初等函数的性质研究.docx

1、初等函数的性质研究初等函数的性质研究摘要：初等函数是中学数学最重要的概念之一，在数学和其他许多学科中有着广泛的应用。因此，无论在数学中，还是中、高考时都是重中之重，占有相当大的比例。但在平时的中学数学教学中，学生学习函数难也是为广大师生“认可”的学习障碍。当师生满足于一个一个函数、一条一条性质的学习时，却发现学完了函数还是弄不清楚：函数究竟是什么？究其原因，我认为主要是未能对初等函数作系统化的研究整理。因而，函数在他们的学习中总是零碎的、片面的。在此，笔者以多年从事中学数学教学的体会，对初等函数的性质及其教学研究讲解整理，以期改善中学函数的教学。 关键词：初等函数 零值点 最值 奇偶性 连续性

2、在由中华人民共和国教育部制订的数学课程标准（实验，人教版）中指出，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。可以认为，函数是中学数学教材的主旋律，是初等数学到高等数学的枢纽：全部高中代数是以函数为主线展开的；平面解析几何全面渗透了函数的思想方法；主体几何的许多内容也可理解为通过空间模型建立的函数关系。因此，无论在平时的教学中，还是在中、高考时都是重中之重，占有相当大的比例。例如，在2002年的高考数学试题中，以二次函数为载体的函数大题考查了函数的奇偶性，单调性、最值、分类讨论思想等

3、；以二次函数和三角函数为主，全面考查了函数的性质、类型、图象、数学思想方法以及综合运用。但在中学数学的课堂教学中，学生学习函数难也是为广大师生“认可”的学习障碍，学完了一个一个的函数、一条一条的性质，却始终弄不清楚：函数究竟是什么？笔者通过多年从事中学数学的教学，认为其原因是未能对函数及其性质作系统化的研究、整理，函数的性质总是零散的、感性的，没有得到提升，因而造成运用函数思考问题的意识和解决问题的能力比较差，久而久之，成为学习的障碍。在此，笔者对初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数筹）的性质进行研究、整理，以期引起师生们的重视、改善初等函数的教学。 一、函数的定义域 函数的定义域是

4、研究函数问题的关键，是函数研究的前提环境，函数的实质决定于定义域和对应法则。没有函数的定义域，函数研究无从谈起。如果不加以特别的说明，函数的定义域指，能使有意义的实数x的集合。由函数的解析式求函数定义域的方法依据主要有：分式的分母、零指数幂的底数均不能为零；偶次根式的被开方数不能为负；对数的底数大于零而不等于1，真数大于零；三角函数与反三角函数存在；如果中有以上各部份等，则应为满足各部份的x的集合的交集；对实际问题应结合其实际意义予以考虑。例1.求函数的定义域。解：由“”知： 由“”知： 所求定义域为：由“”知： 例2.已知函数的定义域是（），求a。解：显然a=0时，成立；a0时，=4a(4a

5、-3)或则：a0 a0 0 0解得：0a f（x2），就称y=f（x）在a，b上具有单调性，是增（减）函数，a，b称为一个单调区间。最常见的函数单调性的判定或证明方法有：定义法，图象法等,利用单调性，我们可以比较函数值的大小、求最值等。在研究单调性时，定义域始终起着关键作用，需要强调的是，求定义域必须用原来的表达式。例1，比较0.230.712和0.230.713的大小。解：指数函数y=0.23x在其定义域内是减函数.而：0.7120.7130.230.7120.230.713例2：已知f（x）=8+2xx2，g（x）=f（2x2），求g（x）的单调区间。解：令u=2x2则： g（x）=8+2

6、uu2u=2x2在（，0）上是增函数，在（0，+）上是减函数。又：f（u）=8+2uu2在（，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数。而u1得1；u1得1g（x）的单调区间为：增区间：（，1）、1，+；减区间：1，1可列表（略）。七、奇偶性已知函数y=f（x），对于任意x：若f（x）=f（x），则称y=f（x）为偶函数；若f（x）= -f（x），则称y=f（x）为奇函数；函数y=f（x）是偶函数或奇函数，则称y=f（x）具有奇偶性。对奇偶性的理解，应注意：定义域的对称性、函数值的对称性和图象的对称性。而奇偶性的判定首先应看定义域是否对称，然后再根据定义判定；也可以根据其四则运算规律进行判定；还

7、可以利用函数图象判定。在判定时，应先对函数进行化简。例：由f（x）=lg（4+x）+lg（4x）知其定义域为，具有对称性，而：f（x）=lg（4x）+lg（4+x）=f（x）f（x）是偶函数，不是奇函数。八、周期性对于函数y=f（x），如果存在一个非零常数T，使得对于任意x，有f（x+T）=f（x），则称y=f（x）为周期函数，T叫做这个函数的周期。显然，如T为周期，则可kT（kZ）也是f（x）的周期，其中若有最小正数，则称为最小正周期。特别，最小正周期有时不一定存在，如f（x）= c（常数）的周期为任意正数，无最小者。例：已知数列an中任何相邻三项之和为20，且a4=9，a12=7，求a8。

8、解：据题意得：an+an+1+an+2=an+1+an+2+an+3an=an+3数列an以3为周期a7=a4=9，a9=a12=7又：a7+a8+a9=20a8=4九、连续性（间断性）对于函数y=f（x），若在点x0处可导，且（x0）=f（x0），则称函数在点x0处连续，否则称为间断。例如：y=tanx当x=（kZ）时，y=tanx不存在，故x=（kZ）为其间断点。显然平行直线簇x=（kZ）为其渐近线簇。又如：y=，x=0为其间断点，考虑到其值域为yy0，因此其渐近线为直线x=0（y轴）和y=0（x轴）。以上仅为本人对初等函数性质的初步研究和粗浅的认识，毫无深度可言。但是，若能在中学数学教学中，坚持不懈引导学生以此研究每一个函数，在研究完每一个函数之后又能这样系统地加以整理、归纳、思考，并能结合函数的图象，综合运用，“用性质作图象，由图象观性质。“那么，这样的教学必将使学生不仅学会，而且学得愉快。正所谓“授之以鱼，不如授之以渔”。参考文献：普通高中数学课程标准（实验，人教版）傅荣强主编函数朱宗贵函数李应林集合与函数