届高考数学一轮复习通用版讲义基本不等式.docx

1、届高考数学一轮复习通用版讲义基本不等式第四节基本不等式一、基础知识批注理解深一点在运用基本不等式及其变形时，一定要验证等号是否成立.1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab. 2算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)和定积最大，积定和最小：两个正数的和为

2、定值时，则可求其积的最大值；积为定值时，可求其和的最小值.二、常用结论汇总规律多一点(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号(2)ab2(a，bR)，当且仅当ab时取等号(3)2(a，bR)，当且仅当ab时取等号(4)2(a，bR，且a，b同号)，当且仅当ab时取等号三、基础小题强化功底牢一点(1)当a0，b0时，.()(2)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的()(3)x0且y0是2的充要条件()答案：(1)(2)(3)(二)选一选1设a0，则9a的最小值为()A4 B5C6 D7解析：选C因为a0，所以9a2 6，当且仅当9a，即a时，9a取得最小值6.故选C.2若x

3、0，y0，且2(xy)36，则的最大值为()A9 B18C36 D81解析：选A由2(xy)36，得xy18，所以9，当且仅当xy9时，等号成立3“x0”是“x2”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C当x0时，x2 2.因为x，同号，所以若x2，则x0，0，所以“x0”是“x2”成立的充要条件，故选C. (三)填一填4若实数x，y满足xy1，则x22y2的最小值为_解析：x22y2x2(y)22x(y)2，当且仅当xy且xy1时等号成立所以x22y2的最小值为2.答案：25若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2

4、.解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10x)m，由题知0x2，则a的最小值是()A6 B2C22 D4(2)设0x0，y0，且x2y1，则的最小值为_(4)已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值为_解析(1)拼凑法因为a2，所以a20，所以a(a2)22 222，当且仅当a2，即a2时取等号故选C.(2)拼凑法y4x(32x)22x(32x)22，当且仅当2x32x，即x时，等号成立，函数y4x(32x)的最大值为.(3)常数代换法x0，y0，且x2y1，1232 32.当且仅当且x2y1，即x1，y1时，取得等号的最小值为32.(4)拼凑法因为x0，y0，所以8x2yx2

5、y(x2y)2，令x2yt，则8t，即t24t320，解得t4或t8，即x2y4或x2y8(舍去)，当且仅当x2y，即x2，y1时等号成立答案(1)C(2)(3)32(4)4解题技法基本不等式求最值的2种常用方法拼凑法拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件常数代换法常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商题组训练1.若a0，

6、b0且2ab4，则的最小值为()A2 B.C4 D.解析：选B因为a0，b0，故2ab2(当且仅当2ab时取等号)又因为2ab4，2400，y0，且x4y40，则lg xlg y的最大值是()A40 B10C4 D2解析：选D因为x4y40，且x0，y0，所以x4y24.(当且仅当x4y时取“”)所以440.所以xy100.所以lg xlg ylg xylg 1002.所以lg xlg y的最大值为2.3.设ab0，则a2的最小值是()A1 B2C3 D4解析：选Da2(a2ab)ab224，当且仅当a2ab且ab，即a，b时取等号，故选D.4.已知x0，y0，且x2yxy，则xy的最小值为_

7、解析：由x0，y0，x2yxy，得1，所以xy(xy)332.当且仅当xy时取等号答案：32 典例某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)x210x(万元)当年产量不小于80千件时，C(x)51x1 450(万元)每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.051 000x万元，依题意得：当0x80时，L(x)(

8、0.051 000x)250x240x250.当x80时，L(x)(0.051 000x)2501 200.所以L(x)(2)当0x80时，L(x)(x60)2950.此时，当x60时，L(x)取得最大值L(60)950万元当x80时，L(x)1 2001 2002 1 2002001 000.此时x，即x100时，L(x)取得最大值1 000万元由于9500)，即x15时等号成立即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低答案：151(2019长春调研)“a0，b0”是“ab0，b0时，即ab2，当ab时，ab0，b0”不是“ab2”的充分条件当ab0，b0不一定成立，故“a0，b0”不是“ab

9、0，b0”是“ab0，y0，且x2y2，则xy ()A有最大值为1 B有最小值为1C有最大值为 D有最小值为解析：选C因为x0，y0，x2y2，所以x2y2，即22，xy，当且仅当x2y，即x1，y时，等号成立所以xy有最大值，且最大值为.3若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B2C2 D4解析：选C因为，所以a0，b0，由2 2 ，所以ab2(当且仅当b2a时取等号)，所以ab的最小值为2.4已知a0，b0，a，b的等比中项是1，且mb，na，则mn的最小值是()A3 B4C5 D6解析：选B由题意知ab1，mb2b，na2a，mn2(ab)44，当且仅当ab1时取等号，故mn的最小

10、值为4.5(2019长春质量监测)已知x0，y0，且4xyxy，则xy的最小值为()A8 B9C12 D16解析：选B由4xyxy得1，则xy(xy)14259，当且仅当，即x3，y6时取“”，故选B.6若正数x，y满足4x29y23xy30，则xy的最大值为()A. B.C. D2解析：选D304x29y23xy23xy，即3015xy，所以xy2，当且仅当4x29y2，即x，y时等号成立故xy的最大值为2.7设x0，则函数yx的最小值为()A0 B.C1 D.解析：选Ayx2220，当且仅当x，即x时等号成立所以函数的最小值为0.故选A.8已知x1，y1，且log2x，log2y成等比数列

11、，则xy有()A最小值 B最小值2C最大值 D最大值2解析：选Ax1，y1，log2x0，log2y0.又log2x，log2y成等比数列，log2xlog2y，由基本不等式，得log2xlog2y2，当且仅当log2xlog2y时取等号，故log2(xy)，即xy.选A.9当3x12时，函数y的最大值为_解析：y152 153，当且仅当x，即x6时，ymax3.答案：310(2018南昌摸底调研)已知函数yx(x2)的最小值为6，则正数m的值为_解析：x2，m0，yx222 222，当x2时取等号，又函数yx(x2)的最小值为6，226，解得m4.答案：411(2018天津高考)已知a，bR

12、，且a3b60，则2a的最小值为_解析：a3b60，a3b6.2a2a23b222223.当且仅当即时等号成立答案：12(2018聊城一模)已知a0，b0,3ab2ab，则ab的最小值为_解析：由a0，b0,3ab2ab，得1，所以ab(ab)22，当且仅当ba时等号成立，则ab的最小值为2.答案：213(2019孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50x120)的关系可近似表示为y(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解：(1)当x50,80)时，y(x2130x4 900)(x65)2675，所以当x65时，y取得最小值，最小值为6759.当x80,120时，函数y12单调递减，故当x120时，y取得最小值，最小值为1210.因为910，所以当x65，即该型号汽车的速度为65 km/h时，可使得每小时耗油量最少(2)设总耗油量为l L，由题意可知ly，当x50,80)时，ly16，当且仅当x，即x70时，l取得最小值，最小值为16；当x80,120时，ly2为减函数，所以当x120时，l取得最小值，最小值为10.因为1016，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少