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1、第四章斜齿行星齿轮传动系统动力学分析精选西北工业大学硕士学位论文 参考文献第四章 斜齿行星齿轮传动系统动力学分析4.1 引言行星齿轮传动由于具有重量轻、结构紧凑、传动比大、效率高等优点，在民用、国防领域中都得到了广泛的应用，行星齿轮传动的振动和噪声是影响传动系统寿命和可靠性的重要因素。近年来，国内外学者对行星齿轮传动的动态特性进行了大量研究：J.Lin 、R.G.Parker 、宋轶民等分析了行星齿轮传动的固有特性42-49 ；A.Kahraman等研究了行星齿轮传动的均载特性 50-52 ，并分析了加工误差对动态响应的影响 53-54 ； R.G.Parker 等还提出了通过控制啮合相位差抑

2、制系统振动的方法 55-57 ；潜波、罗玉涛、 D.R.Kiracofe 等探讨了复杂行星齿轮传动的动力学建模与分析59-65 ；沈允文、孙涛、孙智民等对星型齿轮传动和行星齿轮传动的非线性动力学特性进行了深入研究 66-70 。目前，关于行星齿轮传动的研究多针对直齿行星轮系，而对斜齿行星传动的研究还很少，所建立的模型也有待进一步完善。建立精确的动力学模型，是研究动态特性的首要工作，本章针对斜齿行星齿轮传动，以变形协调分析为基础，建立了其耦合非线性动力学模型，推导了其运动微分方程，最后分析了斜齿行星轮系的自由振动特性，对固有频率和固有振型的特点进行了总结。4.2 系统的动力学模型及方程4.2.1

3、 传动系统的动力学模型行星齿轮传动平移 - 扭转耦合动力学模型考虑的自由度非常多， 因此其动力学方程也非常复杂。为方便动力学方程的推导，建立各个集中质量的坐标系如下：OXY 为静坐标系，其原点在行星轮系的几何中心， 坐标系不随行星轮系运动； Oxy 为行星架随动坐标系，其原点在行星架回转中心，固连在行星架上随行星架的运动而等速运动，其x 轴正向通过第一个行星轮中心平衡位置；坐标系On xn yn 为行星轮坐标系，也固连在行星架上随之等速旋转，其原点位于行星轮的中心平衡位置，x 轴通过太阳轮中心与行星轮中心的连线指向内齿圈，y 轴与行星架相切指西北工业大学硕士学位论文 参考文献向行星轮中心运动速

4、度方向。以 3 行星轮的传动系统为例，建立行星齿轮传动动力学模型如图 4-1 所示，各弹性支承及啮合副均有阻尼，为保持模型整洁阻尼符号未在图中标出，其命名规则与刚度系数相同，只需将k 换成 c 。Y行星轮 2x2krkrukr2y, y s, yc, yry2kpkcuu2urksuks2uc行星轮 3太阳轮 2k ckrXk s3u3ksy1x3kpk s1k p kr1k r3usu1y 3行星架x, x 1, xs, xc, xr齿圈kc行星轮 1图 4-1 行星齿轮传动平移 -扭转耦合动力学模型端面的动力学模型还不足以表述各构件在轴向的运动情况，需要轴侧图加以辅助说明。斜齿行星传动中各

5、构件在轴向的相对位移关系如图 4-2 所示，为表达清晰，图中未画出内齿圈的支承和行星架。假定各个构件在端面平移方向的刚度和阻尼相同，而在轴向的刚度和阻尼与端面方向不同。内齿圈cpzkpz cp太阳轮crnksnkpcszcp krnkpk szcsnkscs 行星轮cs k s图 4-2 行星轮系各构件间的相对位移西北工业大学硕士学位论文 参考文献2K-H 型斜齿行星齿轮传动系统由太阳轮、 N 个行星轮、行星架和内齿圈构成，可根据使用要求固定其中任何一个构件，实现不同的功率传递形式。图4-1 及图4-2 所示的模型中共包含有 4 N12 个自由度，其广义坐标分别是：太阳轮的扭转线位移usrs

6、srr r，第n个行星轮相对于行星架的扭，内齿圈的扭转线位移 ur转线位移 un rn n ，行星架的扭转线位移 uc rc c ，以及各构件在端面和轴向的平移线位移 xs, ys, zs , xr , yr , zr , xc , yc , zc , xn , yn , zn ，不考虑系统的摆振。 其中 rh 为构件 h的基圆半径 ( h s,r , n ； rc 为行星轮中心分布圆的半径 ) ， h 为构件 h 的角位移。系统的广义坐标矢量可表示为：w xc , yc , zc , uc , xr , yr , zr ,ur , xs , ys, zs ,us, x1 , y1 , z1,

7、u1, xN , yN , zN , uN T4.2.2 构件的质心加速度分析在齿轮系统动力学分析中，一般仅考虑刚体位移和弹性变形的叠加，而不考虑二者的耦合作用，也即陀螺效应。在低速条件下，陀螺效应对系统的影响可以忽略不计，但随着系统转速的提高，耦合响应会变得越来越大，此时陀螺效应将变得不可忽略。为建立准确的动力学模型和方程，需要对行星齿轮传动的构件质心加速进行分析，以明确陀螺效应对系统动力学特性的影响机理。行星传动系统中构件数目较多，且存在虚约束，各构件之间的相对运动关系较为复杂。以图 4-3 所示的行星架随动坐标系来分析行星轮系中各构件的运动。YyriyixxicX图 4-3行星架随动坐标

8、系图 4-3中， OXY 为静坐标系， Oxy 为行星架随动坐标系。对任一时刻 t ，行星架随动坐标系 Oxy 相对静坐标系 X 轴转过的角度cct 。设 ri 是行星轮系中某构件质心的位移向量，、 分别为 x 、 y 轴方向的单位矢量， xi 、 yi 分别是 ri 在xi可表示为：、 y 轴上的投影，则 rri xiyi(4-1)在静坐标系中，有 ei ccos ci sinc , 则、及二者的导数可表示为：西北工业大学硕士学位论文参考文献ei cei ( c /2)(4-2)cc将 ri 对时间 t 求二阶导，并结合式 (4-2)可得构件质心加速度：ri (xi 2 c yic2 xi

9、)( yi 2 c xic2 yi )(4-3)式 (4-3) 表明在行星架随动坐标系中，任意构件的质心加速度都可以表示为、两个方向加速度分量的矢量和。4.2.3 构件间的相对位移分析行星齿轮传动系统中，力的传递使存在相互作用的构件产生弹性变形，通过构件的受力分析和变形协调分析，可以推导出构件的平衡方程。根据图 4-1 、4-2所示的构件相对位置，对各坐标方向的位移进行投影，分析构件间的相对位移关系，以 s, r 表示行星轮与太阳轮、内齿圈的啮合角，在行星架随动坐标系下：(1)太阳轮在 xs 方向的位移投影到sn 方向为：xs sin(ns )cos(2)太阳轮在 ys 方向的位移投影到sn

10、方向为： ys cos(ns )cos(3)太阳轮在 zs 方向的位移投影到sn 方向为： zs sin；(4)行星轮在 xn 方向的位移投影到sn 方向为：xn sins cos；(5)行星轮在 yn 方向的位移投影到sn 方向为：yn cos s cos；(6)行星轮在 zn 方向的位移投影到 sn 方向为： zn sin ；(7) 行星轮在 xn 方向的位移投影到 rn 方向为： xn sin r cos ；(8)行星轮在 yn 方向的位移投影到 rn 方向为： yn cos r cos ；(9) 行星轮在 zn 方向的位移投影到 rn 方向为： zn sin ；(10)内齿圈在 xr

11、方向的位移投影到 rn 方向为： xr sin(nr )cos(11)内齿圈在 yr 方向的位移投影到 rn 方向为： yr cos(nr )cos(12)内齿圈在 zr 方向的位移投影到 rn 方向为： zr sin ；(13)行星轮在 xn 方向的位移投影到 xc 方向为： xn cos n ；(14)行星轮在 xn 方向的位移投影到 yc 方向为： xn sin n ；(15)行星轮在 yn 方向的位移投影到 xc 方向为： yn sin n ；(16)行星轮在 yn 方向的位移投影到 yc 方向为： yn cos n ；(17)行星架在 xc 方向的位移投影到 xn 方向为： xc c

12、os n ；(18) 行星架在 xc 方向的位移投影到 yn 、 uc 方向为： xc sin n ；(19)行星架在 yc 方向的位移投影到 xn 方向为： yc sin n ；(20)行星架在 yc 方向的位移投影到 yn 、 uc 方向为： yc cos n 。；西北工业大学硕士学位论文 参考文献各构件间的弹性变形是由以上各项投影位移共同作用所引起的，只需将相关投影项叠加，便能得出不同构件在各广义坐标方向的相对位移，即弹性变形量。在行星架随动坐标系下，考虑啮合误差的构件间相对位移可表示为：snrn(us un xn sin( zs zn )sin(ur un xn sinxs sin s

13、n yn cos ys cos sn )cosesn (t)xr sin rn yn cos yr cos rn )coscnxcnycnzcnupnxpny( znzr )sincucsinnxycuc cosnzcznucynxc sinxnxc cosnynucxc sinern (t) xn cos n xn sin nnyc cosyc sin nnyc cosyn sin n(4-4)yn cos nnn式中： sn, rn 第 n 个行星轮与太阳轮、内齿圈在各自啮合线方向的相对位移；cnx , cny , cnz , cnu行星轮与行星架在 x , y , z, u 方向的相对位

14、移；ccccpnx , pny行星轮与行星架在 x , yn方向的相对位移；nn 第 n 个行星轮中心和行星架中心连线与xc 正方向的夹角；n2 (n 1) / N ， snn， rnn；齿轮的压力角；齿轮的螺旋角；esn (t), ern (t) 第 n 个行星轮与太阳轮、内齿圈之间的啮合误差。根据式 (4-4) 的弹性变形计算公式， 可以确定构件所受各方向的作用力。 啮合力向量始终作用在啮合面内，啮合齿轮可视为由弹簧和阻尼相连的刚体，因此，行星轮与太阳轮、内齿圈之间的啮合力可表示为：Fsnksn f (sn )csnsn(4-5)Frnkrn f (rn )crnrn式中： ksn , k

15、rn 第 n 个行星轮与太阳轮、内齿圈的啮合刚度；csn , crn 第 n 个行星轮与太阳轮、内齿圈的啮合阻尼；f ( ij ) 间隙函数，表示各啮合副的变形量， i s, r ; j n 。各行星轮沿圆周方向的分布满足均布条件，使不同行星轮与太阳轮、内齿圈出现异步啮合，同一时刻各啮合副的刚度值并不相等。一般的动力学分析常常忽略异步啮合引起的啮合相位差，但从振动波形叠加的角度考虑，啮合相位差对系统的动力学特性有着重要影响。啮合相位差主要由构件的齿数和行星轮的个数决定，各齿轮副间啮合相位差的计算公式为：西北工业大学硕士学位论文参考文献sn2(n1)zs / N prn2(nrp(4-6)1)z

16、 / Nsr2zp/ 2式中： 取余运算；N p 行星轮的个数；zs , zp , zr 太阳轮齿数、行星轮齿数、内齿圈齿数；sn 太阳轮与第 n 个行星轮啮合相对于与第一个行星轮啮合的相位差；rn 内齿圈与第 n 个行星轮啮合相对于与第一个行星轮啮合的相位差；sr 任一行星轮与太阳轮啮合相对于与内齿圈啮合的相位差。4.2.4 传动系统的动力学方程系统中每个构件都包含两个端面平移自由度、一个轴向平移自由度和一个扭转自由度，根据牛顿第二运动定律可建立各广义坐标对应的平衡方程。 设构件 h 的质量为 mh ，转动惯量为 Jh ，端面平移阻尼系数为 ch ，轴向平移阻尼为 chz ，扭转阻尼系数为

17、chu ，端面平移刚度系数为 kh ，轴向平移刚度系数为 khz ，扭转刚度系数为 khu 。Th 表示构件 h 所受的外力矩， 假设外力矩方向与图 4-1 中各构件的旋转方向相同。不考虑啮合轮齿间的摩擦，则行星架、内齿圈、太阳轮、第 n 个行星轮的动力学微分方程可分别表示为：mc ( xcmc ( ycmczcJc2 c yc2 c xcNcpz cnzn1 NNNc2 xc )cpcnxkpcnxcc xckc xc0n1n1c2 yc )NNcpcnykpcnycc yckc yc0n 1n1Nkpzcnzccz zckczzc0n 1NTc(4-7)2rcuccp cnun 1kp c

18、nu ccuuckcu ucn 1rcN2mr ( xrmr ( yrmr zr2c yr2c xrNFrn sinc xr )Frn cossinrncr xrkr xr0n 1Nc2 yr )Frn coscosrncr yrkr yr0n1crz zrkrz zr0(4-8)J rrr 2 urn 1NrFrn cosTcru ur kru urn 1rr西北工业大学硕士学位论文 参考文献ms( xsms( ysmszsJ srs2 us2 c ys2 cxsNFsn sinn1 NFsn cosn 1c2 xs )NFsn cos sin sn cs xs ks xs 0n1 Nc2

19、ys )Fsn coscos sn cs ys ks ys 0n 1(4-9)csz zskszzs0ksuuscsuusTsrsmn ( xn2c ync2 xn )Fsn cossinFrn cossincppnxkppnx0mn ( yn2cxn2yn )Fsn coscosFrn coscoscpk p0cpnypnymn znFsn sinFrn sincpzcnzkpzcnz0(4-10)2)unFsn cosFrn cos0(J n / rn上述动力学方程组考虑了陀螺效应，从中可以看出，陀螺效应对系统影响的大小由行星架的转速直接决定。将上述方程组写成矩阵形式，有：Mq (Cb C

20、m cG )q ( K b K m c2 K )q F (4-11)q xc , yc , zc ,uc , xr , yr , zr , ur , xs , ys, zs, us, x1 , y1, z1 ,u1, , xN , yN , zN , uN T式中： q 系统的广义坐标矢量；M 系统的广义质量矩阵；Cb , Cm , G 支承阻尼矩阵、啮合阻尼矩阵、陀螺矩阵；Kb , K m , K 支承刚度矩阵、啮合刚度矩阵、向心刚度矩阵；F外激励矢量。式 (4-11) 包含扭转方向的刚体位移，可以引入相对位移 sn 、 rn 、 cnu 作为新的广义坐标，对以上四个方程组中的扭转振动方程进

21、行合并处理，再对消除刚体位移后的方程进行无量纲化处理，最终得到系统的无量纲振动方程。4.3 传动系统的固有特性分析4.3.1 系统的自由振动微分方程系统的自由振动方程可通过对式 (4-11) 进行简化处理得到。不考虑间隙、误差及阻尼、外载荷的影响，当行星架速度较小时，科氏力和离心力均可忽略，假定端面平移刚度与轴向平移刚度相等， 将式 (4-4) 代入以上四个方程组， 系统的无阻尼自由振动方程为：西北工业大学硕士学位论文NNNNmc xckcxck p xca1k puca2k p xna1kp yn 0n1n1n 1n 1m ykNkyNa kuNa kxNy0cya kpncc cp c2p c1p n2n 1n1n 1n 1NNmc zckc zck p zckp zn0n1n1MuNxNa ky k uNkuNky0a kcpnc c1 p2p ccu cp cn 1n 1n1n 1NNNNmr xrkr xra6krn xra8 krn yra3krn zra4krn urn1n 1n 1n 1NNNNa5krn xna7 krn yna3krn zna4krn un0n 1n 1n 1n1NNNNmr yra8krn xrkr yra13krn yra9krn zra10krn urn 1n 1n1n1NNNN