全国名校高考数学优质学案汇编附详解第三节 空间点直线平面之间的位置关系.docx

1、全国名校高考数学优质学案汇编附详解第三节 空间点直线平面之间的位置关系第三节空间点、直线、平面之间的位置关系考纲传真1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解作为推理依据的公理和定理2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.知识点1平面的基本性质1公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内2公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面3公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4公理2的三个推论：(1)推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面(2)推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面(3)推论

2、3：经过两条平行直线，有且只有一个平面知识点2空间两条直线的位置关系1位置关系分类2平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；(2)范围：.知识点3空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交aA1个平行a0个在平面内a无数个平面与平面平行0个相交l无数个1必会结论(1)唯一性定理过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

3、过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直(2)异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线2必清误区(1)异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两条异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交(2)直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面()(3)如果两

4、个平面有三个公共点，则这两个平面重合()(4)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线()【答案】(1)(2)(3)(4)2(教材改编)图731如图731所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A30 B45C60 D90【解析】连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求，又B1D1B1CD1C，D1B1C60.【答案】C3下列命题正确的个数为()经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A0 B

5、1 C2 D3【解析】经过不共线的三点可以确定一个平面，不正确；两条平行线可以确定一个平面，正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，正确；命题中没有说清三个点是否共线，不正确【答案】C4(优质试题广东高考)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定【解析】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1DD1，l2DC，l3DA，若l4AA1，满足l1l2，l2l3，l3l4，此时l1l4，可以排除选项A和C.若l4DC1，也满足条件，可以排除

6、选项B.故选D.【答案】D考向1平面的基本性质1.(优质试题泉州模拟)下列四个命题中，真命题的个数为()如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；两条直线可以确定一个平面；空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；若M，M，l，则Ml.A1 B2 C3 D4【解析】根据公理2，可判断是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故是假命题；根据平面的性质可知是真命题综上，真命题的个数为2，故选B.【答案】B2如图732所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点求证：图732(1)E，C，

7、D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点【证明】(1)如图，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由P直线CE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA.CE，D1F，DA三线共点1证明空间点共线问题的方法(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在

8、该直线上2点、线共面的常用判定方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合(3)反证法考向2空间直线的位置关系(1)图733如图733所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断正确的是_(填所有正确结论的序号)MN与CC1垂直；MN与AC垂直；MN与BD平行；MN与A1B1平行(2)如图734所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点问：图734AM和CN是否是异面直线？说明理由；D1B和CC1是否是异面直线？

9、说明理由【解析】(1)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是B1CD1的中位线，MNB1D1，CC1B1D1，ACB1D1，BDB1D1，MNCC1，MNAC，MNBD，故正确又A1B1与B1D1相交，MN与A1B1不平行，因此错误【答案】(2)不是异面直线理由：连接MN，A1C1，AC.因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MNA1C1.又因为A1A綊C1C，所以A1ACC1为平行四边形，所以A1C1AC，所以MNAC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线是异面直线理由：因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面假设D1B与CC

10、1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，所以D1，B，C，C1，这与B，C，C1，D1不共面矛盾所以假设不成立，即D1B和CC1是异面直线1异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线2线线平行或垂直的判定方法(1)对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的定理、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断(2)对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直

11、变式训练1(优质试题广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交【解析】由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交【答案】D2如图735，G，N，M，H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)图735【解析】图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，HN，GMHN，因此直

12、线GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H面GMN，因此直线GH与MN异面所以图、中直线GH与MN异面【答案】考向3异面直线所成的角(1)(优质试题全国卷)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. B. C. D. (2)(优质试题广州模拟)已知三棱锥ABCD中，ABCD，且直线AB与CD成60角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角【解析】(1)如图，取BC的中点D，连接MN，ND，AD，由于MN綊B1C1綊BD，因此有ND綊BM，则ND与NA所成角即为异面直线BM与AN所成角设

13、BC2，则BMND，AN，AD，因此cosAND，故选C.【答案】C(2)如图，取AC的中点P.连接PM，PN，又点M，N分别是BC，AD的中点，则PMAB，且PMAB，PNCD，且PNCD，所以MPN为AB与CD所成的角(或其补角)则MPN60或MPN120，若MPN60，因为PMAB，所以PMN是AB与MN所成的角(或其补角)又因为ABCD，所以PMPN，则PMN是等边三角形，所以PMN60，即AB和MN所成的角为60.若MPN120，则易知PMN是等腰三角形所以PMN30，即AB和MN所成的角为30.综上，直线AB和MN所成的角为60或30.用平移法求异面直线所成角的三步曲1一作：作异面

14、直线所成的角常用平移法，平移法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移2二证：即证明作出的角是异面直线所成的角3三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角变式训练(优质试题遂宁模拟)如图736，四边形ABCD为梯形，PD平面ABCD，ABCD，BADADC90，DC2AB2a，DAa，PDa，E为BC的中点(1)求证：平面PBC平面PDE.(2)线段PC上是否存在一点F，使PA平面BDF？若存在，请找出具体位置，并证明；若不存在，请说明理由图736【解】(1)证明：连

15、接BD，因为BADADC90，ABa，DAa，所以BDDC2a，E为BC的中点，所以BCDE.因为PD平面ABCD，所以BCPD.因为DEPDD，所以BC平面PDE.因为BC平面PBC，所以平面PBC平面PDE.(2)当点F位于PC三分之一分点(靠近P点)处时，PA平面BDF.证明如下：连接AC，BD交于O点因为ABCD，所以AOBCOD.因为ABDC，所以在CPA中，AOAC，而PFPC，所以OFPA.而OF平面BDF，PA平面BDF，所以PA平面BDF.课时强化练(四十四)空间点、直线、平面之间的位置关系(限时：40分钟)A组跨越本科线1给出以下命题：不共面的四点中，其中任意三点不共线；若

16、点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3【解析】中显然是正确的；中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面，不正确；构造长方体或正方体，如图，显然b，c异面，故不正确；中空间四边形中四条线段不共面，不正确故只有正确【答案】B2对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l()A平行 B相交C垂直 D互为异面直线【解析】不论l，l还是l与相交，内都有直线m使得ml.【答案】C3(优质试题长沙模拟)l1，l2，l3是空间三条

17、不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面【解析】如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD，CDAD，但有ABCD，因此A不正确；又ABDCA1B1，但三线不共面，因此C不正确；又从A出发的三条棱不共面，因此D不正确；由线线平行和垂直的定义易知B正确【答案】B4(优质试题大纲全国卷)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A. B. C. D. 【解析】画出正四面体ABCD的直观图，如图所示设其棱长为2，取AD的中点F，连接

18、EF，CF，设EF的中点为O，连接CO，则EFBD，则FEC就是异面直线CE与BD所成的角(或其补角)由题知ABC为等边三角形，则CEAB，易得CE，同理可得CF，故CECF.因为OEOF，所以COEF.又EOEFBD，所以cosFEC.【答案】B5在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则()AM一定在直线AC上BM一定在直线BD上CM可能在AC上，也可能在BD上DM既不在AC上，也不在BD上【解析】由于EFHGM，且EF平面ABC，HG平面ACD，所以点M为平面ABC与平面ACD的一个公共点，而这两个平面的交线为AC，所以点M一定在直线

19、AC上，故选A.【答案】A6设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线上述命题中正确的命题是_(只填序号)【解析】由公理4知正确；当ab，bc时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故不正确；a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故不正确【答案】图7377(优质试题淄博模拟)如图737是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与E

20、F平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_【解析】如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DE与MN垂直，故正确【答案】B组名校必刷题图7388如图738，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以ADBC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧

21、A1B1的中点，所以C1D圆柱下底面，所以C1DAD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.【答案】9(优质试题昆明模拟)若两条异面直线所成的角为60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有_对【解析】如图，若要出现所成角为60的异面直线，则直线需为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是AB，BC，AD，CD，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有24对(每一对被计算两次，所以要除以2)【答案】2410已

22、知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线【证明】(1)如图所示，因为EF是D1B1C1的中位线，所以EFB1D1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1BD，所以EFBD.所以EF，BD确定一个平面即D，B，F，E四点共面(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，设平面A1ACC1确定的平面为，又设平面BDEF为.因为QA1C1，所以Q.又QEF，所以Q.则Q是与的公共点，同理，P点也是与的公共点所以PQ.又A1CR，所以RA1C，则R且R.则RPQ，故P，Q，R三点共线