空间几何体表面积与体积.docx
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空间几何体表面积与体积
第二节空间几何体的表面积和体积
教材面面观
基础知识常梳理自主探究强记忆
1空间几何体的表面积
多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.
如果圆柱的底面半径为r,母线长（即高）为I，则其侧面面积为S=，表面
积为S=.
如果圆锥的底面半径为r，母线长为I,则其侧面面积为S=，表面积为S
如果圆台的底面半径分别为r,R，母线长为I，则其侧面面积为S=，表
面积为S=.
球的表面积公式S=，其中R
为球的半径.
答案2nl2nl+2n2nlnl+
n2n（+R）ln（+R）l+n2+tiR24kR2
2.空间几何体的体积
棱柱和圆柱的体积：
V=，其
中S是底面面积，h是咼.底面半径为r的圆柱的体积为V=n2h.
棱锥和圆锥的体积：
V=，其
中S是底面面积，h是咼.底面半径为r的圆锥的体积为V=.
棱台和圆台的体积：
V=,
其中S和S'分别是上、下底面面积，h是高.上、下底面半径分别为r和R的圆台的体积为V=.
球的体积：
若球的半径为R，则球的体积为V=.
11A
答案Sh1Sh3n2h^h（S+34
VSS'+S'）3ni（r2+Rr+R2）^nR3
考点串串讲
考点归纳与解析思维拓展与迁移
1.空间几何体的表面积
（1）柱体的表面积
柱体的表面积是侧面积与上、下底面面积之和.
直棱柱的侧面展开图是矩形（如图①所
示），上、下底面不变，只要计算出侧面面积，其表面积就可求.
圆柱的侧面展开图是矩形（如图②所
示），上、下底面不变•设柱体的底面周长为C,高为I，则侧面积为cl.柱体的表面积为cl+2nr2.
（2）锥体的表面积
一个棱锥的侧面展开图是由若干个三角形（如图①所示）拼成的，侧面积为各个三角形面积之和.一个圆锥的侧面展开图为扇形（如图②所示），利用扇形面积公式可求侧面积.
（3）台体的表面积
一个棱台的侧面展开图为若干个梯形
（如图①所示）拼接而成，侧面积为各个梯形的面积之和•而圆台的侧面展开图为扇环
（如图②所示），其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到.
2．求体积需注意的问题
（1）求球的体积和表面积的关键是求出球的半径．反之，若已知了球的表面积或体积，那么就可以得出球的半径的大小．
（2）计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．
（3）注意求体积的一些特殊方法：
分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．
（4）利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高，通过将其顶点和底面进行转化，借助体积的不变性解决问题．
3．与棱柱有关的计算公式
（1）直棱柱的侧面积：
如果直棱柱的底面周长为C,高是h（侧棱长），那么它的侧面积是S侧=Ch.
（2）斜棱柱的侧面积：
斜棱柱的侧面积等于它的直截面的周长与侧棱长的积，即S侧=C'I.
（3）棱柱的全面积：
棱柱的全面积等于侧面积与两底面面积的和.
（4）棱柱的体积：
棱柱的体积等于它的底面面积与高的积.
①斜棱柱的侧面积可通过下图来理解.
②棱柱的体积V=Ch也可以推广到圆柱体上.即V柱=Ch.棱柱的体积为底面积乘咼，而与棱柱的形状无关.
4.柱体、台体、锥体的表面积和体积之间的转化.
当rfR时，圆台上底变大，逐渐转化为圆柱，当r=R时，其表面积与体积公式就是圆柱的表面积与体积公式.
当rf0时，圆台上底变小，逐渐转化为圆锥，当r=0时，其表面积与体积公式就是圆锥的表面积与体积公式.
典例对对碰
反思例题有法宝变式迁移有技巧
题型一多面体的侧面积
例1若正三棱锥的斜高是高的¥倍，则棱锥的侧面积是底面积的
倍.（）
2
A3B•2
8
C.3D.3
解析设斜高为h'，高为h，则严=
h
3:
S底
V，则底面边长为：
3h‘,故—二
2S则
33h，21
41
—7=2，即侧面积是底面积的2
3X>3h'22
倍.
答案B
变式迁移1
已知三棱柱ABC—AiBiCi的侧棱与底面边长都等于2，Ai在底面ABC上的射影为BC的中点，则三棱柱的侧面积为
答案2^7+4
解析如图所示，设D为BC的中点,•••△ABC为等边三角形，
・•・AD丄BC,
•••BC丄平面AiAD,•••BC丄AiA,
又TAiA//BiB,
・•・BC丄BiB,
又T侧棱与底面边长都等于2,
・•・四边形BBiCiC是正方形，其面积为
4.
S四边形ABBiA1—7,
…S三棱柱侧—2\7+4.
题型二旋转体的面积
例2圆台的上、下底面半径分别是iOcm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角
是180°,那么圆台的表面积是多少？
分析
（1）对于柱、锥、台体要灵活运用侧面展开图；
（2）对于球关键是寻求半径.
解析如图所示，设圆台的上底面周长
为c,因为扇环的圆心角是180；故c=nSA=2nX10,所以SA=20,同理可得SB=40,所以AB=SB—SA=20,二S表面积=S侧+S
22
上+S下=n（1+r2）•B+nr1+n2=n（1令20）X20+nX102+nX202=1100n©m故
点评解决台体的问题通常要还台为
锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、下底面圆的周长是展开图的弧长.
变式迁移2
将圆心角为120°面积为3n的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于
答案4n
解析设扇形的半径为r,弧长为I,则112
有2rl=35冗•=3n,所以r=3,I=2n,于是圆锥的母线长为3,底面半径为1,故表面积S=3n+n•匕4n.
题型三多面体的体积
例3如图所示，三棱锥的顶点为P,PA、PB、PC为三条侧棱，且PA、PB、PC两两互相垂直，又PA=2,PB=3,PC=4,求三棱锥P—ABC的体积V.
分析本题是考查根据题目条件利用
体积公式求体积的问题.三棱锥的体积V=
1
3Sh，其中S为底面积，h为锥体的高，而三棱锥任意一个面都可以作为底面，所以此题可把点B作为顶点，△PAC作为底面求
解.
解析•••PAQPC=P,又PA、PB、PC
两两垂直，•••PB丄面PAC,
111
故三棱锥体积V=3Sh=尹厶pacPB=3
1
X-X2x4X3=4.
2
点评三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，这一方法叫做体
积转移法（或称等积法）•随着知识的增多，它的应用越来越广泛，例如本题就可以用
VP-ABC=VA-PBC=VB-PAC=Vc-PAB计算体积•在具体计算时如何选取顶点，要根据具体情况决定.选取的原则是底面积和高容易计算•
变式迁移3
已知一个三棱台的两底面是边长分别为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高和体积.
解析如图所示，三棱台ABC-A'B'C'中，0、0'分别为两底面的中心，D、D'分别是BC、B'C'的中点，则DD'是梯形BCC'B'的高，所以S侧
=（20+30）DD'3=75DD'.又A'B
=20,AB=30,则上、下底面面积之和为S上+S下=q（20+302）=325^3•由S侧=S上
D'D2—0D-0'D'2=
题型四旋转体的体积
例4母线长为1的圆锥的侧面展开图的
圆心角等于3n则该圆锥的体积为（
228
A.81nB.81n
4510
C.81冗D.81冗解析圆锥的侧面展开图扇形的弧长，
44
即底面圆的周长为3n・与3兀，于是设底面圆
42
的半径为r，则有2n=3n,所以r=3,于是圆锥的高h=1-；2=W，故圆锥的体
积V=81n・
答案C
变式迁移4
在厶ABC中，AB=2,BC=1.5,ZABC
=120°若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）
A.|n
7
C.^n
答案
B.|n
9
Dpn
A
解析
1
V=V大圆锥—V小圆锥=3np2（1+1.5
-1）=2n，
故选A.
题型五球的表面积与体积
例5半球内有一内接正方体，则这个球面的面积与正方体表面积之比是（）
D.
分析解决本题的关键是找出正方体
的棱长和半球的半径之间的关系.正方体内接于半球，即正方体的四个顶点在半球面上，另外四个顶点在半球的底面圆上.
解析如图所示的是内接正方体的对角面，设正方体的棱长为a,则OiB=走,在Rt△OEB中，OB=R（球半径）,OEa,BE=a
QIQQ
方体表面积=6a,S半球表面积=24冗R=3n,
22
二S半球表面积：
S正方体表面积=3n:
6a=n
2.
答案D
点评对于多面体与旋转体的组合体，一般解决方法是根据组合体的几何性质作出截面，把关键量转到一个平面上，利用平面几何知识找出相关量之间的数量关系.其
中准确作出能包含多面体和旋转体各元素的截面是解决问题的关键，也是难点.
变式迁移5
正四面体的内切球与外接球的体积之
比为（）
A.1:
3B.1:
9
C.1:
27D.1:
81
答案C
解析本题主要考查与球有关的两种组合问题：
球内切空间几何体和空间几何体内接球问题，在正四面体中内切、外接球球心重合.
设正四面体的棱长为a,底面的面积为S,棱锥的高为h，如图所示，设，01为底面中心，则0沪丄平面ABC,AD=〒a,•••O1A
232小2
=3AD=—a，O1P=AP2—O1A2=a2—a=fa，•••h=fa.设内切球球心为
0,则0到四个面的距离都为内切球的半径
r,Vp—ABC=Vo—ABC+Vo—PAC+Vo—PBC+Vo—
PAB,
•3Sh=4§Sr,
a.
•・•OA为外接球半径R,・•・R=OA=
V外接球=r3:
R3=1:
27.
寸OOi2+O1A2
…V内切球：
0.
题型六由二视图求表面积和体积
例6已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8,高为4
的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6,高为4的等腰三角形，
X
6
（1）求该几何体的体积V;
（2）求该几何体的侧面积S.
解析由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V—ABCD，如图所示.
1
（1）V=3X（8X6）X4=64
3
（2）该四棱锥有两个侧面VAD、VBC是
全等的等腰三角形，且BC边上的高为hi=
寸42+号2=4也，另两个侧面VAB,VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h2=V42+22=5
因此S=2（2x6X4罷+1X8X5）=40
变式迁移6
已知某个几何体的三视图如图所示，根
据图中标出的尺寸（单位：
cm），可得这个几
正視加櫥视图
答案20cm
解析V=3x20x20xh=8000,二h
33
=20cm.
题型七边长、半径、高度、面积及体积比的关系
例7如图所示，过圆锥SO的两个三等分点分别作平行于底面的截面，两个截面将圆锥的侧面分成三部分.
r
—Hl—1
（1）求三部分侧面面积的比；
⑵求圆锥被分成的三部分的体积比（由上到下）•
解析过圆锥的高SO作截面图（此截面称为圆锥的轴截面），设原圆锥的底面半径为r，由上至下两个截面圆的半径分别为ri,「2,
相应的母线长分别为11，12.
⑴三个圆锥的侧面积之比Sso侧:
Ssc2侧:
Sso侧=nili:
n2l2：
nl=rili:
「2b:
rl=SOi2：
SC22:
SO2=i:
4:
9,所以，由上至下三部分的侧面积之比为1：
3：
5.
（2）三个圆锥的体积之比为VSO1：
VSOSO2:
Vso=ni2SO1:
n2SO2:
n2SO=SOi3：
SO23:
SO3=1:
8:
27,所以，由上至下三部分的体积之比为1:
7:
19.
点评
（1）旋转体的轴截面（过轴的截面）是反映几何体特征的主要图形,要善于从中挖掘数量关系．
（2）圆锥被平行于底面的平面所截,被分成的两部分体积之比等于两底面半径比的立方,也等于相应高度的比的立方；被分成的两部分的侧面积之比等于底面积之比,也等于相应底面半径比的平方,也等于相应高的比的平方；两部分底面半径的比等于相应高度的比．
对于棱锥具有类似的性质.
变式迁移7平行于底面的两个平面把棱锥分成等
体积的三部分，求这两个平面把棱锥的高所分成的三部分的比（如图所示）•
解析解法一：
用大、小棱锥体积之比等于对应棱锥高的立方比，使用分比定理即可.•••V:
2V:
3V=h3:
hi3:
h23，两端开立方得1:
旬2:
^3=h:
hi:
h2，由分比定理得h:
（hi—h）:
（h2-hi）=1:
（32-1）:
（33
解法二：
可设出棱锥的高被两个平面截成的三部分分别为hi、h2、h3，再分别用体积把它们表示出来.
设棱锥的体积为3V，两个平行于底面的平面把棱锥的高分为三部分：
hi、h2、h3,根据棱锥中平行于底面的截面性质，得2V=hi+h233Vhi+h2+h33.筮
hi3，2V=hi+h23，…i=
h1_（33-32）h1.故h1：
h2：
h3_h1：
（32-
1）h1：
（紡一^2）h1_1:
（^2-1）:
（^3—^2
题型八实际应用题
例8降雨的降水量是指水平平面上单位面积降水的深度，用上口直径为38cm，底面直径为24cm，深度为35cm的圆台形水桶（过轴的截面如图
（1）所示）来测量降水量，如果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的；，求本次降雨的降水量是多少？
（精确到1mm）
UHcm
aitrti.
（i）
35cm
解析由所盛雨水正好是桶深的
r，如
CB
35
知，水深为y=5cm，设水面半径为
AC
图
（2）所示，在△ABC中,A/C/=C/B/,
nX5X（122+132+12X13）
所以V
s上底=nR2=冗・2=1361n所
=5nx469,
V水于x469「…
以=—〜22（mm）•所以本次降雨
S上底361n
的降水量约是22mm.
点评无论是台体、柱体还是锥体的体
积的求解过程，关键问题不在于公式，而在于用体积求解所需数据的分析，无论哪个几何体，求解数据中都需要用到解三角形的知
识，因此特征三角形的构建是一个重点，而构建特征三角形一般从“两高”（几何体的高及斜高）入手，如本题中的△ABC.
在求出体积后，又因为本题所求为“降雨的降水量”，所以要用到水的体积的不变性，从台体转化为柱体，进而求出降水量.
变式迁移8
粉碎机的下料斗是正四棱台形，如图所
示，它的两底面边长分别是80mm和440mm，高是200mm，计算制造这样一个下料斗所需要铁板的面积.（保留两位有效
数字）
2002
o（C+C'）h'~2（320+105（mm2）.
解析•・•上底面周长C'=4X80=
320,下底面周长C=4X440=1760,斜高
440—80222~269（mm）.
•q士-1
…q正棱台侧—2
1760）X269〜2.8X
答：
制造这样一个下料斗需要铁板约
2.8x105mm2.
方法路路通
规律方法勤探究高考成绩优中优
1．注意区分所求的是侧面积还是表面积；表面积包含了侧面积和底面积，再就是要认清所求的几何体是柱、锥、台中的哪一类以及是“棱”还是“圆”．
2．对于直棱柱，其高即为侧棱棱长，所以此时侧面积等于底面周长乘以侧棱长．
3．对于正棱柱、正棱锥、正棱台，其所有侧面均全等．所以求侧面积时注意先求一个侧面积，而后看有几个侧面就乘以几．
4．球的有关问题中充分利用球心到截面的距离．截面圆的半径以及球心到截面的距离构成的直角三角形．
5．要注意柱体、台体、锥体体积和侧面积之间的相互转化关系.
正误题题辨
学海暗礁常提醒逐波踏浪舟更轻例设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）．则该几何体的体积为m3.
错解该几何体为三棱锥，底面腰为4,底为3的等腰三角形，高为2.
iiV55V553
•••V=3X2X2x3X丁=〒（m3）・
点击把正视图看成三棱锥的一个面
造成误解.三视图中的每一个视图都是整个几何体在某一屏幕上的投影，不是某个面留下的投影.这类问题不能孤立的分析某一视图.
正解由三视图可知原几何体是一个三棱锥，由“长对正，宽相等，高平齐”的原则可知三棱锥的高为2,底面三角形的底边长为4，高为3，
11
则所求棱锥的体积为V=-X-
X3X4X2=4（m3）.
答案4
知能层层练
针对考点勤钻研金榜题名不畏难
1.（2010福建卷）若一个底面是正三角
形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积
等于（）
IlIII
1t—]—I
A.3B.2
C.23D.6
答案D
解析由图可知，此三棱柱的底面是一个边长为2的正三角形，且此三棱柱的高为1,则此三棱柱的侧面积为2X1X3=6.
2.长方体的全面积为11,十二条棱的
长度之和为24,则这个长方体的一条体对角线长为（）
A.5B.6
C.23D.14
答案A
解析设长方体的长、宽、高分别为x、y、z,贝04（x+y+z）=24.且2xy+2yz+2xz=11则x2+y2+2=（x+y+z）2—2xy—2yz—2xz=36—11=25,从而长方体的体对角线长为5.
3.（2010辽宁卷）已知S,A,B,C是
球0表面上的点，SA丄平面ABC,AB丄BC,SA=AB=1,BC=2,则球0的表面积等于（）
A.4nB.3n
C.2nD.n
答案A
解析如图所示，以SA,AB,BC为棱长构造长方体，得体对角线长为寸12+12+辺2=2R,所以R=1,S=4nR2=4n.
4.
（2010天津卷）一个几何体的三视图
如图所示，则这个几何体的体积为
2
2
■]・
・L'
解析该几何体是上面是底面边长为2
的正四棱锥，下面是底面边长为1、高为2
的正四棱柱的组合体.于是可以得到体积为
1X1X2+3X2X2X1=詈.
5•如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，/ABD=60°/BDC=45°△ADPbad.
⑴求线段PD的长；
（2）若PC=11R，求三棱锥P—ABC的体积.
解析
（1）IBD是圆的直径，
・•・/BAD=90°又△ADPBAD，
ADDPAD2BDsin60°
/.=DP==:
BAADBABDsin30
4R2X3
4=3R.
2RX
=9R2+2R2=11R2=PC2,
（2）在Rt△BCD中,CD=BDcos45=72R.
•・•PD2+CD2
・•・PD丄CD，又△ADP—△BAD，且
ZBAD=90°
・•・/PDA=90°・•・PD丄AD,
又ADACD=D,
SABC=2aBBCsin（60牛45°^2
三棱锥P—ABC的体积为—VP-abc
・•・PD丄底面ABCD.
SaABCPD=-•Ri23R=R3.
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