信号与线性系统分析吴大正第四版第四章习题答案.docx
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信号与线性系统分析吴大正第四版第四章习题答案
第四章习题
4.6求下列周期信号的基波角频率Q和周期T。
（1）ej100t
（2）cos^td）]
（3）cos（2t）sin（4t）（4）cos（2pcos（3二t）cos（5「：
t）
（5）cos^-t）sinqt）（6）cos^t）cos^t）cos铸t）
解（l）角频率为0=100rad/s,周期丁=三=亍2s
0100
o
⑵角频率为Q=今rad/sT周期T=-^=4s
（3）角频率为Q=2rad豊，周期T=—=沢s
（4）角频率为Q=Jrrad/s,周期T=^=2s
12
（5）角频率为Q=耳rad/s*周期T==8s
4£2
⑹角频率为C=盒rad/s,周期T=yy=60S
4.7用直接计算傅里叶系数的方法，求图4-15所示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）。
图4-15
9ft1啓料十
bn=-=/（r）sin（nOr）dt=万/（f）sin（-^-）dj
=£Istn年Q==1,2"・
2J-l2
（2）周期丁=2』=年=兀，则有
:
sin（rtz）,
心0,
由此可得
1ft^iri^iri.
帀T）e_r^'dr=—/（r）e_：
rlfirdr—可sin（n-f）e_df
JJ—-Jr—『=|2J0
1上厂檢
2iz（1—?
i2）
所含有的频率分量
~T/^
i
J.it
/
子/
"T
k
/I
'r
（h>
mkvv
_T_fi7
f221
NT；
VN
（t）
图4-18
（1）rtr化⑺的波形可知
=厲（一小=一八匕二寻）
h=未
Ibrl=0
/（.r）cos（）dr
“G=盘？
=盘』=*"=佻=仇=%=*八=0则fAn的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波亠
（2）由/2（r）的波形可知
b2=bA=Z?
6==0
即人"）的傅里叶级数中只含有奇次谐波•包括正弦波和余弦波"
利用
（1）的结果和u
（2）「，求下列无穷级数之和求1Q电阻上的平均功率和电压有效值。
（4）利用（3）的结果求下列无穷级数之和
图4-19
0,
则有
则Mf）三角形式的傅里叶级数为
（2）u（t）波形图可知
则可得无穷级数S=l-£+丄一£+・・=手ooi4
（3）1fi电阻上的平均功率为
11*1]「1]
P='«*（r）dr=—u2（t）dt=—dr=—
J-—y/J/JQZ
则电压有效值为
匕有敕="■=世72
（4）由idt）的波形图可知
w（f）=/U）
冷1『：
_u2（r）dz=—-t2j_：
ri
将捉（『）的傅里叶级数代入上式得
]一11—COS（W7r）■n
j—i
|_1[T+厶一頑一sm（Tr）]dz=1
（2）
（3）
2-
f（t）二二厂」：
:
:
：
t厂：
：
：
£亠t
f（t）二注2
IL2二t
⑴由于宽度为“偏度为1的门函数珀⑴的频谱函数为rSa^y）,即
sin（^）
阿r〔f）——»rSa（^）=
Za>
取r=2,幅度为亍•根据傅里叶变换线性性质有
=寺X2Sa（u»）—SaU
-ygs⑴"一Sa（o））
注意到是偶甬数•根据对称性可得
Sa（/）-~*2nX-y^2（3）=丸劭（cv）
根据时移性和尺度变换性可知菟沁2E—2）]]=珈皿）宀
/°、=2Sa_2^（r—2）"可知
£一iJ
由于
知⑴一她
匕3
根据对称性可知
血;:
「）一根据频域卷积积分性质可得
-stn（2?
:
f）-
■9
■w
1
r1…1
2tzI
*—
―>
2tt
2?
弘（3）
又有
4.18求下列信号的傅里叶变换
解
（1）已知
由时移性质可得
执r—2）—「弧
再由频移性质可得八门的傅里叶变换
hdh—2）—「就卄门
即
F（jw）=厂圖”门
（2）/（r）=严7扩"一1）=y（z-1）-<-3）^（r-1}
=y（：
-1）+3»（t-1）
又dd）——js由时移特性可知/（r）的傅里叶变换为
F（3）/（?
）=sgn（r2—9>=1—2畑⑺
又
乳职<门］=「和（打丁却血=P「击="EG
J—™J—33
则有
孔fg=2恋（妆）一5（3小（r）—►丸$（仞）+
Jtu
利用时移特性可得
1_:
亡一购
）+■:
—_e--^=戒（3）+—Jw_J印
再由尺度变换特性可得
戒十—e_J-w
购
即f（n的傅里叶变换为
4.19试用时域微积分性质
1
f（jo；）=杠机⑷）+Al曲
j®
图4-23
解
（1）由八⑴的波形可得其闭合表达式为
/i（r）=—［e（t+r>-e（r—r>］
由此可得
fi（t）=—+r）—e（t—r）K—8（t—r）—讯f—r）_—
rr
又有
£（f）f*■北$（3〉+-、—
皿
5可得
e^jwr
e（fir）—*^5（cv）十——
J®
（5（r±r）—尸呎
则有
缸八⑺］=-•沁辺一2s就加）
rg
当3=0时上式值为X则有
C2）由/,（?
）的波形可得其闭合表达式为
—（r--^）e（r-4>—G—ja—p
44ZZ
由此可得
/2（r）=生）（上一手）一£（上十手）一百“一手〉+凯上一手）r2442
当03=0时•上式为0,则有
4.20若已知F[f（t）]=Fj），试求下列函数的频谱
解
（1）根拥频域微分特性可知
■y—F（j@）
GOJ
则有r/（r）一j羊F（jG
dco
根据尺度变换特性可得纤⑵）一j*£F（j号）则可得牴m]…j££弘号）
（3）市时域微分持性可得
巴F…（jGF（闷）
又由频域微分持性可得
（―血警…荻申⑺]
^-_jo>F（joj）_=-F（joj）+oj^-F（joj）d/-Juoj
（5）由频域微分特性可得
屮打一罟尸3
口3
由反转特性可得又由时移性质可得
（-z+l）/（-z+l）—5^（1—z）/（1—=一je_3w（—讪）
dct>
（8）由尺度变换特性可得
理一盒）一£f（—j号）
由时移特性可得卅3—加一*于汁（一j号）
又由频移特性可得
打（3-2z）昇•沖F（j
w*
即MeV（3一2D]=-|e--：
^F（j肯^）
4]a）F（]&））
—-―啓—jsgn（oj）ref
（9）rti时域徴分特性可得
又有
则由时域卷积定理可得
—*_>jsF（jcu）・（—j}sgn（4.21求下列函数的傅里叶变换
（3）
F（jJ=2cos（3）
（5）
2
F（j.）八2sine-j（2n1）"
n=0特
F（冋f
0,网
疳•’0
'■'■0
（1）傅里叶逆变换为
空也•则由时移特性可知
QJ
总"-
1\2月incu一一；如
co
如&-
\2sino/一j九
3）*——ae
O>
-
i-、2sin（7j-証
-o）*——e
3
则F（jG的傅里叶逆变换为
f（F）=戶-F（juf）-=耳e（F—1）g2（t—3）+gg（f—5〉
4.23试用下列方式求图4-25示信号的频谱函数
（1）利用延时和线性性质（门函数的频谱可利用已知结
果）。
（2）利用时域的积分定理。
（3）将f（t）看作门函数g2（t）与冲激函数、（t2）、、•（t-2）的卷积之和。
图4-25解⑴已知乳⑴一rSaC^）,将r=2代入，得由傅里叶变换的时移性质可得
幻（F二2）——*2Sa（GF’s
根据傅电叶变换的线性性质町得/
F（縮）==^2（r+2）
（2）由fit｝的波形图可得直闭合表示式为
和"=+3）—+1）—飢『一1）一^仃一加
则有/yG）=駅匸^3）—1）3（t—1）—&（t—3）
又駅门一1,由时移性质可得
现/"'（『）_=e3*■—申一亡卞一h如=j2^sin（3cu）—sin（ij_=jlsirifijcost2（y）当切=0时上式为X则市时域积分定理可得化D的频谱函数
F（3=肉7（f）]=⑴-
j4昌ingjcx冷（2gj）_4sinoucos（2op）
]（£}O）
（3）巳知
g?
（f）v—►2Sa（8M—1
由时移特性可得
+2）—4
3（t—2）一>严
则由
J（t）=幻（门*_8（r+2）3（t—2）
4sincoCQS（2a））
以及时域卷积定理可知/（r）的频谱函数为
F2tu）
4.25试求图4-27示周期信号的频谱函数。
图（b）中冲激函数的强度均为1。
图4-27
解（小由于
J^_cos（7^t）_—兀_5（cu+;r）—5（曲—r）_
利用傅里叶变换的线性性质可得f⑴的频谱函数为
—r1—1一r
F（j+7C）+2S（s——亢）+$（CO
（h）f（t）的傅里叶级数为
T"
F*=寺J：
升⑷严⑧
WJfit｝的频谱两数为
F（jG=现f⑴］=2ttYf1—讯3—
Jfl=—»
2兀vn^2?
l7T
=节工（1一严）-等^
对=—0C
4.27如图4-29所示信号f（t）的频谱为f（「），求下列各值［不必求出F（「）］
（1）F（0）=F（j）爲
（2）.；F（r）d■
1.）
0
0
则由能量等式可得
0口£1
其他
「8
—X
0
IF（jG
—OO
2do；=2-k
（3）
0
图4-29
解（1〉由傅里叶变换定义可知
F（jo））=r/（z）e-jafdf
J—g
（2）由傅电叶逆变换可知
ipoo
fit）=—尸（仙）凸山
/tCj—g
（3）由f（f）的波形可知
=（t-Wdt-
-■—1
寺口⑴*__►Sa（w）=
则由傅里叶变换对称性可得
4.28
利用能量等式
2Q021|
_.;f（t）dt二書二F（j•）d■
计算卜列积分的值。
2—
（1）fl⑴］dt
（2）-1dX2）2
t（1x）
解
（1）已知幅度为+门函数的傅里叶变换为Sa（w）,即
sinoj
Ui
sin;z.
*一*ng?
市能量等式可得
兀宮2（Oj}'dtO
匚（字4
C2）由于当a>0时*有
则当。
=1时•有
rti傅里叶变换的对称性可得
*Tee"z
1
■
*
JIL
4.29一周期为T的周期信号f（t）,已知其指数形式的傅里叶系数为Fn,求下列周期信号的傅里叶系数
（3）（4）f4（t）=f（at）,a.0
dt
解
（1）由傅里叶变换时移特性可知
—）Z=「皿。
乳十（『）］=FfjnfJ）则
w
现人匕）］=厂曲山・2;r£F0（s一曲）
n土一H
=2；：
y（F料厂叭）（5（w—曲）
可=—DG
由此可知/l（O的傅里叶系数为F”叭
（2）由傅里叶变换反转特性•得
X
貳九“）］=死/（—"I=F（—j边）=2h另FnS（c（?
+曲）
#f=_x
令k="，则有
Xoa
^_f2Q）一=2；rF_£（o>—kfl）=2寵F_K（3—nfl）
点.—X科・一30
由此可知fz（t）的傅里叶系数为Fw
（3）由傅里叶变换时域微分特性可知
吒A⑺］=现缶⑴］=j^f（t）J
X
=jM•2?
r2F於（他一曲）
pc
即JC/i（『）_=2rr》jnf2F0（3—rtfl）
程=—x
由此可知/3（r）的傅里叶系数为jMF“
（4）由傅里叶肘域尺度变换特性可知2>0时有
5T//Z）］=莎/（«/）］=—*VF叔皀一说）
口才H"
1罠=—•2ti工F**Li^（a）—nufl）
=2攵£f/（£u—加a）
）l=—K
由上式可知此时信号基波角频率变为Ml.则人（门的周期变为原来的」倍•即
a
、则其傅里叶系数为几，信号周期为'
4.31求图4-30示电路中,输出电压电路中,输出电压U2（t）对输入电流is（t）的频率响应H（「）=土g,为了能无失真的
Isj）
传输，试确定Ri、R2的值。
1H
十
IF
图4-30
解图中电路蔡统的频率响应为
其中転也均为常数、则必有
Rt=1—_RI出=t—Rt+r2r
解得艮==1C・故为了能无失真传输・R\,Re应均为1o的电阻,
4.33某LTI系统，其输入为f（t）,输出为
1比x—a
y（t）s（）f（x-2）dx
a耳a
式中a为常数,且已知s（thS（j.）,求该系统的频率响应
H（j）。
解由已知可得
y（t）=—.s（）/（x—2）dx
aJ-xa
1严z—T
=—H-_）f（x-2）dx
aJ-ka
=—-—）
aa
由傅里叶变换的时移性质和尺度变换性质可得
（一—）=—•\——S（一]aa>）=―-—S（一jua>）
aaa1'a
I——
a
）=兀®]由傅里叶变换时域卷积特性可知
-1t-
歹
（2）_=-vT—s（——）*fit一2）
=丄歹[s（——r*fu一2）]=—*\a\S（—j如）*（iG
a
则系统的频率啊应
H（jG=[:
E[=e_J^S（—jaw）-F（JOJ）
4.34某LTI系统的频率响应H（「）=务匚,若系统输入
2+jo
f（t）=cos（2t）,求该系统的输出y（t）。
解系统输入的傅里叶变换为
F（jw）=（f）[==tt[J（w+2）+—2）]
则系统输出的傅里叶变换为
Y（jot）—F（jqj）・H（]&；）=7T3（u）—2）-|-—2）_•—7^
2+jw=j;r3（（0+2）—（?
（tx>—?
）
其傅电叶逆变换为
）=夕1EY（jo>）2=sin（2r）此即为系统输入为/4.35一理想低通滤波器的频率响应
:
:
3rad/s
3rad/s
解若输人/Cf）=3e"（nr_^）*其中Q=1rad/$.求输岀孑⑺；
科■一E
K
/（/）=23曰（川―于）=1rad/s.ill下依此进行其傅里叶变换
w=—8
w
F（jiu）=工6丸•e"^•打）
it=—og
输岀信号频谱
Y（jot）=HCjw）F（jcu）
—6述（tw>—（til—1）+j4油（&/+1）—2曲（.g—2）—2油（oj+2）
=3-|-（-2j）ef+（2j）e^-e^-严
=3+4呂inf—2cos（2t）
4.36—个LTI系统的频率响应
J2
e,-6rad/S£^cO
H（jco）=』e2,^^<6rad/s
0,其他
解幅度为*:
宽度为2的窗函数的傅里叶变换为Sa（o>）,即有
寺刃（刀*―>Sa（oj）
由对称性可得空严…江幻缶）
又有cosCoZ）■*—亢_&（3+5）+—5）
则由频域卷积定理可得F（jG==歼竺严2*TOs（5r）
1—-sin（3z）「=石一渗
2rt
7T耳专（3）*兀_汛3+3）+$（3—5）J}
Y（jw）=F（jGH（jw）=今[jg4（w+4）—加（少一4）
=-T—｛亢莒4（CD）*ITT5（3—4）—8（（x）—4）］；
z冗‘--又由傅里叶变换对称性可得好I厂/xnsin（2r）』_江助〔少）」=—-—
且有^^sint4/）_=j7r_（?
（t£j—4）—§（a）—4）］
则由频域卷积定理可得系统的输岀为
4.39如图4-35的系统，其输出是输入的平方，即y（t）=f2（t）（设f（t）为实函数）。
该系统是线性的吗？
（1）如f（t）=平，求y（t）的频谱函数（或画出频谱图）
（2）女口f
（1）=1+cost+cos（2t），求y（t）的频谱函数（或画出频
谱图）
图4—35
令输入为fi（i）（t）时系统的输岀分别为ji（/）•旳（f）即
=舟⑷联⑺=flit）
则当输人为亠如九（册时（其中的炖为常数）有输出为
二[血厲（门+恥九a）]?
=er?
）+□；/!
（：
）+2ai©£（r）九（f）
工尙/?
（『）+a2/?
（r）=a{yi（『〉一出兄（门即系统不满足齐次性和可加性•为非线性系统，
（1）幅度为1•宽度为2的窗函数的傅里叶变换为2SHG•即
©（f）v——>2Sa（oi）
由傅里叶变换对称性可得
Sa（r）*―>Hg?
（oj）
则由傅里叶变换频域卷积定理可得输出信号的频谱为
Y（j6u）=亠F（jo>）*F（joi）—占〜冗宵2〔少）*江荡£（3）]
£7T
7T1一
30,Io?
I>2rad/s
（2）由已知可得
2
F（jcu）=^/（Z）0=洌+cost+cos（2z）2=江£$（3—刃}
L-1—2
则由傅里叶变换频域卷积定理可得输出信号的频谱为y（j£u）=亠F（j®）*F（jo?
）
扌-[亢2—川）*江2$（例—打）]
，兀n=-2n=-2
4.45如图4-42（a）的系统,带通滤波器的频率响应如图（b）
所示，其相频特性：
C0=0,若输入
f（t）二豊2丈）,乂）二cos1000t）
求输出信号y（t）
带通
r~'
图4-42
解因
寿耳g（fj■*—*■Sa（dj）
由傅里叶变换对称性.可得
Sa（z）一*冗幻（G
由傅里叶变换尺度变换特性可得
加⑵）一号烧（号）
则有
F〔ja）==尹囂J）-=寺幻M
艾有
^\^cos（1000?
）J=兀［汛凶+1000）古（DJ—1000）-
根摇傅里叶变换频域卷积定理*可得乘法器输岀信号的博里叶变换为
lOOOf）］=—•乳F⑺］*<^2cqs（1000/）2
（ctj+1000）+gi（oj—1000）]
4_
则系统输岀信号的傅里叶变换为
y（ju»）=^2y（z）cos（looor）]h（j（u）
由H（jG的波形图及相频特性可得
H（jw）=助（s—1000）十如（⑷一1000）
将H（jw）代入上式，可得
V（jG=+乙八3—1000）+戲3—1000〉]
=yg2（Qj）*[$£+1000>+执3—1000）]
=4-4[祎1000）+5（^-1000）乙7C£7T
由傅里叶变换频域卷积定理可得输出信号为
IL•-1
y（t）—-~r~'_y（joj）_=g—Sitl（?
）cos（1000?
）
■
=f0占（1000?
）
2皿
4.48有限频带信号f（t）的最高频率为100Hz,若对下列信号进行时域取样,求最小取样频率fs。
（1）f（3t）
（2）f2（t）
（3）f（t）*f（2t）（4）f（t）f2（t）
解令有限频带信号+（『）的傅里叶变换为F（j2r/）^P有F（j2寸）=屯（“]则由已知可得几=100H®
（1）由傅里叶变换的尺度变换特性可得则有牛=几•即仏=3几=300Hz
Ftl时域取样定理可知•最小取样频率几满足
A>2/m]=600Hw
⑵由傅里叶变换频域卷积定理可知
=^-F（j2n/'）*F（j2jr/"）
In
由卷积性质可知最高频率产吟=2几=200H叭则由时域取样定理可知，最小取样频率几应满足
A>纣叫=400Hz
（3J由傅里叶变换尺度变换特性可知
心⑵）]=*F他#）
又由傅里叶变换吋域卷积定理可知
荼f⑵）]=*烈f⑵）]
=F®打八*F（j2tt#）
则最高频率为f牡=fa=100H“由时域取样定理可知最高取样频率£应满足
仁>2仏=200Hz
（4）ft]傅里叶变换的线性的性质可知
5ty（t>d-y2（o]—
=F°2“+4列2"）*F（j2"）
E3T
则*
（2）中结果可知信号｝的最高频率为几=?
几=賈0Hz.Ftl时域取样宦理可知最高取徉频率几应满足
f,>如=400Hz
4.50有限频带信号f（t）=5-2cos（2二⑷cos（4二fit）,其中f^lkHz,
求fs=800Hz的冲激函数序列-t（t）进行取样（请注意fs：
：
fi）。
（1）画出f（t）及取样信号fs（t）在频率区间（-2kHz，2kHz）
的频谱图。
（2）若将取样信号fs（t）输入到截止频率f^500Hz，幅度为的
理想低通滤波器，即其频率响应
H（j•）二H（j2二f）
Ts,f<500Hz
0,f>500Hz
画出滤波器的输出信号的频谱,并求出输出信号y（t）。
解
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