表示该问题是第一次遇至此时计算出该子问题的解，并将其保存在相应的记录项中，以备以后查看。
若记录项中存储的已不是初始化时存入的特殊值，贝y表示该子问题已被计算过，相应的记录项中存储的是该子问题的解答。
此时从记录项中取出该子问题的解答即可，而不必重新计算。
〃3dl-2矩阵连乘备忘录递归实现
//A130*35A235*15A315*5A45*10A510*20A620*25
〃p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}
#include"stdafx.h"
#inelude
usingnamespacestd;
constintL=7;
intLookupChain（inti,intj,int**m,int**s,int*p）;
intMemoizedMatrixChain（intn,int**m,int**s,int*p）;
voidTraceback（inti,intj,int**s）;〃构造最优解
intmain（）
{
intp[L]={30,35,15,5,10,20,25};
int**s=newint*[L];int**m二newint*[L];for（inti=0;is[i]=newint[L];m_i]二newint[L];
}
cout<<，z矩阵的最少计算次数为：
"《MemoizedMat:
rixChain（6,m,s,p）«endl;
cout<<〃矩阵最优计算次序为：
z/«endl;
Traceback（l,6,s）;
:
return0;
intMemoizedMatrixChain（intn,int**m,int**s,int*p）
fordnti=l;i〈二n;i++）
for（intj二1;j<=n;j++）
returnLookupChain（1,n,m,s,p）;
}
intLookupChain（inti,intj,int**m,int**s,int*p）
if（m[i]Tj]>0）
returnm[ij[j];
}if（i=j）
return0;
}
intu二LookupChain（i,i,m,s,p）+LookupChain（i+1,j,m,s,p）+p[iT]*p[i]*p[j];s[i][j]=i;for（intk=i+l;k{
intt=LookupChain（i,k,m,s,p）+LookupChain（k+1,j,m,s,p）+p[i一1]*p[k]*p[j];if（tu=t;
s[i][j]=k;
}
m[i][j]=u;
returnu;
voidTraceback（inti,intj,int**s）
if（i==j）teturn;
Traceback（i,s[i][j],s）;
Traceback（s[i][j]+l,j,s）;
cout«，zMultiplyA，，«i«//,[j];
cout«，?
andA，z<<（s[i][j]+1）<}
算法通过数组m记录子问题的最优值，m初始化为0,表明相应的子问题还没有
被计算。
在调用LookupChain时，若m[i][j]>0,则表不其中存储的是所耍求子问题
0（n八3）,将直接递归算法的计算时间从2怙降至0（n八3）。
3、动态规划迭代实现
用动态规划迭代方式解决此问题，可依据其递归式自底向上的方式进行计
算。
在计算过程中，保存已解决的子问题的答案。
每个子问题只计算一次，而在后面需要时只需简单检查一下，从而避免了大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。
〃3dl-2矩阵连乘动态规划迭代实现
//A130*35A235*15A315*5A45*10A510*20A620*25
〃p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}
^include"stdafx.h"
#inelude
usingnamespacestd;
constintL二7;
intMatrixChain（intn,int**m，int**s,int*p）;
voidTraceback（inti,intj,int**s）;〃构造最优解
intmain（）
intp[L]二{30,35,15,5,10,20,25};
int**s=newint*[L];
int**m二newint*[L];
for（inti二0;i〈L;i++）
{
s[ij二newint[L];
m[i]=newint[L];
}
cout«，z矩阵的最少计算次数为:
，z<cout«〃矩阵最优计算次序为：
Traceback（l,6,s）;
return0;
intMatrixChain（intn,int**m,int**s,int*p）
{
for（inti=l;i<=n;i++）
{
m[ijLi]=0;
}
for（intr=2;r<=n;r++）//r为当前计算的链长（子问题规模）
{
for（inti=l;i<=n-r+l;i++）//n~r+l为最后一个r链的前边界
{
intj=i+r-1;//计算前边界为r,链长为r的链的后边界
m[i][j]=m[i+l][j]+p[iT]*p[i]*p[j];//将链ij划分为A（i）
s[i][j]=i；
for（intk=i+l;k{
〃将链ij划分为（A[i:
k]）*（A[k+l:
j]）
intt=m[i][k]+m[k+l][j]+p[iT]*p[k]*p[j];
if（t{
m[i][j]二t;
s[i][j]=k;
}
returnm[l][LT];
voidTraceback（inti,intj,int**s）
{
if（i==j）return;
Traceback（i,s[i]Lj],s）;
Traceback（s[i][j]+l,j,s）;
cout«，zMultiplyA，，«i«//,[j];
cout«，zand（s[i][j]+1）j«endl;
}
上述迭代算法的运行过程如下图所示：
AlA2A3A4A542
R—
曲员
如图所示:
当R二2时，先迭代计算出：
m[l:
2]=m[l:
l]+m[2:
2}+p[0]*p[l]*p[2];
m[2:
3]=m[2:
2]+m[3:
3]+p[l]*p[2]*p[3];
m[3:
4]=m[3:
3]+m[4][4]+p[2]*p[3]*p[4];
m[4:
5]二m[4:
4]+m[5][5]+p[3]*p[4]*p[5];
m[5:
6]=m[5][5]+m[6]⑹+p[4]*p[5]*p[6]的值；
当R=3时,迭代计算出：
m[l:
3]=min（m[l:
l]+m[2:
3]+p[0]*p[l]*p[3],m[l:
2]+m[3:
3]+p[0]*p[2]*p[3]）；
m[2:
4]=min（m[2:
2]+m[3:
4]+p[l]*p[2]*p[4],m[2:
3]+m[4:
4]+p[l]*p[3]
*p[4]）；
m[4:
6]二min（m[4:
4]+m[5:
6]+p[3]*p[4]*p[6],m[4:
5]+m[6:
6]+p[3]*p[5]*p⑹）;
依次类推，根据之前计算的Hl值，迭代计算最优解。
与备忘录方法相比，此
方法会将每个子问题计算一遍，而备忘录方法则更灵活，当子问题中的部分子问
题不必求解释，用备忘录方法较有利，因为从控制结构可以看出，该方法只解那
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