充分条件与必要条件教案北师大版.docx
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充分条件与必要条件教案北师大版
§2充分条件与必要条件
2．1充分条件
2．2必要条件
2．3充要条件
●三维目标
1．知识与技能
通过具体实例中条件之间关系的分析，理解充分条件、必要条件和充要条件的含义．
2．过程与方法
（1）通过判定定理、性质定理，帮助学生抓住充分条件、必要条件等概念的本质，更好地理解概念．
（2）通过充分条件、必要条件的学习，培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维
能力．
3．情感、态度与价值观
（1）在日常生活和学习中，养成说话准确、做事有条理的良好习惯．
（2）在探求未知、认识客观世界的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑，
提高思维的逻辑性．
●重点难点
重点：
1.理解充分条件、必要条件的含义．
2．充分条件、必要条件、充要条件的判断．
难点：
对必要条件的理解．
在教学过程中，注重把教材内容与生活实际结合起来，加强数学教学的实践性，在教学方法上采用“合作—探索”的开放式教学模式，在合作中去领会充分条件、必要条件的含义；在探索中，体会充分条件、必要条件的判断方法．
（教师用书独具）
●教学建议
教学必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，
生分析实例，让学生从实例中抽象出数学概念．在巩固练习时，选题内容尽量涉及几何、代
数较广领域，但不可拔高要求，追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，
与学生的知识结构同步发展完善．
●教学流程
创设情境，
激发兴趣引导归纳，
给出定义深入探究，
获得新知反馈练习，
形成方法总结反馈，
引导学
使之
拓展引申
1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．（重点）
课标解读2．充分条件、必要条件与充要条件的判断．（难点）
3．利用条件关系求字母的取值范围．（难点）
充分条件与必要条件
【问题导思】
已知直线l1：
y＝k1x＋b1，l2：
y＝k2x＋b2.
（1）由k1＝k2能推出l1∥l2吗？
【提示】
当k1＝k2，b1＝b2时，l1与l2重合，故由k1＝k2不能推出l1∥l2.
（2）由l1∥l2能推出k1＝k2吗？
【提示】
由l1∥l2能推出k1＝k2
.
1．推断符号“?
”的含义
“若p，则q”为真，是指由条件
p经过推理可以得到结论
q，记作p?
q，读作“p推
出q”．
2．充分条件与必要条件
“若p，则q”真，
“若p，则q”的逆命题真，
推式
即q?
p
即p?
q
p是q的充分条件必要条件
q是p的必要条件充分条件
充要条件
【问题导思】
一天，你与你的妈妈到她的同事家做客，你的妈妈向她的同事介绍：
“这是我的女儿”，请问：
你还需要介绍：
“这是我的妈妈”吗？
为什么？
【提示】不需要，因为由A是B的女儿，可推出B是A的妈妈，反之亦然．
如果p?
q，且q?
p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p?
q.
充分条件、必要条件、充要条件的判断
（1）“b2－4ac＜0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R”
的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
（2）对于数列{an}，“an＋1＞|an|（n＝1,2，⋯）”是“{an}为递增数列”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【思路探究】
着眼点分清条件p与结论q分别判断“若p，则q”与“若q，则p”的真假
【自主解答】
（1）当a＝c＝－1，b＝0时，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为?
.
反过来，由一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R，
a＞0
得，
＝b2－4ac＜0
因此，b2－4ac＜0是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R的必要不充分条件．
（2）由an＋1>|an|≥an，得an＋1＞an，
∴{an}是递增数列．
反过来，由{an
n＋1＞an，但不一定有
an＋1＞|an
1n
}是递增数列，知
a
|，如递增数列{－
（2）}
中，a1＝－
1，a2＝－
1，a2＞|a1|不成立．
2
4
因此，“an＋1＞|an|（n＝1,2，⋯）”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
【答案】
（1）B
（2）A
除了用定义判断充分条件与必要条件外，还可以利用集合间的关系判断：
已知集合A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，若A?
B，则p是q的充分条件，q是p的必要条
件．
提醒：
在判断充分条件与必要条件时，要注意分清条件和结论．
（1）“|x|＜1且|y|＜1”是“点P（x，y）在圆x2＋y2＝1内”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（2）设{an}是等比数列，则“
a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
（1）当x＝y＝
3时，x2＋y2＝3＞1，所以点P（x，y）不在圆内；反过来，当点
2
2
P（x，y）在圆内时，x2＋y2＜1，所以x2＜1，y2＜1，所以|x|＜1，|y|＜1.
因此，“|x|＜1
且|y|＜1”是“点P（x，y）在圆x2＋y2＝1内”的必要不充分条件．
n
a
1＜a2＜a3；反过来，由a1＜a2＜a3，
（2）{a}是递增数列，可得
得a1＜a1q＜a1q2，当a1＞0时，q＞1；当a1＜0时，0＜q＜1.
∴an＋1－an＝a1qn－1（q－1）＞0，
∴an＋1＞an，
∴{an}是递增数列．
因此，“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的充要条件．
【答案】
（1）B
（2）C
充分条件、必要条件的应用
已知p：
4x＋k≤0，q：
x2－x－2＞0，且p是q的充分条件，求k的取
值范围．
充分条件
解不等式
【思路探究】
求出p、q对应的集合A、B――→
A?
B→k满足的条件
――→k的
取值范围
【自主解答】
由4x＋k≤0，得x≤－k.
4
由x2－x－2＞0，得x＜－1或x＞2.
k
设A＝{x|x≤－4}，B＝{x|x＜－1或x＞2}．
由p是q的充分条件，得
．
A?
B
k
∴－＜－1，
4
∴k＞4.
即k的取值范围为（4，＋∞）．
1．涉及与充分、必要条件有关的求参数取值范围问题，常借助集合的观点来处理．
2．解决本题的关键是把p、q之间的关系转化为p、q所表示集合之间包含关系，然后，
建立关于参数的不等式（组）求解．
已知p：
4x＋k≤0，q：
x2－x－2＜0，且p是q的必要条件，求k的取值范围．
【解】由4x＋k≤0，得x≤－k4；
由x2－x－2＜0，得－1＜x＜2.
设A＝{x|x≤－k4}，B＝{x|－1＜x＜2}，
由p是q的必要条件，得
．
A?
B
k
∴－≥2，
4
∴k≤－8.
即k的取值范围为（－∞，－8].
充要条件的证明
已知数列{an}的前n项和为Sn，求证：
“对任意n∈N＋，Sn＝
a1＋ann
”
2
是“数列{an}是等差数列”的充要条件．
【思路探究】分清条件和结论，证明充分性即证“条件?
结论”，证明必要性即证“结
论?
条件”．
a1＋ann
【自主解答】必要性：
由等差数列的前n项和计算公式，得Sn＝.
2
充分性：
由Sn＝
a1＋ann
a1＋an＋1
n＋1
2
，得Sn＋1＝
2
.
两式相减得，
an＋1＝a1＋
n＋1an＋1
2
－nan
2
2
整理得（n－1）an＋1＝nan－a1，
nan＋2＝（n＋1）an＋1－a1，
两式相减得，
nan＋2－（n－1）an＋1＝（n＋1）an＋1－nan
整理得2nan＋1＝nan＋2＋nan
∴2an＋1＝an＋2＋an，∴数列{an}是等差数列．
1
＋an
n
a
1．首先分清条件和结论．本例中条件是“对任意n∈N＋，Sn＝
2
”，结论是“数
列{an}是等差数列”．
2．分两步证明，既要证明充分性，又要证明必要性（证明先后顺序不作要求）．
3．证明充分性时，把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，结论当已知去
推证条件的正确性．
已知数列{an}满足an＋an＋1＝2n＋1（n∈N＋），求证：
数列{an}为等差数列的充要条件是a1＝1.
【证明】必要性：
由an＋an＋1＝2n＋1，得
a2＝3－a1，a3＝5－a2＝2＋a1，
由数列{an}是等差数列，得
2a2＝a3＋a1，
∴2（3－a1）＝（2＋a1）＋a1，
解得a1＝1.
充分性：
由an＋an＋1＝2n＋1，得an＋1＋an＋2＝2（n＋1）＋1＝2n＋3，
两式相减得an＋2－an＝2，
∴数列{a2n－1}是首项为a1＝1，公差为2的等差数列．
∴a2n－1＝1＋2（n－1）＝2n－1，即当n为奇数时，an＝n.
当n为偶数时，n＋1是奇数，∴an＋1＝n＋1，
∴an＝（2n＋1）－an＋1＝（2n＋1）－（n＋1）＝n.
综上得an＝n，
∴an＋1－an＝（n＋1）－n＝1.
因此，数列{an}是等差数列.
充分、必要条件颠倒致误
已知p：
x2－x－2＜0，q：
x∈（－1，m），且p是q的充分不必要条件，
则（）
A．m＞2
B．m≥2
C．－1＜m＜2D．－1＜m≤2
【错解】
由x2－x－2＜0，得x∈（－1,2）．
∵p是q的充分不必要条件，∴（－1，m）
（－1,2）．
m＞－1
即－1＜m＜2，故选C.
∴
m＜2
【答案】
C
【错因分析】
颠倒了充分条件和必要条件，把充分条件当成必要条件致误．
【防范措施】
在求解与充分条件、必要条件有关的问题时，要分清条件
p和结论q.
只有分清条件和结论才能正确判断
p与q的关系，才能利用p与q的关系解题．在由条件
p
与结论q之间的关系求字母的取值范围时，
将p与q之间的关系转化为集合之间的关系，
是
求解这一类问题的常用方法．
【正解】由x2－x－2＜0，得x∈（－1,2）．
∵p是q的充分不必要条件，
∴（－1,2）（－1，m），∴m＞2.故选A.
【答案】A
1．判断
p是
q的什么条件，其实质是判断
p?
q与q?
p两个命题的真假．
2．当不易判断
p?
q与q?
p的真假时，可从集合的角度入手．首先建立与
p、q相应的
集合，即p：
A＝{x|p（x）}，q：
B＝{x|q（x）}.
若A?
B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件
若B?
A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若AB，且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
3.命题“若p，则q”为真、p?
q、p是q的充分条件、q是p的必要条件，这四种形式表
达的是同一逻辑关系，只是说法不同而已.
π
1．“x＝
”是“函数y＝sin2x取得最大值”的（）
4
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】
当x＝π
4时，y＝sin2x取最大值1；但当y＝sin2x取最大值1时，x不一定等
π
5
π
于4，比如x＝
4π因.此“x＝4”是“函数y＝sin2x取得最大值”的充分不必要条件．
【答案】
A
2．（2013福·建高考）已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?
B”的（）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A?
B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是
“A?
B”的充分而不必要条件．【答案】A
3．用符号“?
”、“?
”、“?
”填空：
（1）x＝0________x＜1；
（2）整数a能被2整除________整数a是偶数；
（3）M＞N________log2M＞log2N.
【解析】利用这三种符号的意义求解．
【答案】
（1）?
（2）?
（3）?
4．直线x＋y＋m＝0与圆（x－1）2＋（y－1）2＝2相切的充要条件是什么？
【解】由直线x＋y＋m＝0与圆（x－1）2＋（y－1）2＝2相切，得
|1＋1＋m|
＝2.
12＋12
解得
m＝0或－4.
又当
m＝0或－4时，直线
x＋y＋m＝0与圆（x－1）2＋（y－1）2＝2相切．因此，直线
x＋y
＋m＝0与圆（x－1）2＋（y－1）2＝2相切的充要条件是
m＝0或－4.
一、选择题
1．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N?
M”的（
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】当a＝1时，N＝{1}?
M；但当N?
M时，推不出
）
a＝1，比如
a＝
2.故选
A.
【答案】A
2．“sinA＞cosB”是△ABC为锐角三角形的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】
当A＝120°，B＝45°时，△ABC
为钝角三角形；当△
ABC
是锐角三角形时，
A
＋B＞90°，A＞90°－B，又0°
【答案】B
3．已知p：
lgx＜0，那么命题p的一个必要不充分条件是
A．0＜x＜1B．－1＜x＜1
－°B）＝cosB．
（）
12
C.2＜x＜3
1
D．2＜x＜2
【解析】
由x2lgx＜0，得
0＜x＜1.设
p的一个必要不充分条件为
q，则p?
q，但q?
/p.故选
B．
【答案】
B
4．（2012
·津高考天
）设
x∈R，则“
12
x＞2”是“2x＋x－1＞0”的（
）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【解析】
不等式2x2
＋x－1＞0
的解集为
x＞
1
1”是“2x2
2或x＜－1，所以“x＞
2
＋x－1
＞0”成立的充分不必要条件，选A.
【答案】
A
5．（2013
·浙高考江
）已知函数
f（x）＝Acos（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“
f（x）是奇函
π
数”是“φ＝2”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
若f（x）是奇函数，则
f（0）＝0，所以cosφ＝0，所以φ＝π
π
2＋kπ（k∈Z），故φ＝
2
不成立；
π
若φ＝2，则
π
f（x）＝Acos（ωx＋2）＝－Asin（ωx），f（x）是奇函数．所以
π
f（x）是奇函数是φ＝2的
必要不充分条件．
【答案】B
二、填空题
6．关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R的充要条件是________________．
【解析】
对a分a＝0和a≠0两种情况讨论．
a＞0
a＝b＝0
【答案】
2
＜0
或
b－4ac
c＞0
7．在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条
件”中选出一种填空：
（1）“a＝0”是“函数f（x）＝x2＋ax（x∈R）为偶函数”的________；
（2）“sinα＞sinβ”是“α＞β”的________；
（3）“x∈M∩N”是“x∈M∪N”的________；
（4）对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的________．
【解析】利用定义求解．
【答案】
（1）充要条件
（2）既不充分也不必要（3）充分不必要（4）必要不充分
8．若命题“若p，则q”为真，则下列说法正确的是________．
①p是q的充分条件；
②p是q的必要条件；
③q是p的充分条件；
④q是p的必要条件．
【解析】由充分条件与必要条件的定义知，①④正确．
【答案】①④
三、解答题
1
9．已知：
p：
x＞1，q：
x＜1，试判断p是q的什么条件？
11－x
【解】由x＜1，得x＜0，
∴x（x－1）＞0，
∴x＞1或x＜0.
1
∴{x|x＞1}{x|x＜1}，
∴p是q的充分不必要条件．
10．已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，试问：
（1）s是q的什么条件；
（2）r是q的什么条件；（3）p是q的什么条件．
【解】p、q、r、s的关系可以用右图表示：
（1）∵s?
r，r?
q，
∴s?
q，又q?
s，
∴s是q的充要条件．
（2）∵q?
s，s?
r，
∴q?
r，又r?
q，
∴r是q的充要条件．
（3）∵q?
s，s?
r，r?
p
∴q?
p，
∴p是q的必要条件．
x－2
x－a2－2
a的取值
＜0，q：
＜0，若q是p的必要条件，求实数
11．已知p：
x－3a＋1
x－a
范围．
x－2
x－a2－2
＜0}．
【解】
由q是p的必要条件，可知{x|
＜0}?
{x|
x－3a＋1
x－a
x－a2－2
由a2＋2＞a，得{x|
＜0}＝{x|a＜x＜a2＋2}，
x－a
1
x－2
当3a＋1＞2，即a＞
3时，{x|
＜0}＝{x|2＜x＜3a＋1}，
x－3a＋1
a≤2
∴a2＋c≥3a＋1，
解得1＜a≤
3－5
；
3
2
当3a＋1＝2，即a＝
x－2
＜0}＝?
，符合题意；
1时，{x|
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