一次函数和反比例函数的知识点及例题.docx

1、一次函数和反比例函数的知识点及例题一次函数和反比例函数知识点及典型例题一次函数: 一、基础知识1.一次函数定义:若两个变量x ,y 间的关系可以表示成y=kx+b (k ,b 为常数,k 0的形式,则称y 是x 的一次函数。其中x 是自变量,y 是因变量。当b=0时,y=kx( k 0,称y 是x 的正比例函数。2.一次函数的图像画法:列表描点连线在实际解题过程中,画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可.一般情况下是先选取它与两坐标轴的交点:(0,b ,(bk -,0.即横坐标或纵坐标为0的点.3、一次函数的表示方法(1列表法 (2解析式法: (3图象法:4、正比例函数及性质1解析

2、式:y=kx (k 是常数,k 0 2必过点:(0,0、(1,k 3走向:k0时,图像经过一、三象限;k0,y 随x 的增大而增大;k0,图象经过第一、三象限;k0,图象经过第一、二象限;b0,y 随x 的增大而增大;k0时,将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位;当b0时,向上平移;当b0时,向下平移. 8、直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的位置关系(1两直线平行:k 1=k 2且b 1b 2 2两直线相交:k 1k 2 3两直线重合:k 1=k 2且b 1=b 2 9、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤:(1设一次函数(2代人点的坐标(3解方程得出未知系数的值; (4将求

3、出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.二、经典例题题型一、点的坐标方法: x 轴上的点纵坐标为0,y 轴上的点横坐标为0;若两个点关于x 轴对称,则他们的横坐标相同,纵坐标互为相反数; 若两个点关于y 轴对称,则它们的纵坐标相同,横坐标互为相反数; 若两个点关于原点对称,则它们的横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数; 1、 若点A (m,n 在第二象限,则点(|m|,-n 在第_象限;2、 若点P (2a-1,2-3b 是第二象限的点,则a,b 的范围为_;3、 已知A (4,b ,B (a,-2,若A ,B 关于x 轴对称,则a=_,b=_;若A,B 关于y 轴对称,则a=

4、_,b=_;若若A ,B 关于原点对称,则a=_,b=_; 4、 若点M (1-x,1-y 在第二象限,那么点N (1-x,y-1关于原点的对称点在第_象限。 题型二、关于点的距离的问题方法:点到x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示,点到y 轴的距离用横坐标的绝对值表示; 任意两点(,(,A A B B A x y B x y ; 若AB x 轴,则(,0,(,0A B A x B x 的距离为A B x x -; 若AB y 轴,则(0,(0,A B A y B y 的距离为A B y y -; 点(,A A A x y 1、 点B (2,-2到x 轴的距离是_;到y 轴的距离是_;2、 点C

5、(0,-5到x 轴的距离是_;到y 轴的距离是_;到原点的距离是_;3、 点D (a,b 到x 轴的距离是_;到y 轴的距离是_;到原点的距离是_;4、 已知点P (3,0,Q(-2,0,则PQ=_,已知点110,0,22M N - ,则MQ=_;(2,1,2,8E F -,则EF 两点之间的距离是_;已知点G (2,-3、H (3,4,则G 、H 两点之间的距离是_;6、 已知点A (0,2、B (-3,-2、C (a,b ,若C 点在x 轴上,且ACB=90,则C 点坐标为_. 题型三、一次函数与正比例函数的识别方法:若y=kx+b(k,b 是常数,k 0,那么y 叫做x 的一次函数,特别

6、的,当b=0时,一次函数就成为y=kx(k是常数,k 0,这时,y 叫做x 的正比例函数,当k=0时,一次函数就成为若y=b ,这时,y 叫做常函数。 A 与B 成正比例 A=kB(k 01、当k_时,(2323y k x x =-+-是一次函数;2、当m_时,(21345m y m x x +=-+-是一次函数;3、当m_时,(21445m y m x x +=-+-是一次函数;4、2y-3与3x+1成正比例,且x=2,y=12,则函数解析式为_; 题型四、函数图像及其性质1.一次函数y=kx+b (k0中k 、b 的意义:k(称为斜率表示直线y=kx+b (k0 的倾斜程度;b (称为截距

7、表示直线y=kx+b (k0与y 轴交点的 ,也表示直线在y 轴上的。 2.同一平面内,不重合的两直线 y=k 1x+b 1(k 10与 y=k 2x+b 2(k 20的位置关系: 当时,两直线平行。 当时,两直线垂直。当时,两直线相交。 当时,两直线交于y 轴上同一点。 3.特殊直线方程:X 轴 : 直线Y 轴 : 直线与X 轴平行的直线 与Y 轴平行的直线 一、三象限角平分线 二、四象限角平分线 (1、对于函数y =5x+6,y 的值随x 值的减小而_。 (2、对于函数1223y x =-, y 的值随x 值的_而增大。(3、一次函数 y=(6-3mx +(2n -4不经过第三象限,则m

8、、n 的范围是_。 (4、直线y=(6-3mx +(2n -4不经过第三象限,则m 、n 的范围是_。 (5、已知直线y=kx+b 经过第一、二、四象限,那么直线y=-bx+k 经过第_象限。 (6,无论m 为何值,直线y=x+2m 与直线y=-x+4的交点不可能在第_象限。 (7、已知一次函数(a 当m 取何值时,y 随x 的增大而减小? (b 当m 取何值时,函数的图象过原点?题型五、待定系数法求解析式方法:依据两个独立的条件确定k,b 的值,即可求解出一次函数y=kx+b (k 0的解析式。 已知是直线或一次函数可以设y=kx+b (k 0; 若点在直线上,则可以将点的坐标代入解析式构建

9、方程。 1、若函数y=3x+b 经过点(2,-6,求函数的解析式。2、直线y=kx+b的图像经过A(3,4和点B(2,7,3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y(升与行驶时间x(小时之间的关系.求油箱里所剩油y(升与行驶时间x(小时之间的函数关系式,并且确定自变量x的取值范围。 4、一次函数的图像与y=2x-5平行且与x轴交于点(-2,0求解析式。5、若一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2x6,相应的函数值的范围是-11y9,求此函数的解析式。6、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于y轴对称,求k、b的值。7、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于x轴对称,求k、b

10、的值。8、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于原点对称,求k、b的值。9.已知正比例函数y=kx (k0图象上的一点与原点的距离等于13,过这点向x轴作垂线,这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成的图形的面积等于30,求这个正比例函数的解析式。 10.在直角坐标系x0y中,一次函数y=x+的图象与x轴,y轴,分别交于A、B两点,点C坐标为(1, 0,点D在x轴上,且BCD=ABD,求图象经过B、D两点的一次函数的 解析式。 11.已知:如图一次函数y=x-3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点过点C(4,0作AB的垂线交AB 于点E,交y轴于点D,求点D、E的坐标。 题型六、平移方法:

11、直线y=kx+b 与y 轴交点为(0,b ,直线平移则直线上的点(0,b 也会同样的平移,平移不改变斜率k ,则将平移后的点代入解析式求出b 即可。直线y=kx+b 向左平移2向上平移3 y=k(x+2+b+3;(“左加右减,上加下减”。1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线。2. 直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线3. 直线y=21x 向右平移2个单位得到直线 4. 直线y=223+-x 向左平移2个单位得到直线 5. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线6. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线7. 直线x y 31=向上平移1个单位,再向右平移1个单位得到直线。

12、8. 直线143+-=x y 向下平移2个单位,再向左平移1个单位得到直线_。 9. 过点(2,-3且平行于直线y=2x 的直线是_ _。10. 过点(2,-3且平行于直线y=-3x+1的直线是_.11.把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位,可得到的图像表示的函数是_;12.直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的,而(2a,7在直线n 上,则a=_;13.平面直角坐标系中,铅笔图案的五个顶点的坐标分别是(0,1,(4,1,(5,1.5,(4,2,(0,2.(1描出铅笔图案的五个顶点在坐标系中的位置,并顺次连接各点形成铅笔图案;(2将(1图案

13、向左平移5个单位,再向下平移3个单位,请作出平移后的图案. 题型七、交点问题及直线围成的面积问题方法:两直线交点坐标必满足两直线解析式,求交点就是联立两直线解析式求方程组的解;复杂图形“外补内割”即:往外补成规则图形,或分割成规则图形(三角形;往往选择坐标轴上的线段作为底,底所对的顶点的坐标确定高;1、 直线经过(1,2、(-3,4两点,求直线与坐标轴围成的图形的面积。2、 已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A (3,4,且OA=OB (1 求两个函数的解析式;(2求AOB 的面积;3.已知直线m 经过两点(1,6、(-3,-2,它和x 轴、y 轴的交点式B 、A ,直线n 过点(2

14、,-2,且与y 轴交点的纵坐标是-3,它和x 轴、y 轴的交点是D 、C ;(1 分别写出两条直线解析式,并画草图; (2 计算四边形ABCD 的面积;(3 若直线AB 与DC 交于点E ,求BCE 的面积。4.如图,A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点,点P (2,p 在第一象限,直线PA 交y 轴于点C (0,2,直线PB 交y 轴于点D ,AOP 的面积为6;(4 求COP 的面积; (5 求点A 的坐标及p 的值;(6 若BOP 与DOP 的面积相等,求直线BD 的函数解析式。5、已知:经过点(-3,-2,它与x轴,y轴分别交于点B、A,直线经过点(2, -2,且与y轴交于点C

15、(0,-3,它与x轴交于点D (1求直线的解析式;(2若直线与交于点P,求的值。6. 如图,已知点A(2,4,B(-2,2,C(4,0,求ABC的面积。 7.已知一次函数物图象经过A(-2,-3,B(1,3两点.求这个一次函数的解析式.试判断点P(-1,1是否在这个一次函数的图象上.求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积. 反比例函数:一、基础知识1.定义:一般地形如xk y =(k 为常数,o k 的函数称为反比例函数。x k y =还可以写成kx y =1-。 (1 自变量x 的取值为一切非零实数。(2函数y 的取值是一切非零实数2.反比例函数的图像图像的画法:描点法 列表(应以O 为中心

16、,沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数 描点(有小到大的顺序 连线(从左到右光滑的曲线 反比例函数的图像是双曲线,xk y =(k 为常数,0k 中自变量0x ,函数值0y ,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交。反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是x y =或x y -=。 反比例函数x k y =(0k 中比例系数k 的几何意义是:过双曲线xk y = (0k 上任意引x 轴y 轴的垂线,所得矩形面积为k 。 一、三象限,y 值随x 的增大而减小 二、四象限,y 值随x 的增大而增大3. 反比例函数解析式的确定:利用待定系数法(只需

17、一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k 4.“反比例关系”与“反比例函数”:成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xk y =中的两个变量必成反比例关系。二、经典例题题型一、函数图像及其性质例1、如果函数222-+=k kkx y 的图像是双曲线,且在第二,四象限内,那么的值是多少?例2一次函数y = kx k 与反比例函数y =k x在同一直角坐标系内的图象大致是( 例3.如图,是反比例函数y =2-m x 的图象的一支.(1函数图象的另一支在第几象限?(2求常数m 的取值范围。 例4.如图1:是三个反比例函数y=,y=,y=在x 轴上的图像,由此观察得到k1、k2、k3的大小

18、关系为( A 、k1k2k3B 、k1k3k2C 、k2k3k1D 、k3k1k2 例5.已知3=b ,且反比例函数xb y +=1的图象在每个象限内,y 随x 的增大而增大,如果点(3,a 在双曲线上x b y +=1,求a 是多少?题型二、待定系数法求解析式 例 1.某中学要在校园内划出一块面积为 100m2 的矩形土地做花圃， 设这个矩形的相邻两边的长分别为 xm 和 ym， 求 y 关于 x 的函数解析式. 例 2.如图,OPQ 是边长为 2 的等边三角形,若反比例函数的图象过点 P,则它的解析式是。 例 3 某蓄水池的排水管每小时排水 8m ，6 小时可将满池水全部排空 3 （1）蓄

19、水池的容积是多少？ （2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到 Q（m3） ，那么将满池水排空所需的时间 t（h）将如 何变化？ （3）写出 t 与 Q 的关系式 （4）如果准备在 5 小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？ （5）已知排水管的最大排水量为每小时 12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？ 例 4.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为 60 元，在营销中发现，该衬衣的日销售量 y（件）是 日销售价 x 元的反比例函数，且当售价定为 100 元/件时，每日可售出 30 件. （1）请写出 y 关于 x 的函数关系式； （2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为 1

20、800 元，则其售价应为多少元？ 例 5.如图 15l3 所示，已知一次函数 y= kxb（k（1）的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，且与反 11 比例函数 y= m （m0）的图象在第一象限交于 C 点，CD 垂直于 x 轴，垂足为 D若 OA=OB=OD1 （1） x 求点 A、B、D 的坐标； （2）求一次函数和反比例函数的解析式 例 6如图 1514 所示，AOC 的面积为 6，且 CB：BA=3：1，求过点 A 的双曲线的表达式 例 7.如图 1515 所示，一次函数的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，与反比例函数的图象交于 C、D 两 点如果 A 点的坐标

21、为（2，0） ，点 C、D 分别在第一、三象限，且 OA=OB=AC=BD试求一次函数和反比例 函数的解析式 题型三、交点问题及直线围成的面积问题 例 1.已知反比例函数 y = 5 的图象上有两点 P(1，a，Q(b，2.5. x (1 求 a、b 的值； (2 过点 P 作 y 轴的垂线交于点 M，求PMO 的面积； (3 过点 Q 作 x 轴的垂线交于点 N，求QNO 的面积； 12 k 例 2.如图 l520 所示，已知点 A（1，3）在函数 y= k0）的图象上，矩形 ABCD 的边 BC 在 x 轴上，E 是 x k 对角线 BD 的中点，函数 y= ( k0）的图象 x 经过 A

22、、E 两点，点 E 的横座标为 m. （1）求 k 的值； （2）求点 C 的横坐标（用 m 表示） （3）当ABD=45时，求 m 的值 例 3.如图， RtDABO 的顶点 A 是双曲线 y = B， S DABO = 且 的面积。 k 与直线 y = - x + (k + 1 在第四象限的交点，ABx 轴于 x 3 。 求这两个函数的解析式； 求直线与双曲线的两个交点 A， 的坐标和 DAOC （1） （2） C 2 例 4如图，已知一次函数 y=kx+b（k0）的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B两点，且与反比例函数 y= 0）的图象在第一象限交于 C 点，CD 垂直于 x 轴，垂足为 D，若 OA=OB=OD=1 （1）求点 A、B、D 的坐标;（2）求直线 AB 的解析式（3）反比例函数的解析式 m （m x 13 例 5.如图， RtDAOB 中， A 是直线 y = x + m 与双曲线 y = 在 点 则 m 的值是_. m 在第一象限的交点， S DAOB = 2 ， 且 x 图 例 6如图，在直角坐标系 xOy 中，一次函数 ykxb 的图象与反比例 函数 y = m 的图象交于 A(-2，1、B(1，n两点。 x (1求上述反比例函数和一次函数的表达式； (2求AOB 的面积。 14