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1、精品课件数学湘教选修21第3章3434直线与平面的垂直关系知能优化训练L学习目标i 掌握直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能灵 活运用定理证明直线与平面垂直.3.理解三垂线定理及逆定理，并能应用三垂 线定理及逆定理证明线面或线线垂直.课前自主学案 厲故夯基1所谓直线的方向向量，就是指和这条直线所对应的向量 平行（或共线）的向量,一条直线 的方向向量有无数个.2.设直线2的方向向量为a=（“力，）,直线加的方向向量为b =（A：2，乃，勺），贝!I知新益能1.直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线2与一个平面Q相交，并且 垂直于平面a内 所有的貢线,就称直线2与平 面a垂

2、直，记作2丄久(2)判定定理 文字语言：如果一条直线垂直于一个平面内两 条相交 直线,那么这条直线就与这个平面垂 直.符号语言：若直线a u平面a,直线 u平面伉, 2丄a, I丄b, an/=O ,贝思考感悟如何理解直线与平面垂直的判定定理?(2)重点问题：要与两条相交直线垂直.(3)所体现的思想：将空间问题“平面化”的思 想.2三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和和这条斜线垂直.3.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也 和这条斜线在平面内的射影垂直.课堂互动讲练考点突破直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊 位置关系，可以理解为直线垂直于平

3、面内的所 有直线，也可理解为直线与平面所成的角为 90【思路点拨】 根据直线与平面垂直的相关概念， 并结合特殊的几何体，如正方体或者教室内的实物 来说明.【解析1 (1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种：平行；异面， 因此假(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系.若为平行，该命题则错；若为相交，则该命题 为真，正是因为这两种情况可能同时具备，因此, 不说明面内这无数条直线的位置关系，该命题则为 假命题.(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用可知，则该 直线必垂直于三角形的第三边，该命题真.(4)前面介绍了两个命题，过一点

4、有且只有一个平面与已知直线垂直，过一点有且只有一 条直线与已知平面垂直.根据第一个命题知： 过点A垂直于直线的平面唯一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线。垂直的平面内，.该命题真.三条共点直线两两垂直，设为”，b, c,且a, b, c共点于0:a丄b, a丄c, bCc=O9 :b、c确 定一平面，设为伉，贝衍丄久同理可知垂直于a、c 确定的平面，c垂直于、确定的平面该命题 真.【答案】C【名师点评】 注意线面垂直的定义中“所有的 直线”与“无数条直线”不同，其实质是直线与 平面内任意一直线垂直.直线与平面垂直的判定nr-直线与平面垂直的判定定理告诉我们，可以 通过直线间的

5、垂直来证明直线与平面垂 直.通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂 直”.因此，处理线面垂直转化为处理线线垂 直来解决.也就是说，以后证明一条直线和 一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条 相交直线和已知直线垂直即可.BDi丄平面ACBi，只需证明BQ】垂直于平面 ACB内某两条相交直线即可.由于平面ACB 内的三条线段4C、B&、AB】与BQ】的相对位置相同，因此只须证明BO】垂直于其中的任意一条,其余的同理可证.D、BBCi【证明】法一：连接D,:.AC丄 D又.DDi丄平ffiABCD,ACu 平面4BCD,:.DDV 丄 AC, 又 VDDxnBD=D, AC丄平面DDB, 又BDiU平

6、面DQB, :.AC 丄 BZ)i 同理可证BD丄ABV XVABjAACA, BD丄平ffiACBj.法二：设AB=，AD=b, AAi=c, 贝!j ab=ac=bc=0V AjBi =AB + ?L4_i =a+c,AC=B+AD=a+bfBDBA+BCDDr =AB +AD +AAi=b+cafI AB i BD i = (a+c) (+ca)=a-b+a-ca2+c-b+c2c-a=f:.ABiEDl同理可证就 丄花，XABinAC=A, BDi丄平面ACBi.【名师点评】 解答这类问题，往往利用转化思 想：要证明线面垂直，常常先证线线垂直，而证 线线垂直，通常又是借助线面垂直完成的

7、，即它 们往往是相互转化的.自我挑战1如图,在正方体ABCD 4/6巧 中，E、F分别是棱B&1、BB的中点.求证：CF丄平面E4B.4i DiB证明：在正方形B/CCi中，E、F分别是B&i、的中点,HBB占3HCBF ZB1BE=ZBCF,:.ZBCF+ZEBC=90 ,:.CF 丄 BEVAB丄平面/CCpCFu 平面B/CCpAB丄CF, yABQBE=B, CF丄平面E4B.关于定理的应用，首先是找出平面的垂线，至 于射影则是由垂足，斜足来确定的，因而是第 二位的，由此，我们可以得出三垂线定理证明 。丄的一个程序：一垂、二射、三证，即：M 一：找平面及平面的垂线；第二：找射影线（或

8、斜线），这时便成为平面内的一条直线及一 条斜线（或射影）；第三：证明射影（或斜线）与直 线垂直，从而得出, 垂直.且丄平面ABC,若0、0分别是 ABC和PBC的垂心，求证：00丄平面PBC00与平面PBC内两条相交直线垂直即可，因为0、0均为三角形的垂心，由此联想到作三角形的高线，应用三垂线定理及逆定理.【证明】0是AABC的垂心斗BC丄0是APBC的垂心OBC丄PEBC丄平面JR4E0u平面ME, ：.0Q丄BCTEl丄平面4BC，BFU平面ABC.BF丄E4.又TO是AABC的垂心，:.BF丄AC.BF丄平面B4C,贝！|FM是在平面E4 C上的射影,BM丄PC,根据三垂线定理的逆定理，

9、得FM丄PC,从而PC丄平面BFM.又O0u面BFM,00丄PC,又PCABC=C, ：.0Q丄平面PBC【名师点评】 三垂线定理及其逆定理主要用于 证明空间两条直线的垂直问题，对于同一平面内 的两条直线垂直问题也可以用“平移法”，将其 转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理证 明.自我挑战2已知长方体AG中，棱AB =BC=1,棱BB、=2,连接过作的垂线交CC于 交BC于F.求证：AiC丄平面DD证明：如图，连接AC,贝!|AC丄80.46?是4&在平面ABCD内的射影，4&丄BD又丄平面B&B,且A&在平面B&iCB内的射影为B&,:B&丄BE, :.ArC丄BE 又：BDCBE=B,

10、 :.AXC丄平面EBD.1.判定线面垂直的步骤与方法(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是：在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；确定这个平面内的两条直线是相交的直线；根据判定定理得出结论.（2）判定线面垂直的方法有:1利用线面垂直的定义：一条直线垂直于平面内 的任意直线，则该直线垂直于这个平面；2利用线面垂直的判定定理；3证明线线（或线面）垂直时，除了利用平面几何 知识（勾股定理逆定理，菱形对角线、圆周角定理 等）之外，还需要注意运用线面垂直的定义和线面 垂直的判定定理，实现线线垂直与线面垂直的相 互转化.2.三垂线定理及其逆定理的应用(1)立体几何的证明问题，如线线垂直、线面垂直(2)立体几何中的计算问题(后面学习).应用三垂线定理及逆定理的关键在于构造三垂线定理的基本图形，创设应用定理的环境.构造三垂线定理 时要抓住以下三个环节：确定射影面；作出 垂线；确是射影.知能优化训练