一次函数和反比例函数的知识点及例题.docx
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一次函数和反比例函数的知识点及例题
一次函数和反比例函数知识点及典型例题
一次函数:
一、基础知识
1.一次函数定义:
若两个变量x,y间的关系可以表示成y=kx+b（k,b为常数,k≠0的形式,则称y是x的一次函数。
其中x是自变量,y是因变量。
当b=0时,y=kx（k≠0,称y是x的正比例函数。
2.一次函数的图像画法:
①列表②描点③连线
在实际解题过程中,画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可.一般情况下是
先选取它与两坐标轴的交点:
（0,b,（b
k-,0.即横坐标或纵坐标为0的点.
3、一次函数的表示方法（1列表法（2解析式法:
（3图象法:
4、正比例函数及性质
1解析式:
y=kx（k是常数,k≠02必过点:
（0,0、（1,k3走向:
k>0时,图像经过一、三象限;k<0时,•图像经过二、四象限4增减性:
k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小5、一次函数的性质（重点,请牢记
1解析式:
y=kx+b（k、b是常数,k≠02必过点:
（0,b和（-
k
b
03走向:
k>0,图象经过第一、三象限;k<0,图象经过第二、四象限
b>0,图象经过第一、二象限;b<0,图象经过第三、四象限4增减性:
k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小.6图像的平移:
当b>0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位;
当b<0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
6、一次函数y=kx+b的图象（重点,请牢记
7、正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y=kx+b的图象是一条直线,它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移.8、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系
（1两直线平行:
k1=k2且b1≠b22两直线相交:
k1≠k23两直线重合:
k1=k2且b1=b29、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤:
（1设一次函数（2代人点的坐标（3解方程得出未知系数的值;（4将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
二、经典例题
题型一、点的坐标
方法:
x轴上的点纵坐标为0,y轴上的点横坐标为0;
若两个点关于x轴对称,则他们的横坐标相同,纵坐标互为相反数;若两个点关于y轴对称,则它们的纵坐标相同,横坐标互为相反数;若两个点关于原点对称,则它们的横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数;1、若点A（m,n在第二象限,则点（|m|,-n在第____象限;
2、若点P（2a-1,2-3b是第二象限的点,则a,b的范围为______________________;
3、已知A（4,b,B（a,-2,若A,B关于x轴对称,则a=_______,b=_________;若A,B关于y轴对称,则
a=_______,b=__________;若若A,B关于原点对称,则a=_______,b=_________;4、若点M（1-x,1-y在第二象限,那么点N（1-x,y-1关于原点的对称点在第______象限。
题型二、关于点的距离的问题
方法:
点到x轴的距离用纵坐标的绝对值表示,点到y轴的距离用横坐标的绝对值表示;
任意两点（,,（,AABBAxyBxy;若AB∥x轴,则（,0,（,0ABAxBx的距离为ABxx-;若AB∥y轴,则（0,,（0,ABAyBy的距离为AByy-;
点（,AAAxy1、点B（2,-2到x轴的距离是_________;到y轴的距离是____________;
2、点C（0,-5到x轴的距离是_________;到y轴的距离是____________;到原点的距离是____________;
3、点D（a,b到x轴的距离是_________;到y轴的距离是____________;到原点的距离是____________;
4、已知点P（3,0,Q（-2,0,则PQ=__________,已知点110,,0,22MN⎛
⎫⎛⎫
-
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
则MQ=________;（（2,1,2,8EF--,则EF两点之间的距离是__________;已知点G（2,-3、H（3,4,则G、H两点之间的
距离是_________;
6、已知点A（0,2、B（-3,-2、C（a,b,若C点在x轴上,且∠ACB=90°,则C点坐标为___________.题型三、一次函数与正比例函数的识别
方法:
若y=kx+b（k,b是常数,k≠0,那么y叫做x的一次函数,特别的,当b=0时,一次函数就成为y=kx（k
是常数,k≠0,这时,y叫做x的正比例函数,当k=0时,一次函数就成为若y=b,这时,y叫做常函数。
☆A与B成正比例A=kB（k≠0
1、当k_____________时,（2323ykxx=-++-是一次函数;
2、当m_____________时,（21345mymxx+=-+-是一次函数;
3、当m_____________时,（21445mymxx+=-+-是一次函数;
4、2y-3与3x+1成正比例,且x=2,y=12,则函数解析式为________________;题型四、函数图像及其性质
1.一次函数y=kx+b（k≠0中k、b的意义:
k（称为斜率表示直线y=kx+b（k≠0的倾斜程度;
b（称为截距表示直线y=kx+b（k≠0与y轴交点的,也表示直线在y轴上的。
2.同一平面内,不重合的两直线y=k1x+b1（k1≠0与y=k2x+b2（k2≠0的位置关系:
当时,两直线平行。
当时,两直线垂直。
当时,两直线相交。
当时,两直线交于y轴上同一点。
3.特殊直线方程:
X轴:
直线Y轴:
直线
与X轴平行的直线与Y轴平行的直线一、三象限角平分线二、四象限角平分线（1、对于函数y=5x+6,y的值随x值的减小而___________。
（2、对于函数1223
yx=-,y的值随x值的________而增大。
（3、一次函数y=（6-3mx+（2n-4不经过第三象限,则m、n的范围是__________。
（4、直线y=（6-3mx+（2n-4不经过第三象限,则m、n的范围是_________。
（5、已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限,那么直线y=-bx+k经过第_______象限。
（6,无论m为何值,直线y=x+2m与直线y=-x+4的交点不可能在第______象限。
（7、已知一次函数
（a当m取何值时,y随x的增大而减小?
（b当m取何值时,函数的图象过原点?
题型五、待定系数法求解析式
方法:
依据两个独立的条件确定k,b的值,即可求解出一次函数y=kx+b（k≠0的解析式。
☆已知是直线或一次函数可以设y=kx+b（k≠0;
☆若点在直线上,则可以将点的坐标代入解析式构建方程。
1、若函数y=3x+b经过点（2,-6,求函数的解析式。
2、直线y=kx+b的图像经过A（3,4和点B（2,7,
3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升与行驶时间x（小时之间的关系.求油箱里所剩油y（升与行驶时间x（小时之间的函数关系式,并且确定自变量x的取值范围。
4、一次函数的图像与y=2x-5平行且与x轴交于点（-2,0求解析式。
5、若一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2≤x≤6,相应的函数值的范围是-11≤y≤9,求此函数的解析式。
6、已知直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于y轴对称,求k、b的值。
7、已知直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于x轴对称,求k、b的值。
8、已知直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于原点对称,求k、b的值。
9.已知正比例函数y=kx（k<0图象上的一点与原点的距离等于13,过这点向x轴作垂线,这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成的图形的面积等于30,求这个正比例函数的解析式。
10.在直角坐标系x0y中,一次函数y=x+的图象与x轴,y轴,分别交于A、B两点,点C坐标为（1,0,点D在x轴上,且∠BCD=∠ABD,求图象经过B、D两点的一次函数的
解析式。
11.已知:
如图一次函数y=x-3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点过点C（4,0作AB的垂线交AB于点E,交y轴于点D,求点D、E的坐标。
题型六、平移
方法:
直线y=kx+b与y轴交点为（0,b,直线平移则直线上的点（0,b也会同样的平移,平移不改变斜率k,则将平移后的点代入解析式求出b即可。
直线y=kx+b向左平移2向上平移3<=>y=k（x+2+b+3;（“左加右减,上加下减”。
1.直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线。
2.直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线
3.直线y=2
1x向右平移2个单位得到直线4.直线y=223+-
x向左平移2个单位得到直线5.直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线
6.直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线
7.直线xy3
1=向上平移1个单位,再向右平移1个单位得到直线。
8.直线143+-
=xy向下平移2个单位,再向左平移1个单位得到直线________。
9.过点（2,-3且平行于直线y=2x的直线是_________。
10.过点（2,-3且平行于直线y=-3x+1的直线是___________.
11.把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位,可得到的图像表示的函数是____________;
12.直线m:
y=2x+2是直线n向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的,而（2a,7在直线n上,则a=____________;
13.平面直角坐标系中,铅笔图案的五个顶点的坐标分别是（0,1,（4,1,（5,1.5,
（4,2,（0,2.
（1描出铅笔图案的五个顶点在坐标系中的位置,并顺次连接各点形成铅笔图案;
（2将（1图案向左平移5个单位,再向下平移3个单位,请作出平移后的图案.
题型七、交点问题及直线围成的面积问题
方法:
两直线交点坐标必满足两直线解析式,求交点就是联立两直线解析式求方程组的解;
复杂图形“外补内割”即:
往外补成规则图形,或分割成规则图形（三角形;
往往选择坐标轴上的线段作为底,底所对的顶点的坐标确定高;
1、直线经过（1,2、（-3,4两点,求直线与坐标轴围成的图形的面积。
2、已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3,4,且OA=OB
（1求两个函数的解析式;（2求△AOB的面积;
3.已知直线m经过两点（1,6、（-3,-2,它和x轴、y轴的交点式B、A,直线n过点（2,-2,且与y轴交点的纵坐标是-3,它和x轴、y轴的交点是D、C;
（1分别写出两条直线解析式,并画草图;
（2计算四边形ABCD的面积;
（3若直线AB与DC交于点E,求△BCE的面积。
4.如图,A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点,点P（2,p在第一象限,直线PA交y轴于点C（0,2,直线PB交y轴于点D,△AOP的面积为6;
（4求△COP的面积;
（5求点A的坐标及p的值;
（6若△BOP与△DOP的面积相等,求直线BD的函数解析式。
5、已知:
经过点（-3,-2,它与x轴,y轴分别交于点B、A,直线经过点（2,-2,且与y轴交于点C（0,-3,它与x轴交于点D
（1求直线的解析式;
（2若直线与交于点P,求的值。
6.如图,已知点A（2,4,B（-2,2,C（4,0,求△ABC的面积。
7.已知一次函数物图象经过A（-2,-3,B（1,3两点.
⑴求这个一次函数的解析式.
⑵试判断点P（-1,1是否在这个一次函数的图象上.
⑶求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积.
反比例函数:
一、基础知识
1.定义:
一般地形如x
ky=（k为常数,ok≠的函数称为反比例函数。
xky=还可以写成kxy=1-。
（1自变量x的取值为一切非零实数。
（2函数y的取值是一切非零实数
2.反比例函数的图像
⑴图像的画法:
描点法
①列表（应以O为中心,沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数
②描点（有小到大的顺序
③连线（从左到右光滑的曲线⑵反比例函数的图像是双曲线,x
ky=（k为常数,0≠k中自变量0≠x,函数值0≠y,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是xy=或xy-=。
⑷反比例函数xky=（0≠k中比例系数k的几何意义是:
过双曲线x
ky=（0≠k上任意引x轴y轴的垂线,所得矩形面积为k。
一、三象限,y值随x的增大而减小二、四象限,y值随x的增
大而增大
3.反比例函数解析式的确定:
利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k
4.“反比例关系”与“反比例函数”:
成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数x
ky=中的两个变量必成反比例关系。
二、经典例题
题型一、函数图像及其性质
例1、如果函数222-+=kk
kxy的图像是双曲线,且在第二,四象限内,那么的值是多少?
例2一次函数y=kx–k与反比例函数y=
kx
在同一直角坐标系内的图象大致是（
例3.如图,是反比例函数y=
2-mx的图象的一支.
（1函数图象的另一支在第几象限?
（2求常数m的取值范围。
例4.如图1:
是三个反比例函数y=,y=,y=在x轴上的图像,由此观察得到k1、k2、k3的大小关系为（
A、k1>k2>k3
B、k1>k3>k2
C、k2>k3>k1
D、k3>k1>k2
例5.已知3=b,且反比例函数x
by+=1的图象在每个象限内,y随x的增大而增大,如果点（3,a在双曲线上xby+=
1,求a是多少?
题型二、待定系数法求解析式例1.某中学要在校园内划出一块面积为100m2的矩形土地做花圃，设这个矩形的相邻两边的长分别为xm和ym，求y关于x的函数解析式.例2.如图,△OPQ是边长为2的等边三角形,若反比例函数的图象过点P,则它的解析式是。
例3．某蓄水池的排水管每小时排水8m，6小时可将满池水全部排空．3
（1）蓄水池的容积是多少？
（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？
（3）写出t与Q的关系式．（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？
（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？
例4.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y（件）是日销售价x元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件.
（1）请写出y关于x的函数关系式；
（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？
例5.如图1－5－l3所示，已知一次函数y=kx＋b（k≠
（1）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反11
比例函数y=m（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若OA=OB=OD＝1．
（1）x求点A、B、D的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式．例6．如图1－5－14所示，△AOC的面积为6，且CB：
BA=3：
1，求过点A的双曲线的表达式．例7.如图1－5－15所示，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点．如果A点的坐标为（2，0），点C、D分别在第一、三象限，且OA=OB=AC=BD．试求一次函数和反比例函数的解析式．题型三、交点问题及直线围成的面积问题例1.已知反比例函数y=5的图象上有两点P（1，a，Q（b，2.5.x（1求a、b的值；（2过点P作y轴的垂线交于点M，求△PMO的面积；（3过点Q作x轴的垂线交于点N，求△QNO的面积；12
k例2.如图l－5－20所示，已知点A（1，3）在函数y=k＞0）的图象上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是xk对角线BD的中点，函数y=（k＞0）的图象x经过A、E两点，点E的横座标为m.
（1）求k的值；
（2）求点C的横坐标（用m表示）（3）当∠ABD=45°时，求m的值．例3.如图，RtDABO的顶点A是双曲线y=B，SDABO=且的面积。
k与直线y=-x+（k+1在第四象限的交点，AB⊥x轴于x3。
求这两个函数的解析式；求直线与双曲线的两个交点A，的坐标和DAOC
（1）
（2）C2例4．如图，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B•两点，且与反比例函数y=≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，•若OA=OB=OD=1．
（1）求点A、B、D的坐标;
（2）求直线AB的解析式．（3）反比例函数的解析式m（mx13
例5.如图，RtDAOB中，A是直线y=x+m与双曲线y=在点则m的值是_____.m在第一象限的交点，SDAOB=2，且x图例6．如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y=m的图象交于A（-2，1、B（1，n两点。
x（1求上述反比例函数和一次函数的表达式；（2求△AOB的面积。
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