精品课件数学湘教选修21第3章34.docx
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精品课件数学湘教选修21第3章34
3・4
直线与平面的垂直关系
知能优化训练
L学习目标〕
i•掌握直线与平面垂直的定义.
2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能灵活运用定理证明直线与平面垂直.
3.理解三垂线定理及逆定理，并能应用三垂线定理及逆定理证明线面或线线垂直.
课前自主学案厲故夯基
1・所谓直线的方向向量，就是指和这条直线所
对应的向量平行（或共线）的向量,一条直线的方向向量有无数个.
2.设直线2的方向向量为a=（“力，◎）,直线加
的方向向量为b=（A：
2，乃，勺），贝!
I
知新益能
1.直线与平面垂直
（1）定义：
如果一条直线2与一个平面Q相交，并且垂直于平面a内所有的貢线,就称直线2与平面a垂直，记作2丄久
（2）判定定理①文字语言：
如果一条直线垂直于一个平面内两条相交直线,那么这条直线就与这个平面垂直.
②符号语言：
若直线au平面a,直线〃u平面伉,2丄a,I丄b,an/=O,贝
思考感悟
如何理解直线与平面垂直的判定定理?
（2）重点问题：
要与两条相交直线垂直.
（3）所体现的思想：
将空间问题“平面化”的思想.
2・三垂线定理：
在平面内的一条直线，如果它和
和这条斜线垂直.
3.三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线,
如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.
课堂互动讲练
考点突破
直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊位置关系，可以理解为直线垂直于平面内的所有直线，也可理解为直线与平面所成的角为90°・
【思路点拨】根据直线与平面垂直的相关概念，并结合特殊的几何体，如正方体或者教室内的实物来说明.
【解析1
（1）直线与平面平行，则直线与平面内的
直线的位置关系不外乎有两种：
①平行；②异面，因此⑴假・
（2）该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关
系.若为平行，该命题则错；若为相交，则该命题为真，正是因为这两种情况可能同时具备，因此,不说明面内这无数条直线的位置关系，该命题则为假命题.
（3）垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所
在的平面，由线面垂直定义的逆用可知，则该直线必垂直于三角形的第三边，・・・该命题真.
（4）前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一
个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.根据第一个命题知：
过点A垂直于直线的平面唯一，因此，过点A且
与直线a垂直的直线都在过点A且与直线。
垂直的
平面内，.••该命题真.
⑸三条共点直线两两垂直，设为”，b,c,且a,b,c共点于0••:
a丄b,a丄c,bC\c=O9:
・b、c确定一平面，设为伉，贝衍丄久同理可知〃垂直于a、c确定的平面，c垂直于°、〃确定的平面・・•・该命题真.
【答案】C
【名师点评】注意线面垂直的定义中“所有的直线”与“无数条直线”不同，其实质是直线与平面内任意一直线垂直.
直线与平面垂直的判定
nr-
直线与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直.通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”.因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决.也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可.
BDi丄平面ACBi，只需证明BQ】垂直于平面ACB]内某两条相交直线即可.由于平面ACB]内的三条线段4C、B&、AB】与BQ】的相对位
置相同，因此只须证明BO】垂直于其中的任意
一条,其余的同理可证.
D、
B\
B
Ci
【证明】法一：
连接〃D,
:
.AC丄〃D・
又・.・DDi丄平ffiABCD,
ACu平面4BCD,
:
.DDV丄AC,又VDDxnBD=D,・・・AC丄平面DDB,又・・・BDiU平面DQB,:
.AC丄BZ）i・同理可证BD］丄ABVXVABjAAC^A,・・・BD］丄平ffiACBj.
法二：
设AB=〃，AD=b,AAi=c,贝!
ja・b=a・c=b・c=0・
VAjBi=AB+?
L4_i=a+c,
AC=^B+AD=a+bf
BD^BA+BC^DDr=—AB+AD+AAi=b+c—af
•IABi・BDi=（a+c）•（〃+c—a）
=a-b+a-c—a2+c-b+c2—c-a=^f
:
.ABi^EDl
同理可证就丄花，XABinAC=A,・・・BDi丄平面ACBi.
【名师点评】解答这类问题，往往利用转化思想：
要证明线面垂直，常常先证线线垂直，而证线线垂直，通常又是借助线面垂直完成的，即它们往往是相互转化的.
自我挑战1如图,在正方体ABCD—4/6巧中，E、F分别是棱B&1、B]B的中点.
求证：
CF丄平面E4B.
4iDi
B
证明：
在正方形B/CCi中，
•••E、F分别是B&i、的中点,
・•・HBB占3HCBF・
・・・ZB1BE=ZBCF,
:
.ZBCF+ZEBC=90°,
:
.CF丄BE
VAB丄平面〃/CCp
CFu平面B/CCp
•••AB丄CF,yABQBE=B,•••CF丄平面E4B.
关于定理的应用，首先是找出平面的垂线，至于射影则是由垂足，斜足来确定的，因而是第二位的，由此，我们可以得出三垂线定理证明。
丄〃的一个程序：
一垂、二射、三证，即：
M一：
找平面及平面的垂线；第二：
找射影线（或斜线），这时〃便成为平面内的一条直线及一条斜线（或射影）；第三：
证明射影（或斜线）与直线°垂直，从而得出°,〃垂直.
且丄平面ABC,若0、0分别是△ABC和
△PBC的垂心，求证：
00丄平面PBC・
00与平面PBC内两条相交直线垂直即可，因为
0、0均为三角形的垂心，由此联想到作三角
形的高线，应用三垂线定理及逆定理.
【证明】
0是AABC的垂心斗BC丄
0是APBC的垂心OBC丄PE
BC丄平面JR4E
・・・0°u平面ME,：
.0Q丄BC・
TEl丄平面4BC，BFU平面ABC.BF丄E4.
又TO是AABC的垂心，:
.BF丄AC.
・・・BF丄平面B4C,
贝！
|FM是在平面E4C上的射影,
・・・BM丄PC,根据三垂线定理的逆定理，
得FM丄PC,从而PC丄平面BFM.
又O0u面BFM,・・・00丄PC,
又PCABC=C,：
.0Q丄平面PBC・
【名师点评】三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题，对于同一平面内的两条直线垂直问题也可以用“平移法”，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理证明.
自我挑战2已知长方体AG中，棱AB=BC=1,棱
BB、=2,连接过〃作的垂线交CC]于交B]C于F.求证：
AiC丄平面
D
D
证明：
如图，连接AC,贝!
|AC丄80.・・・46?
是4&在
平面ABCD内的射影，・・・4&丄BD•又丄平面
B&&B,且A&在平面B&iCB内的射影为B&,
•:
B&丄BE,:
.ArC丄BE又•：
BDCBE=B,:
.AXC丄平面EBD.
1.判定线面垂直的步骤与方法
（1）利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与
平面垂直的步骤是：
①在这个平面内找两条直
线，使它和这条直线垂直；②确定这个平面内
的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得
出结论.
（2）判定线面垂直的方法有:
1利用线面垂直的定义：
一条直线垂直于平面内的任意直线，则该直线垂直于这个平面；
2利用线面垂直的判定定理；
3证明线线（或线面）垂直时，除了利用平面几何知识（勾股定理逆定理，菱形对角线、圆周角定理等）之外，还需要注意运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实现线线垂直与线面垂直的相互转化.
2.三垂线定理及其逆定理的应用
（1）立体几何的证明问题，如线线垂直、线面垂直
（2）立体几何中的计算问题（后面学习）.应用三垂
线定理及逆定理的关键在于构造三垂线定理的基
本图形，创设应用定理的环境.构造三垂线定理时要抓住以下三个环节：
①确定射影面；②作出垂线；③确是射影.
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