∴CE与D1F必相交，设交点为P，
则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点．
1．证明空间点共线问题的方法
（1）基本性质法：
一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上．
（2）纳入直线法：
选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．
2．点、线共面的常用判定方法
（1）纳入平面法：
先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
（2）辅助平面法：
先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
（3）反证法．
考向2空间直线的位置关系
（1）
图7 3 3
如图7 3 3所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断正确的是________．（填所有正确结论的序号）
①MN与CC1垂直；②MN与AC垂直；③MN与BD平行；④MN与A1B1平行．
（2）如图7 3 4所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：
图7 3 4
①AM和CN是否是异面直线？
说明理由；
②D1B和CC1是否是异面直线？
说明理由．
【解析】
（1）连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，
∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，
∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD，故①②③正确．
又∵A1B1与B1D1相交，
∴MN与A1B1不平行，因此④错误．
【答案】 ①②③
（2）①不是异面直线．
理由：
连接MN，A1C1，AC.
因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.
又因为A1A綊C1C，所以A1ACC1为平行四边形，
所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，
所以A，M，N，C在同一平面内，
故AM和CN不是异面直线．
②是异面直线．
理由：
因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，
则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，
所以D1，B，C，C1∈α，
这与B，C，C1，D1不共面矛盾．所以假设不成立，
即D1B和CC1是异面直线．
1．异面直线的判定方法
（1）反证法：
先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．
（2）定理：
平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
2．线线平行或垂直的判定方法
（1）对于平行直线，可利用三角形（梯形）中位线的定理、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断．
（2）对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．
[变式训练]
1．（优质试题·广东高考）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
【解析】 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．
【答案】 D
2．如图7 3 5，G，N，M，H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有________．（填上所有正确答案的序号）
图7 3 5
【解析】 图①中，直线GH∥MN；
图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，
因此直线GH与MN异面；
图③中，连接MG，HN，GM∥HN，因此直线GH与MN共面；
图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，
因此直线GH与MN异面．
所以图②、④中直线GH与MN异面．
【答案】 ②④
考向3异面直线所成的角
（1）（优质试题·全国卷Ⅱ）直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
（2）（优质试题·广州模拟）已知三棱锥ABCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角．
【解析】
（1）如图，取BC的中点D，连接MN，ND，AD，
由于MN綊
B1C1綊BD，
因此有ND綊BM，则ND与NA所成角即为异面直线BM与AN所成角．设BC＝2，则BM＝ND＝
，AN＝
，AD＝
，
因此cos∠AND＝
＝
，故选C.
【答案】 C
（2）如图，取AC的中点P.连接PM，PN，又点M，N分别是BC，AD的中点，
则PM∥AB，且PM＝
AB，
PN∥CD，且PN＝
CD，
所以∠MPN为AB与CD所成的角（或其补角）．
则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，
①若∠MPN＝60°，因为PM∥AB，所以∠PMN是AB与MN所成的角（或其补角）．
又因为AB＝CD，所以PM＝PN，
则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，
即AB和MN所成的角为60°.
②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．
所以∠PMN＝30°，即AB和MN所成的角为30°.
综上，直线AB和MN所成的角为60°或30°.
用平移法求异面直线所成角的三步曲
1．一作：
作异面直线所成的角常用平移法，平移法一般有三种类型：
利用图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移．
2．二证：
即证明作出的角是异面直线所成的角．
3．三求：
解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
[变式训练]
（优质试题·遂宁模拟）如图7 3 6，四边形ABCD为梯形，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，DC＝2AB＝2a，DA＝
a，PD＝
a，E为BC的中点．
（1）求证：
平面PBC⊥平面PDE.
（2）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？
若存在，请找出具体位置，并证明；若不存在，请说明理由．
图7 3 6
【解】
（1）证明：
连接BD，因为∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝a，DA＝
a，
所以BD＝DC＝2a，E为BC的中点，所以BC⊥DE.
因为PD⊥平面ABCD，所以BC⊥PD.
因为DE∩PD＝D，所以BC⊥平面PDE.
因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDE.
（2）当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）处时，PA∥平面BDF.
证明如下：
连接AC，BD交于O点．
因为AB∥CD，所以△AOB∽△COD.
因为AB＝
DC，所以在△CPA中，AO＝
AC，而PF＝
PC，所以OF∥PA.
而OF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF，所以PA∥平面BDF.
课时强化练（四十四） 空间点、直线、平面之间的位置关系
（限时：
40分钟）
A组 跨越本科线
1．给出以下命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
正确命题的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【解析】 ①中显然是正确的；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面，不正确；③构造长方体或正方体，如图，显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面，不正确．故只有①正确．
【答案】 B
2．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（ ）
A．平行B．相交
C．垂直D．互为异面直线
【解析】 不论l∥α，l⊂α还是l与α相交，α内都有直线m使得m⊥l.
【答案】 C
3．（优质试题·长沙模拟）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
【解析】 如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，
AB⊥AD，CD⊥AD，但有AB∥CD，因此A不正确；
又AB∥DC∥A1B1，但三线不共面，因此C不正确；
又从A出发的三条棱不共面，因此D不正确；由线线平行和垂直的定义易知B正确．
【答案】 B
4．（优质试题·大纲全国卷）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】
画出正四面体ABCD的直观图，如图所示．设其棱长为2，取AD的中点F，连接EF，CF，
设EF的中点为O，连接CO，则EF∥BD，则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角（或其补角）．由题知△ABC为等边三角形，则CE⊥AB，易得CE＝
，同理可得CF＝
，故CE＝CF.
因为OE＝OF，所以CO⊥EF.
又EO＝
EF＝
BD＝
，
所以cos∠FEC＝
＝
＝
.
【答案】 B
5．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则（ ）
A．M一定在直线AC上
B．M一定在直线BD上
C．M可能在AC上，也可能在BD上
D．M既不在AC上，也不在BD上
【解析】 由于EF∩HG＝M，且EF⊂平面ABC，
HG⊂平面ACD，所以点M为平面ABC与平面ACD的一个公共点，而这两个平面的交线为AC，
所以点M一定在直线AC上，故选A.
【答案】 A
6．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．
上述命题中正确的命题是________（只填序号）．
【解析】 由公理4知①正确；
当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；
当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；
a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确．
【答案】 ①
图7 3 7
7．（优质试题·淄博模拟）如图7 3 7是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
【解析】
如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN垂直，故②③④正确．
【答案】 ②③④
B组 名校必刷题
图7 3 8
8．如图7 3 8，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．
【解析】 取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，
则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，
所以AD∥BC，
所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，
所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，
因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，
所以C1D＝
AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为
，
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为
.
【答案】
9．（优质试题·昆明模拟）若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．
【解析】 如图，
若要出现所成角为60°的异面直线，则直线需为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A′B，BC′，A′D，C′D，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有
＝24对（每一对被计算两次，所以要除以2）．
【答案】 24
10．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
（1）D，B，F，E四点共面；
（2）若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
【证明】
（1）如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线，
所以EF∥B1D1.
在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.
所以EF，BD确定一个平面．
即D，B，F，E四点共面．
（2）在正方体ABCDA1B1C1D1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，
又设平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1，所以Q∈α.
又Q∈EF，所以Q∈β.
则Q是α与β的公共点，
同理，P点也是α与β的公共点．
所以α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，
所以R∈A1C，则R∈α且R∈β.
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
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