信号与线性系统分析吴大正第四版第四章习题答案.docx

1、信号与线性系统分析吴大正第四版第四章习题答案第四章习题4.6求下列周期信号的基波角频率 Q和周期T。(1 ) ej100t ( 2) costd)(3) cos(2t) sin( 4t) ( 4) cos(2p cos(3二t) cos(5：t)(5) cos-t) sinqt) ( 6) cost) cost) cos铸 t)解 (l)角频率为0=100 rad/s,周期丁 =三=亍2 s0 100o角频率为Q =今rad/sT周期T = - = 4 s(3)角频率为Q = 2 rad豊，周期T =沢s(4)角频率为 Q = Jr rad/s,周期 T = = 2 s12(5)角频率为Q =

2、耳rad/s*周期T = = 8 s4 2角频率为C =盒rad/s,周期T = yy = 60 S4.7用直接计算傅里叶系数的方法，求图4-15所示周期函 数的傅里叶系数(三角形式或指数形式)。图 4-159 ft 1啓 料十bn = -= /(r)sin(nOr)dt =万 /(f)sin(-)dj= I stn 年Q = = 1,22 J-l 2(2)周期丁 = 2=年=兀，则有:sin(rtz),心0,由此可得1 ft i ri i ri .帀 T )e_ r dr = /(r )e_：rlfir dr 可 sin( n-f )e_ dfJ J -Jr =| 2 J 01上厂檢2iz(

3、 1 ?i2)所含有的频率分量T/iJ.it/子/Tk/Ir(hmkvv_T_f i 7f 2 2 1NT；VN(t)图 4-18（1）rtr化的波形可知=厲（一小=一八匕二寻）h =未I brl = 0/( .r)cos( ) dr“G =盘？=盘=*=佻=仇=% = *八=0 则fAn的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波亠（2）由/2（r）的波形可知b2 = bA = Z?6 = = 0即人）的傅里叶级数中只含有奇次谐波包括正弦波和余弦波利用（1）的结果和u（2），求下列无穷级数之和求1 Q电阻上的平均功率和电压有效值 。 (4)利用(3)的结果求下列无穷级数之和图 4-190,则有则

4、Mf)三角形式的傅里叶级数为(2) u(t)波形图可知则可得无穷级数 S=l- +丄一 + =手 o o i 4(3)1 fi电阻上的平均功率为1 1 *1 1 P = *(r)dr = u2(t)dt = dr =J - y / J / J Q Z则电压有效值为匕有敕=世72(4)由idt)的波形图可知w(f) = / U)冷 1：_ u2 (r)dz = -t 2j_：ri将捉()的傅里叶级数代入上式得一1 1 COS(W7r)nji|_1T+ 厶一頑一sm(Tr)dz = 1(2)(3)2-f (t)二二厂：:：t 厂： ： 亠 tf(t)二注 2IL 2 二t 由于宽度为“偏度为1的门

5、函数珀 的频谱函数为rSay),即sin()阿rf) rSa() = Z a取r = 2,幅度为亍根据傅里叶变换线性性质有=寺 X 2Sa(u) SaU-ygs 一Sa(o)注意到是偶甬数根据对称性可得Sa(/) -* 2n X -y2(3)=丸劭(cv)根据时移性和尺度变换性可知 菟沁2E 2)= 珈皿)宀/ 、 = 2Sa_2(r 2)可知 一 i J由于知一她匕 3根据对称性可知血;:)一根据频域卷积积分性质可得-stn( 2?:f)-9w1r 1 12tzI* 2tt2 ?弘(3)又有4.18求下列信号的傅里叶变换解 (1)已知由时移性质可得执r 2) 弧再由频移性质可得八门的傅里叶变

6、换hdh 2) 就卄门即F(jw)=厂圖”门(2)/(r)=严7扩一1) = y(z- 1) - -3)(r- 1=y(：-1)+ 3(t-1)又dd) js由时移特性可知/(r)的傅里叶变换为F = 1 2畑又乳职 -e（r r由此可得f i （t） = + r） e（ t r）K 8（ t r）讯 f r） _ r r又有（ f ） f *北$（3+ -、皿5 Gja p4 4 Z Z由此可得/2（r）= 生）（上一手）一（上十手）一百“一手+凯上一手） r 2 4 4 2当03 = 0时上式为0,则有4.20若已知Ff（t） = Fj），试求下列函数的频谱解 （1）根拥频域微分特性可知y

7、F( j)GOJ则有 r/（r） 一 j 羊F（jGdco根据尺度变换特性可得纤）一j*F（j号）则可得 牴mj 弘号）（3）市时域微分持性可得巴F（jGF（闷）又由频域微分持性可得（血警荻申-_joF（joj） _ =- F （ joj） +oj-F（joj） d/ - J uoj（5）由频域微分特性可得屮打一罟尸3口3由反转特性可得又由时移性质可得(-z+l)/(-z + l) 5(1 z)/( 1 =一 je_3w (讪)dct（8）由尺度变换特性可得理一盒）一 f（j号）由时移特性可得 卅3加一 *于汁（一j号）又由频移特性可得打（3 - 2z） 昇沖F（jw*即 MeV（3 一 2D

8、 = -|e-：F（j 肯）4 a)F (&)-啓jsgn(oj) ref（9）rti时域徴分特性可得又有则由时域卷积定理可得 *_ jsF(jcu)(jsgn(-i-、 2sin(7j -証-o) * e3则F(jG的傅里叶逆变换为f(F)=戶-F(juf)-=耳e(F 1) g2(t 3) +gg(f54.23试用下列方式求图4-25示信号的频谱函数（1 ）利用延时和线性性质 （门函数的频谱可利用已知结果）。（2） 利用时域的积分定理。（3） 将f（t）看作门函数g2（t）与冲激函数、（t 2）、 （t-2）的卷积 之和。图 4-25解 已知乳 一 rSaC),将r = 2代入，得由傅里叶

9、变换的时移性质可得幻(F 二 2) * 2Sa( GFs根据傅电叶变换的线性性质町得/ 严则由J (t)=幻(门 * _8( r + 2) 3( t 2)4sincoCQS( 2a)以及时域卷积定理可知/(r)的频谱函数为Fjoj) = 2Sa(o)(e3ft, + t：2tu)4.25试求图4-27示周期信号的频谱函数。图（b）中冲激 函数的强度均为1。图 4-27解（小由于J_cos( 7t) _ 兀 _5(cu + ;r)5(曲r) _利用傅里叶变换的线性性质可得f的频谱函数为 r 1 1 一 rF（j 0时*有则当。=1时有rti傅里叶变换的对称性可得* Tee z1*J IL4.29

10、 一周期为T的周期信号f(t),已知其指数形式的傅里 叶系数为Fn ,求下列周期信号的傅里叶系数（3） （ 4） f4（t） = f（at）,a .0dt解 （1）由傅里叶变换时移特性可知 ）Z =皿。乳十（）=FfjnfJ） 则w现人匕）=厂曲山2;rF0（s一曲）n 土 一 H=2；： y （F料厂叭）（5（w 曲）可=DG由此可知/l（O的傅里叶系数为F”叭（2）由傅里叶变换反转特性得X貳九“）=死/（ I = F（j边）=2h 另 FnS（c（? + 曲）#f= _x令k =，则有X oa_f2 Q） 一 = 2；rF_（o kfl） = 2寵 F_K（3 nfl）点.X 科一30由此

11、可知fz（t）的傅里叶系数为Fw（3）由傅里叶变换时域微分特性可知吒A=现缶=jf（t）JX=jM 2?r 2 F 於（他一曲）pc即 JC/i（）_ = 2rrjnf2F0（3 rtfl）程=x由此可知/3（r）的傅里叶系数为jMF“（4）由傅里叶肘域尺度变换特性可知2 0时有5T/Z）=莎/（/） = * V F叔皀一说）口 才H 1 罠 = 2ti 工 F* * Li（a） nufl）=2攵 f/（u 加a）l=K由上式可知此时信号基波角频率变为Ml.则人（门的周期变为原来的倍即a、则其傅里叶系数为几，信号周期为4.31求图4-30示电路中,输出电压电路中,输出电压U2（t） 对输入电流

12、is（t）的频率响应H（）= 土g,为了能无失真的Isj）传输，试确定Ri、R2的值。1H十IF图 4-30解 图中电路蔡统的频率响应为其中転也均为常数、则必有Rt = 1 _R I 出= t Rt +r2 r解得艮= 1 C故为了能无失真传输R,Re应均为1 o的电阻,4.33某LTI系统，其输入为f(t),输出为1 比 x ay(t) s( )f(x-2)dxa耳 a式中a为常数,且已知s(th S(j.),求该系统的频率响应H (j )。解 由已知可得y(t) = .s( )/(x 2)dxa J -x a1 严 z T= H- _ )f(x-2)dxa J -k a=- )a a由傅里

13、叶变换的时移性质和尺度变换性质可得( 一 ) = S(一 aa)= -S (一 jua )a a a 1 aI a)=兀 由傅里叶变换时域卷积特性可知-1 t -歹(2) _ = -vTs( ) * fit 一 2)=丄歹s( r * fu 一 2)=* a S( j如)*(iGa则系统的频率啊应H(jG = : E = e_JS(jaw)- F ( JOJ )4.34某LTI系统的频率响应H()=务匚,若系统输入2 + jof(t) =cos(2t),求该系统的输出y(t)。解 系统输入的傅里叶变换为F(jw) = (f) = = ttJ(w + 2) + 2)则系统输出的傅里叶变换为Y(j

14、ot) F(jqj) H(&；) = 7T 3(u) 2) -|- 2)_ 72 +jw =j;r 3(0 + 2)(?(tx?)其傅电叶逆变换为)=夕 1 EY(jo)2 = sin(2r) 此即为系统输入为/ (til 1) +j4 油(&/ + 1) 2 曲(.g 2) 2油(oj + 2)= 3-|-(-2j)ef + (2j)e -e -严=3 + 4 呂 inf 2cos( 2t)4.36 个LTI系统的频率响应J 2e ,-6rad/ScOH(jco) =e 2, ）,即有寺刃（刀 * Sa（oj）由对称性可得 空严江幻缶）又有 cosCoZ） *亢_&（3 + 5） + 5）则

15、由频域卷积定理可得F(jG = =歼竺严2 * TOs(5r)1 -sin(3z) =石一渗 2r t7T 耳专(3)* 兀 _汛3 + 3) +$(3 5 ) J Y(jw) = F(jG H(jw)=今jg4 (w + 4)加(少一4)=-T 亢莒 4(CD)* ITT 5( 3 4) 8(x) 4)；z冗 - -又由傅里叶变换对称性可得好I 厂 / xn sin(2r) _江助少)=-且有 sint 4/) _ = j7r_(?(tj 4) (a) 4)则由频域卷积定理可得系统的输岀为4.39如图4-35的系统，其输出是输入的平方，即y(t) = f2(t)(设f(t)为实函数)。该系统

16、是线性的吗？(1)如f(t)=平，求y(t)的频谱函数(或画出频谱图)(2)女口 f(1)= 1+cost+cos(2t)，求y(t)的频谱函数 (或画出频谱图)图 4 35令输入为fi (i) (t)时系统的输岀分别为ji (/) 旳(f) 即=舟 联=flit)则当输人为亠如九(册时(其中的炖 为常数)有输出为二血厲(门+恥九a)?=er? ) +；/!(：)+ 2ai(r)九(f)工尙/?()+a2/?(r)= ayi (一出兄(门 即系统不满足齐次性和可加性为非线性系统，(1)幅度为1宽度为2的窗函数的傅里叶变换为2SHG 即(f) v 2 Sa (oi)由傅里叶变换对称性可得Sa(r

17、) * Hg? (oj)则由傅里叶变换频域卷积定理可得输出信号的频谱为Y(j6u)= 亠F(jo) * F(joi) 占冗宵2少)* 江荡(3)7T7T 1 一3 2 rad/s(2)由已知可得2F(jcu) = /(Z)0 =洌+ cost + cos(2z)2 =江 $(3 刃L -12则由傅里叶变换频域卷积定理可得输出信号的频谱为 y(ju)=亠 F(j)* F(jo?)扌-亢2川)*江2$(例打)，兀 n=-2 n=-24.45如图4-42(a)的系统,带通滤波器的频率响应如图 (b)所示，其相频特性：C0=0 ,若输入f (t)二 豊2 丈),乂)二 cos1000t)求输出信号y(

18、t)带通r 图 4-42解 因寿耳g( f j * Sa(dj)由傅里叶变换对称性.可得Sa(z) 一* 冗幻(G由傅里叶变换尺度变换特性可得加)一号烧(号)则有Fja)= =尹囂J)- =寺幻 M艾有cos( 1000?)J =兀汛凶 + 1000) 古(DJ 1000)-根摇傅里叶变换频域卷积定理*可得乘法器输岀信号的博里叶变换为lOOOf) = 乳F* + 执3 1000)=4 - 4祎1000)+5(- 1000) 乙 7C 7T由傅里叶变换频域卷积定理可得输出信号为I L - 1y(t) -r _y(joj)_ = gSitl (?)cos( 1000?)=f 0占(1000?)2皿

19、4.48有限频带信号f（t）的最高频率为100Hz,若对下列信号进行时域取样,求最小取样频率fs。（1） f（3t） （ 2） f2（t）（3） f（t）* f（2t） （ 4） f（t） f2（t）解 令有限频带信号+（）的傅里叶变换为F（j2r/）P有F（j2 寸）=屯（“ 则由已知可得几=100 H（1）由傅里叶变换的尺度变换特性可得则有 牛=几即仏=3几=300 HzFtl时域取样定理可知最小取样频率几满足A 2/m = 600 Hw由傅里叶变换频域卷积定理可知=-F(j2n /) * F(j2jr /)In由卷积性质可知最高频率产吟=2几=200 H叭则由时域取样定理可知，最小 取样

20、频率几应满足A 纣叫=400 Hz(3J由傅里叶变换尺度变换特性可知心)=*F他#)又由傅里叶变换吋域卷积定理可知荼 f)=* 烈f)=F打八 *F(j2tt#)则最高频率为 f牡=fa = 100 H“由时域取样定理可知最高取样频率应 满足仁 2仏=200 Hz(4) ft傅里叶变换的线性的性质可知5ty(t d-y2(o =F2“ + 4列2) * F(j2)E 3T则*(2)中结果可知信号的最高频率为几 =?几=賈0 Hz.Ftl 时域取样宦理可知最高取徉频率几应满足f, 如=400 Hz4.50 有限频带信号 f(t) =5 - 2cos(2二 cos(4二fit),其中 flkHz ,求fs = 800Hz的冲激函数序列-t (t)进行取样(请注意fs ：fi)。(1)画出f(t)及取样信号fs(t)在频率区间(-2kHz，2kHz)的频谱图。(2)若将取样信号fs(t)输入到截止频率f 500 Hz，幅度为的理想低通滤波器，即其频率响应H (j )二 H(j2 二f)Ts, f 500Hz画出滤波器的输出信号的频谱,并求出输出信号y(t)。解