充分条件与必要条件教案北师大版.docx

1、充分条件与必要条件教案北师大版2 充分条件与必要条件2 1 充分条件2 2 必要条件2 3 充要条件 三维目标1知识与技能通过具体实例中条件之间关系的分析，理解充分条件、必要条件和充要条件的含义2过程与方法(1)通过判定定理、性质定理，帮助学生抓住充分条件、必要条件等概念的本质，更好地理解概念(2)通过充分条件、必要条件的学习，培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力3情感、态度与价值观(1)在日常生活和学习中，养成说话准确、做事有条理的良好习惯(2)在探求未知、认识客观世界的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑，提高思维的逻辑性 重点难点重点： 1.理解充分条件、必要条件的含

2、义2充分条件、必要条件、充要条件的判断难点：对必要条件的理解在教学过程中， 注重把教材内容与生活实际结合起来， 加强数学教学的实践性， 在教学方法上采用“合作 探索”的开放式教学模式， 在合作中去领会充分条件、 必要条件的含义；在探索中，体会充分条件、必要条件的判断方法(教师用书独具 ) 教学建议教学必须遵循学生的认知规律， 尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，生分析实例，让学生从实例中抽象出数学概念在巩固练习时，选题内容尽量涉及几何、代数较广领域，但不可拔高要求， 追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，与学生的知识结构同步发展完善 教学流程创设情境，激发兴趣 引导归纳，给出定

3、义 深入探究，获得新知 反馈练习，形成方法 总结反馈，引导学使之拓 展 引 申1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义 (重点 )课标解读 2充分条件、必要条件与充要条件的判断 (难点 )3利用条件关系求字母的取值范围 (难点 )充分条件与必要条件【问题导思】已知直线 l 1： y k1 x b1， l2：y k2x b2.(1)由 k1 k2 能推出 l 1 l2 吗？【提示】当 k1 k2， b1b2 时， l 1 与 l2 重合，故由 k1 k2 不能推出 l 1l2.(2)由 l 1 l 2 能推出 k1 k2 吗？【提示】由 l1l2 能推出 k1 k2.1 推断符号 “? ” 的

4、含义“若 p，则 q”为真，是指由条件p 经过推理可以得到结论q，记作 p? q，读作“ p 推出 q”2 充分条件与必要条件“若 p，则 q”真，“若 p，则 q”的逆命题真，推式即 q? p即 p? qp 是 q 的 充分条件 必要条件q 是 p 的 必要条件 充分条件充要条件【问题导思】一天，你与你的妈妈到她的同事家做客， 你的妈妈向她的同事介绍： “这是我的女儿”，请问：你还需要介绍：“这是我的妈妈”吗？为什么？【提示】 不需要，因为由 A 是 B 的女儿，可推出 B 是 A 的妈妈，反之亦然如果 p? q，且 q? p，那么称 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件，记作 p? q

5、.充分条件、必要条件、充要条件的判断(1) “ b2 4ac 0”是“一元二次不等式 ax2 bxc 0 的解集为 R”的( )A 充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)对于数列 an ，“ an 1|an|(n 1,2， )”是“ an 为递增数列”的 ( )A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【思路探究】着眼点分清条件 p 与结论 q 分别判断 “ 若 p，则 q”与 “ 若 q，则 p” 的真假【自主解答】 (1)当 a c 1， b 0 时，不等式 ax2 bx c 0 的解集为 ?.反过来，由一元二次不等式 ax2

6、 bx c0 的解集为 R ，a0得 ，b2 4ac 0因此， b24ac 0 是一元二次不等式 ax2bx c 0 的解集为 R 的必要不充分条件(2)由 an 1|an| an，得 an1an， an 是递增数列反过来，由 ann1 an，但不一定有an1 |an1 n 是递增数列，知a|，如递增数列 ( 2) 中， a11， a2 1， a2|a1 |不成立24因此， “ an 1 |an|(n 1,2， )”是 “ an 为递增数列 ” 的充分不必要条件【答案】 (1)B (2)A除了用定义判断充分条件与必要条件外，还可以利用集合间的关系判断：已知集合 A x|p(x) ， B x|q

7、(x) ，若 A? B，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件提醒：在判断充分条件与必要条件时，要注意分清条件和结论(1)“ |x| 1 且 |y| 1”是“点 P(x，y)在圆 x2 y2 1 内”的 ( )A 充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)设 an 是等比数列，则“a1 a2 a3”是“数列 an 是递增数列”的 ()A 充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】(1) 当 x y3时， x2 y2 31，所以点 P( x，y)不在圆内；反过来，当点22P(x， y)在圆内时， x2 y2 1，所以 x21，

8、y2 1，所以 |x| 1， |y| 1.因此， “ |x| 1且 |y| 1” 是 “ 点 P(x， y)在圆 x2 y2 1 内 ”的必要不充分条件na1 a2 a3；反过来，由 a1 a2 a3，(2) a 是递增数列，可得得 a1 a1q a1 q2，当 a1 0 时， q 1；当 a1 0 时， 0 q 1.an1an a1 qn1(q1) 0，an1an， an 是递增数列因此， “ a1 a2 a3” 是“ 数列 an 是递增数列 ”的充要条件【答案】 (1)B (2)C充分条件、必要条件的应用已知 p：4x k 0，q：x2 x2 0，且 p 是 q 的充分条件，求 k 的取值

9、范围充分条件解不等式【思路探究】求出 p、q 对应的集合 A、 B A? B k 满足的条件 k 的取值范围【自主解答】由 4x k0，得 x k.4由 x2 x 20，得 x 1 或 x 2.k设 A x|x 4 ， B x|x 1 或 x2 由 p 是 q 的充分条件，得A? Bk 1，4k 4.即 k 的取值范围为 (4， )1 涉及与充分、必要条件有关的求参数取值范围问题，常借助集合的观点来处理2解决本题的关键是把 p、q 之间的关系转化为 p、q 所表示集合之间包含关系，然后，建立关于参数的不等式 (组 )求解已知 p： 4x k 0， q： x2 x 2 0，且 p 是 q 的必要

10、条件，求 k 的取值范围【解】 由 4xk 0，得 x k4；由 x2 x 20，得 1 x 2.设 A x|x k4 ， B x|1 x 2 ，由 p 是 q 的必要条件，得A? Bk 2，4k 8.即 k 的取值范围为 ( ， 8.充要条件的证明已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，求证：“对任意 n N ，Sna1 an n”2是“数列 an 是等差数列”的充要条件【思路探究】 分清条件和结论， 证明充分性即证 “ 条件 ? 结论 ” ，证明必要性即证 “ 结论? 条件 ”a1 an n【自主解答】 必要性：由等差数列的前 n 项和计算公式，得 Sn .2充分性：由 Sna1 an n

11、a1 an 1n 12，得 Sn 12.两式相减得，an1 a1n1 an12 nan22整理得 (n1)an1 nan a1，nan 2 (n 1)an1 a1，两式相减得，nan 2 (n 1)an1 (n 1)an 1 nan整理得 2nan 1 nan2 nan2an1 an2 an，数列 an 是等差数列1anna1首先分清条件和结论本例中条件是“ 对任意 nN ，Sn2”，结论是 “ 数列 an 是等差数列 ”2分两步证明，既要证明充分性，又要证明必要性 (证明先后顺序不作要求 ) 3证明充分性时，把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，结论当已知去推证条件的正确性已知数列

12、an 满足 an an 1 2n 1(n N )，求证：数列 an 为等差数列的充要条件是a1 1.【证明】 必要性：由 an an1 2n 1，得a2 3 a1， a3 5 a2 2 a1，由数列 an 是等差数列，得2a2 a3 a1，2(3 a1) (2 a1) a1，解得 a11.充分性：由 an an1 2n 1，得 an 1 an2 2(n 1) 1 2n 3，两式相减得 an2 an 2，数列 a2n 1 是首项为 a1 1，公差为 2 的等差数列a2n1 1 2(n1) 2n 1，即当 n 为奇数时， an n.当 n 为偶数时， n 1 是奇数，an1n 1，an (2n 1

13、) an1 (2n 1) (n 1) n.综上得 an n，an1an (n1) n 1.因此，数列 an 是等差数列 .充分、必要条件颠倒致误已知 p：x2 x2 0， q：x(1，m)，且 p 是 q 的充分不必要条件，则()A m 2B m 2C 1 m 2 D 1 m 2【错解】由 x2 x2 0，得 x( 1,2)p 是 q 的充分不必要条件， ( 1， m)( 1,2)m 1即 1 m 2，故选 C.m 2【答案】C【错因分析】颠倒了充分条件和必要条件，把充分条件当成必要条件致误【防范措施】在求解与充分条件、必要条件有关的问题时，要分清条件p 和结论 q.只有分清条件和结论才能正确

14、判断p 与 q 的关系，才能利用 p 与 q 的关系解题在由条件p与结论 q 之间的关系求字母的取值范围时，将 p 与 q 之间的关系转化为集合之间的关系，是求解这一类问题的常用方法【正解】 由 x2 x2 0，得 x( 1,2)p 是 q 的充分不必要条件，( 1,2) ( 1，m)，m2.故选 A.【答案】 A1判断p 是q 的什么条件，其实质是判断p? q 与 q? p 两个命题的真假2当不易判断p? q 与 q? p 的真假时，可从集合的角度入手首先建立与p、q 相应的集合，即 p： A x|p(x) ， q： B x|q(x).若 A? B，则 p 是 q 的充分条件，若 A B，则

15、 p 是 q 的充分不必要条件若 B? A，则 p 是 q 的必要条件，若 B A，则 p 是 q 的必要不充分条件若 AB，则 p， q 互为充要条件若 AB，且 BA，则 p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件3.命题 “若 p，则 q”为真、 p? q、 p 是 q 的充分条件、 q 是 p 的必要条件，这四种形式表达的是同一逻辑关系，只是说法不同而已 .1“ x”是“函数 y sin 2x 取得最大值”的 ()4A 充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】当 x4时， y sin 2x 取最大值 1；但当 y sin 2x 取最大值 1 时，

16、 x 不一定等5于4，比如 x4因.此 “x 4” 是 “函数 y sin 2x 取得最大值 ” 的充分不必要条件【答案】A2(2013 福建高考 )已知集合 A1 ，a ，B 1,2,3 ，则“ a 3”是“ A? B”的 ()A 充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】A 1 ，a ，B 1,2,3 ，A? B，aB 且 a 1，a 2 或 3，“ a3” 是“A? B” 的充分而不必要条件【答案】 A3用符号“ ? ”、“ ?”、“ ? ”填空：(1)x 0_x 1；(2)整数 a 能被 2 整除 _整数 a 是偶数；(3)M N_log 2M lo

17、g 2N.【解析】 利用这三种符号的意义求解【答案】 (1) ? (2)? (3)?4直线 x y m 0 与圆 (x 1)2 (y 1)22 相切的充要条件是什么？【解】 由直线 x y m 0 与圆 ( x1)2 (y1)22 相切，得|1 1m|2.12 12解得m 0 或 4.又当m 0 或 4 时，直线x y m 0 与圆 (x1)2 (y 1)22 相切因此，直线x ym 0 与圆 (x 1)2 (y 1)2 2 相切的充要条件是m 0 或 4.一、选择题1设集合 M 1,2 ，N a2 ，则“ a 1”是“ N? M”的 (A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C充要条件 D既不

18、充分也不必要条件【解析】 当 a 1 时， N 1 ? M；但当 N? M 时，推不出)a 1，比如a2.故选A.【答案】 A2“ sin A cos B”是 ABC 为锐角三角形的 ( )A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】当 A 120，B 45时，ABC为钝角三角形；当ABC是锐角三角形时，AB 90， A 90 B，又 0A,90 B90，则 sin A sin(90【答案】 B3已知 p： lg x 0，那么命题 p 的一个必要不充分条件是A 0 x 1 B 1 x 1B) cos B( )1 2C.2 x 31D 2x 2【解析】由 x2

19、 lg x 0，得0 x1.设p 的一个必要不充分条件为q，则 p? q，但 q ?/p.故选B 【答案】B4 (2012津高考天)设xR ，则“1 2x 2”是“ 2x x 10”的 ()A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件【解析】不等式 2x2 x 10的解集为x11” 是“ 2x22或 x 1，所以 “x2 x 10” 成立的充分不必要条件，选 A.【答案】A5 (2013浙高考江)已知函数f(x) Acos(x )(A0， 0， R)，则“f(x)是奇函数”是“ 2”的 ()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解

20、析】若 f(x)是奇函数，则f(0) 0，所以 cos 0，所以 2 k(kZ) ，故 2不成立；若 2，则f(x) Acos(x 2) Asin( x)，f(x)是奇函数 所以f(x)是奇函数是 2的必要不充分条件【答案】 B二、填空题6关于 x 的不等式 ax2 bx c0 的解集为 R 的充要条件是 _ 【解析】对 a 分 a 0 和 a 0 两种情况讨论a 0a b0【答案】2 0或b 4acc 07在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种填空：(1)“ a 0”是“函数 f(x) x2 ax(x R)为偶函数”的 _；(2)“ sin si

21、n ”是“ ”的 _；(3)“ x M N”是“ xM N”的 _；(4)对于实数 a， b， c，“ a b”是“ ac2 bc2”的 _【解析】 利用定义求解【答案】 (1) 充要条件 (2) 既不充分也不必要 (3)充分不必要 (4)必要不充分8若命题“若 p，则 q”为真，则下列说法正确的是 _p 是 q 的充分条件； p 是 q 的必要条件； q 是 p 的充分条件； q 是 p 的必要条件【解析】 由充分条件与必要条件的定义知，正确【答案】 三、解答题19已知： p： x1， q： x1，试判断 p 是 q 的什么条件？11 x【解】 由 x 1，得 x 0，x(x 1) 0，x

22、1 或 x 0.1 x|x 1 x|x 1 ，p 是 q 的充分不必要条件10已知 p、q 都是 r 的必要条件， s 是 r 的充分条件， q 是 s 的充分条件，试问： (1) s 是 q 的什么条件； (2)r 是 q 的什么条件； (3)p 是 q 的什么条件【解】 p、 q、 r、 s 的关系可以用右图表示：(1)s? r ， r? q，s? q，又 q? s，s 是 q 的充要条件(2)q? s， s? r，q? r，又 r? q，r 是 q 的充要条件(3)q? s， s? r， r ? pq? p，p 是 q 的必要条件x 2x a2 2a 的取值 0， q：0，若 q 是 p 的必要条件，求实数11已知 p： x 3a1x a范围x 2x a2 20【解】由 q 是 p 的必要条件，可知 x| 0 ? x|x 3a 1x ax a2 2由 a2 2a，得 x| 0 x|a x a2 2 ，x a1x 2当 3a 1 2，即 a3时， x|0 x|2 x 3a 1 ，x 3a 1a 2a2 c 3a 1 ，解得 1 a3 5；32当 3a 1 2，即 ax 20 ?，符合题意；1时， x|