空间几何体表面积与体积.docx

1、空间几何体表面积与体积第二节空间几何体的表面积和体积教材面面观基础知识常梳理 自主探究强记忆1空间几何体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积之 和，也就是展开图的面积.如果圆柱的底面半径为r,母线长(即高) 为I，则其侧面面积为 S= ，表面积为S= .如果圆锥的底面半径为r，母线长为I, 则其侧面面积为S= ，表面积为S如果圆台的底面半径分别为 r, R，母线 长为I，则其侧面面积为 S= ，表面积为S = .球的表面积公式S= ，其中R为球的半径.答案 2 nl 2 nl + 2 n2 nl nl +n2 n (+ R)l n (+ R)l + n2+ tiR2 4kR22.空间几何体的

2、体积棱柱和圆柱的体积：V = ，其中S是底面面积，h是咼.底面半径为r的 圆柱的体积为 V = n2h.棱锥和圆锥的体积：V = ，其中S是底面面积，h是咼.底面半径为r的 圆锥的体积为 V = .棱台和圆台的体积：V = ,其中S和S分别是上、下底面面积，h是 高.上、下底面半径分别为r和R的圆台的 体积为V = .球的体积：若球的半径为 R，则球的体 积为V = .1 1 A答案 Sh 1 Sh 3 n2h h(S + 3 4VSS + S ) 3ni(r2+ Rr + R2) nR3考点串串讲考点归纳与解析 思维拓展与迁移1.空间几何体的表面积(1)柱体的表面积柱体的表面积是侧面积与上、

3、下底面面 积之和.直棱柱的侧面展开图是矩形 (如图所示)，上、下底面不变，只要计算出侧面面 积，其表面积就可求.圆柱的侧面展开图是矩形 （如图所示），上、下底面不变设柱体的底面周长 为C,高为I，则侧面积为cl.柱体的表面积 为 cl + 2 nr2.（2）锥体的表面积一个棱锥的侧面展开图是由若干个三 角形（如图所示）拼成的，侧面积为各个三 角形面积之和.一个圆锥的侧面展开图为扇 形（如图所示），利用扇形面积公式可求侧 面积.（3）台体的表面积一个棱台的侧面展开图为若干个梯形（如图所示）拼接而成，侧面积为各个梯形 的面积之和而圆台的侧面展开图为扇环（如图所示），其侧面积可由大扇形的面积 减去小

4、扇形的面积而得到.2求体积需注意的问题(1)求球的体积和表面积的关键是求出 球的半径反之，若已知了球的表面积或体 积，那么就可以得出球的半径的大小(2)计算柱、锥、台体的体积，关键是根 据条件找出相应的底面面积和高， 应注意充 分利用多面体的截面和旋转体的轴截面， 将 空间问题转化为平面问题求解(3)注意求体积的一些特殊方法：分割 法、补体法、转化法等，它们是解决一些不 规则几何体体积计算常用的方法， 应熟练掌 握(4)利用三棱锥的“等体积性”可以解 决一些点到平面的距离问题， 即将点到平面 的距离视为一个三棱锥的高， 通过将其顶点 和底面进行转化， 借助体积的不变性解决问 题3与棱柱有关的计

5、算公式(1)直棱柱的侧面积： 如果直棱柱的底面 周长为C,高是h(侧棱长)，那么它的侧面 积是S侧=Ch.(2)斜棱柱的侧面积： 斜棱柱的侧面积等 于它的直截面的周长与侧棱长的积，即 S 侧 =C I.(3)棱柱的全面积：棱柱的全面积等于侧 面积与两底面面积的和.(4)棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底 面面积与高的积.斜棱柱的侧面积可通过下图来理解.棱柱的体积 V = Ch也可以推广到圆 柱体上.即V柱=Ch.棱柱的体积为底面积乘 咼，而与棱柱的形状无关.4.柱体、台体、锥体的表面积和体积 之间的转化.当rf R时，圆台上底变大，逐渐转化 为圆柱，当r = R时，其表面积与体积公式 就是圆柱的

6、表面积与体积公式.当rf0时，圆台上底变小，逐渐转化 为圆锥，当r = 0时，其表面积与体积公式 就是圆锥的表面积与体积公式.典例对对碰反思例题有法宝 变式迁移有技巧题型一多面体的侧面积例1若正三棱锥的斜高是高的 倍， 则棱锥的侧面积是底面积的 倍.()2A3 B 28C.3 D. 3解析设斜高为h ，高为h，则严=h3 : S底V，则底面边长为：3h ,故二2 S则3 3h， 2 14 17 = 2，即侧面积是底面积的 23X 3h 2 2倍.答案 B变式迁移1已知三棱柱 ABC AiBiCi的侧棱与底 面边长都等于2，Ai在底面ABC上的射影 为BC的中点，则三棱柱的侧面积为答案 27+

7、4解析如图所示，设D为BC的中点, ABC为等边三角形，AD丄BC , BC 丄平面 AiAD , BC 丄 AiA,又 T AiA / BiB,BC丄BiB,又T侧棱与底面边长都等于 2,四边形BBiCiC是正方形，其面积为4.S 四边形 ABBiA1 7,S三棱柱侧2 7 + 4.题型二旋转体的面积例2圆台的上、下底面半径分别是iOcm 和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180,那么圆台的表面积是多少？分析（1）对于柱、锥、台体要灵活运用 侧面展开图；（2）对于球关键是寻求半径.解析 如图所示，设圆台的上底面周长为c,因为扇环的圆心角是180 ；故c= nSA =2 nX 10,所

8、以 SA= 20,同理可得 SB = 40, 所以AB = SB SA= 20,二S表面积=S侧+ S2 2上 + S 下=n（1 + r2）B + nr 1 + n2 = n （1 令 20） X 20 + nX 102+ nX 202= 1100 n m 故点评解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、 下底面圆的周长是展开图的弧长.变式迁移2将圆心角为120面积为3 n的扇形作 为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于答案 4n解析 设扇形的半径为r,弧长为I,则 1 1 2有2rl = 35冗= 3 n,所以 r = 3, I = 2 n,于 是圆锥的母线长为 3,底面

9、半径为1,故表 面积 S= 3 n+ n 匕 4 n.题型三多面体的体积例3如图所示，三棱锥的顶点为P, PA、 PB、PC为三条侧棱，且 PA、PB、PC两两 互相垂直，又 PA= 2, PB = 3, PC = 4,求 三棱锥P ABC的体积V.分析 本题是考查根据题目条件利用体积公式求体积的问题.三棱锥的体积 V =13Sh，其中S为底面积，h为锥体的高，而 三棱锥任意一个面都可以作为底面， 所以此 题可把点B作为顶点， PAC作为底面求解.解析 PAQ PC= P,又 PA、PB、PC两两垂直， PB丄面PAC,11 1故三棱锥体积 V = 3Sh =尹厶pac PB = 31X-X

10、2 x 4X 3= 4.2点评 三棱锥又称为四面体， 它的每一 个面都可当作底面来处理， 这一方法叫做体积转移法（或称等积法）随着知识的增多， 它的应用越来越广泛，例如本题就可以用VP - ABC = VA - PBC = VB - PAC = Vc - PAB 计算体 积在具体计算时如何选取顶点，要根据具 体情况决定.选取的原则是底面积和高容易 计算变式迁移3已知一个三棱台的两底面是边长分别 为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等 的等腰梯形，且其侧面积等于两底面面积之 和，求棱台的高和体积.解析如图所示，三棱台ABC - A B C中，0、0分别为两底面的中 心，D、D分别是BC、B

11、C的中点， 则DD 是梯形BCC B 的高，所以S侧=(20 + 30) DD 3 = 75DD .又 A B=20, AB = 30,则上、下底面面积之和为 S 上+ S 下=q （20+ 302）= 3253由 S 侧=S 上D D2 0D - 0 D 2 =题型四旋转体的体积例4母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于3 n则该圆锥的体积为（22 8A. 81 n B.81 n4 5 10C. 81 冗 D.81 冗 解析圆锥的侧面展开图扇形的弧长，4 4即底面圆的周长为3n与3兀，于是设底面圆4 2的半径为r，则有2 n = 3n,所以r = 3,于 是圆锥的高h = 1- ；2=W，

12、故圆锥的体积V = 81 n答案 C变式迁移4在厶 ABC 中，AB = 2, BC = 1.5, Z ABC=120若使 ABC绕直线BC旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ）A.|n7C.n答案B.|n9Dp nA解析1V = V大圆锥V小圆锥=3 np2(1 + 1.5-1)=2n，故选A.题型五球的表面积与体积例5半球内有一内接正方体， 则这个球 面的面积与正方体表面积之比是 （ ）D.分析 解决本题的关键是找出正方体的棱长和半球的半径之间的关系. 正方体内 接于半球，即正方体的四个顶点在半球面 上，另外四个顶点在半球的底面圆上.解析如图所示的是内接正方体的对 角面，设正方体的棱长

13、为 a,则OiB =走, 在 Rt OEB 中，OB = R（球半径）,OE a, BE = aQ I Q Q方体表面积 =6a , S半球表面积 =2 4冗R = 3 n ,2 2二S半球表面积：S正方体表面积 =3 n : 6a = n2.答案 D点评对于多面体与旋转体的组合体， 一般解决方法是根据组合体的几何性质作 出截面，把关键量转到一个平面上，利用平 面几何知识找出相关量之间的数量关系. 其中准确作出能包含多面体和旋转体各元素 的截面是解决问题的关键，也是难点 .变式迁移5正四面体的内切球与外接球的体积之比为（ ）A. 1: 3 B. 1: 9C. 1: 27 D. 1: 81答案

14、C解析本题主要考查与球有关的两种 组合问题：球内切空间几何体和空间几何体 内接球问题，在正四面体中内切、外接球球 心重合.设正四面体的棱长为 a,底面的面积为 S,棱锥的高为h，如图所示，设，01为底面 中心，则0沪丄平面ABC, AD = a, O1A2 3 2 小 2=3 AD = a， O1P = AP2 O1A2 = a2 a =fa， h = fa.设内切球球心为0,则0到四个面的距离都为内切球的半径r, VpABC = VoABC + VoPAC + VoPBC + VoPAB , 3Sh= 4S r,a. OA 为外接球半径 R,R = OA =V 外接球=r3: R3= 1:

15、27.寸 OOi2+ O1A2V内切球：0.题型六由二视图求表面积和体积例6已知某几何体的俯视图是如图所示 的矩形，正视图是一个底边长为 8,高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个 底边长为6,高为4的等腰三角形，X6(1)求该几何体的体积 V;(2)求该几何体的侧面积 S.解析 由已知可得，该几何体是一个底 面为矩形，高为4,顶点在底面的射影是矩 形中心的四棱锥V ABCD，如图所示.1(1)V = 3X (8X 6)X 4 = 643(2)该四棱锥有两个侧面 VAD、VBC是全等的等腰三角形，且 BC边上的高为hi =寸42+号2 = 4也，另两个侧面 VAB, VCD 也是全等的

16、等腰三角形， AB边上的高为h2 =V42 + 22=5因此 S= 2(2 x 6X 4罷 + 1X 8X 5) = 40变式迁移6已知某个几何体的三视图如图所示， 根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几正視加 櫥视图答案 20cm解析 V = 3 x 20 x 20 x h = 8000,二 h33=20cm.题型七边长、半径、高度、面积及体积 比的关系例7如图所示，过圆锥 SO的两个三等 分点分别作平行于底面的截面，两个截面将 圆锥的侧面分成三部分. r Hl 1（1）求三部分侧面面积的比；求圆锥被分成的三部分的体积比（由 上到下）解析 过圆锥的高SO作截面图（此截面 称为圆锥的轴截

17、面），设原圆锥的底面半径为 r，由上至下两个截面圆的半径分别为 ri,2,相应的母线长分别为11，12.三个圆锥的侧面积之比Sso侧:Ssc2侧: Sso侧=nili: n2l2： nl = rili:2b: rl = SOi2： SC22: SO2= i: 4: 9,所以，由上至下三部 分的侧面积之比为 1： 3：5.(2) 三 个 圆 锥 的 体 积 之 比 为 V SO1 ：VSOSO2: Vso= ni2 SO1: n2 SO2: n2 SO =SOi3： SO23: SO3 = 1 : 8: 27,所以，由 上至下三部分的体积之比为 1: 7: 19.点评(1)旋转体的轴截面(过轴的

18、截面) 是反映几何体特征的主要图形, 要善于从中 挖掘数量关系(2)圆锥被平行于底面的平面所截, 被分 成的两部分体积之比等于两底面半径比的 立方,也等于相应高度的比的立方；被分成 的两部分的侧面积之比等于底面积之比, 也 等于相应底面半径比的平方, 也等于相应高 的比的平方； 两部分底面半径的比等于相应 高度的比对于棱锥具有类似的性质 .变式迁移 7 平行于底面的两个平面把棱锥分成等体积的三部分，求这两个平面把棱锥的高所 分成的三部分的比(如图所示)解析 解法一：用大、小棱锥体积之比 等于对应棱锥高的立方比，使用分比定理即 可. V: 2V: 3V = h3: hi3: h23，两端开立 方

19、得1:旬2: 3= h: hi: h2，由分比定理 得 h :(hi h) : (h2-hi) = 1: (3 2- 1) : (3 3解法二：可设出棱锥的高被两个平面截 成的三部分分别为hi、h2、h3，再分别用体 积把它们表示出来.设棱锥的体积为 3V，两个平行于底面 的平面把棱锥的高分为三部分：hi、h2、h3, 根据棱锥中平行于底面的截面性质，得2V= hi+ h2 3 3V hi+ h2+ h3 3 .筮hi3 ，2V = hi+ h2 3 ，i =h1_ (3 3-3 2)h1.故 h1： h2： h3_ h1： (3 2-1)h1：(紡一2)h1_ 1:(2- 1) :(3 2题

20、型八实际应用题例8降雨的降水量是指水平平面上单位 面积降水的深度，用上口直径为 38cm，底 面直径为24cm，深度为35cm的圆台形水桶 （过轴的截面如图（1）所示）来测量降水量，如 果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好 是桶深的；，求本次降雨的降水量是多少？ （精确到1mm）UHcmaitrti.(i)35 cm解析 由所盛雨水正好是桶深的r，如CB35知，水深为y = 5cm，设水面半径为AC图(2)所示，在 ABC 中,A / C / = C / B / ,nX 5X (122+ 132+ 12X 13)所以Vs上底=nR2=冗2 =1361 n所=5nx 469,V水于x 469

21、以 = 22(mm) 所以本次降雨S上底 361 n的降水量约是22mm.点评 无论是台体、柱体还是锥体的体积的求解过程，关键问题不在于公式，而在 于用体积求解所需数据的分析，无论哪个几 何体，求解数据中都需要用到解三角形的知识，因此特征三角形的构建是一个重点，而 构建特征三角形一般从“两高”（几何体的 高及斜高）入手，如本题中的 ABC.在求出体积后，又因为本题所求为 “降 雨的降水量”，所以要用到水的体积的不变 性，从台体转化为柱体，进而求出降水量 .变式迁移8粉碎机的下料斗是正四棱台形， 如图所示，它的两底面边长分别是80mm 和 440mm，高是 200mm，计算制造这样一个 下料斗所

22、需要铁板的面积. （保留两位有效数字）2002o(C + C ) h 2(320 + 105(mm2).解析 上底面周长 C = 4X 80 =320,下底面周长 C = 4X 440 = 1760,斜高440 80 2 2 2 269(mm). q 士 - 1q正棱台侧21760) X 2692.8X答：制造这样一个下料斗需要铁板约2.8 x 105mm2.方法路路通规律方法勤探究 高考成绩优中优1 注意区分所求的是侧面积还是表面 积；表面积包含了侧面积和底面积，再就是 要认清所求的几何体是柱、锥、台中的哪一 类以及是“棱”还是“圆”2对于直棱柱，其高即为侧棱棱长， 所以此时侧面积等于底面周

23、长乘以侧棱长3对于正棱柱、正棱锥、正棱台，其 所有侧面均全等 所以求侧面积时注意先求 一个侧面积，而后看有几个侧面就乘以几4球的有关问题中充分利用球心到截 面的距离 截面圆的半径以及球心到截面的 距离构成的直角三角形5要注意柱体、台体、锥体体积和侧 面积之间的相互转化关系 .正误题题辨学海暗礁常提醒 逐波踏浪舟更轻 例设某几何体的三视图如图 （尺寸的长 度 单 位 为 m） 则 该 几 何 体 的 体 积 为 m3.错解 该几何体为三棱锥，底面腰为4, 底为3的等腰三角形，高为2.i i V55 V55 3 V = 3X 2X 2x 3X 丁 = (m3)点击 把正视图看成三棱锥的一个面造成误

24、解.三视图中的每一个视图都是整个 几何体在某一屏幕上的投影，不是某个面留 下的投影.这类问题不能孤立的分析某一视 图.正解 由三视图可知原几何体是一个 三棱锥，由“长对正，宽相等，高平齐”的 原则可知三棱锥的高为 2,底面三角形的底 边长为4，高为3，1 1则所求棱锥的体积为V = - X -X 3X 4 X 2= 4(m3).答案 4知能层层练针对考点勤钻研 金榜题名不畏难1.（2010福建卷）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示， 则其侧面积等于（ ）Il III1 tIA. 3 B. 2C. 2 3 D. 6答案 D解析 由图可知，此三棱柱的底面是一 个边长为2的正三角形，且此三

25、棱柱的高为 1,则此三棱柱的侧面积为 2X 1X 3= 6.2. 长方体的全面积为 11,十二条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条体对角 线长为（ ）A . 5 B. 6C. 2 3 D. 14答案 A解析 设长方体的长、宽、高分别为x、 y、z,贝0 4（x + y+ z） = 24.且 2xy + 2yz+ 2xz =11则 x2 + y2 + 2= （x + y+ z）2 2xy 2yz 2xz = 36 11 = 25,从而长方体的体对角线 长为5.3.（2010辽宁卷）已知S, A, B, C是球0表面上的点，SA丄平面 ABC ,AB丄BC, SA= AB = 1, BC =

26、2,则球 0的表面积等 于（）A . 4 n B . 3 nC . 2 n D . n答案 A解析 如图所示，以 SA, AB , BC为 棱长构造长方体，得体对角线长为 寸 12+ 12+辺 2 = 2R,所以 R = 1, S= 4nR2 =4 n.4.（2010天津卷）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为22L 解析该几何体是上面是底面边长为 2的正四棱锥，下面是底面边长为 1、高为2的正四棱柱的组合体. 于是可以得到体积为1X1X2+3X2X2X1 =詈.5如图所示，四棱锥 P ABCD的底 面ABCD是半径为R的圆的内接四边形， 其中BD是圆的直径，/ ABD = 60

27、/ BDC =45 ADP bad.求线段PD的长；(2)若PC = 11R，求三棱锥 P ABC的 体积.解析(1) I BD是圆的直径，/ BAD = 90 又 ADP BAD，AD DP AD2 BDsin60 /. = DP = = :BA AD BA BDsi n304R2X 34= 3R.2RX =9R2+ 2R2= 11R2= PC2,(2)在 Rt BCD 中,CD = BDcos45 =72 R. PD2+ CD2 PD 丄 CD，又 ADP BAD，且Z BAD = 90/ PDA = 90PD丄AD ,又 AD A CD = D,SABC = 2aB BCsin(60 牛 45 2三棱锥 P ABC的体积为VP - abcPD丄底面ABCD .Sa ABC PD = - Ri 2 3R = R3.3 3 4 4